付俊强,龚云

(1.洛阳理工学院机械工程系,河南洛阳471023,2.焦作师范高等专科学校基建处,河南焦作454002)

均质材料Timoshenko梁的研究已有许多文献报道,Timoshenko[1]首先研究了各向均匀梁的剪切变形效应;龚善初[2]应用最小余能原理的理论和方法,对Timoshenko梁进行了动力分析;刘吉源[3]分析了在轴向力作用下的Timoshenko梁的横向振动频率特性;马连生[4]利用Euler-Bernoulli梁理论、Timoshenko梁理论和Reddy三阶梁理论的特征值问题的相似性,研究了不同梁理论之间特征值的关系。近年来,人们从不同角度开展了FGM结构力学方面的研究,Ma和Wang[5-6]基于经典理论,用打靶法求解了周边简支和周边固支功能梯度材料圆薄板在横向荷载作用下的大挠度弯曲问题,以及在径向均布机械荷载作用下的后屈曲行为;Shen[7]采用二次摄动技术求解了四边简支功能梯度复合材料矩形板在热/机荷载作用下的非线性弯曲问题;WOO[8]基于经典理论,推导了横向载荷和温度场作用下FGM矩形板和浅壳大挠度Fourier级数形式的解析解。

本文基于 Timoshenko梁理论,推导了功能梯度材料梁的弯曲控制方程,通过理论推导和相似性分析证明,将功能梯度Timoshenko梁问题的求解转化为均匀材料梁的求解,从而为功能梯度梁的弯曲分析提供便捷的途径。

1 求解方法

考虑一厚度为h、长度为l、横截面积为A的矩形截面FGM梁,材料的弹性模量只沿厚度方向呈梯度变化,梁上作用有横向均布载荷q,建立坐标系如图1。

Timoshenko梁理论克服了Euler梁理论的局限性,粗略地考虑了横截面内的剪切变形。它的基本假定是：横截面在变形中始终保持平面,但在弯曲变形之后,横截面不再与中轴线垂直,而是形成了一定的转角,该转角是由弯曲应力引起的转角和由剪应力引起的转角共同组成。它不仅考虑了弯曲变形,也考虑了由剪应力引起的剪切变形,且假定剪应力沿横截面等值分布,这种变形理论也称为一阶剪切变形理论。需强调的是,该理论必须进行剪切修正,这个修正系数不仅与材料和几何参数有关,还与载荷及边界条件有关。

Timoshenko梁变形理论下梁的几何方程为

式中 u0、w0—轴线上一点的位移;φ—横截面转角;ε和γ—横截面上的线应变和剪应变。

横截面上的正应力和剪应力为

式中G—剪切弹性模量;k—校正因子;E=E (z)—弹性模量,沿厚度呈梯度变化。

假设弹性模量按下列幂函数变化

式中Eb=E(h/2),Et=E(-h/2),它们分别为上、下表面的弹性模量。

对于功能梯度材料,弹性常数满足

由式(2)可得横截面的等效内力

将式(3)代入式(6),并令α=K-1,K= Et/Eb,积分可得

显然,对于均匀材料有Eb=Et=E,α=0,这时就有A1=EA,B1=0,D1=EI。其中I= bh3/12为横截面的惯性矩。力形式的平衡方程为

将式(5)代入式(8),得到位移形式的平衡方程

对式(10)求一次导数,并结合式(9)可得关于转角的独立方程

对式(11)无量纲变换,得到无量纲化的微分方程

由式(10)可以求得

上式积分则可得挠度。式中第二项是对Euler梁理论的修正,如果梁为细长的,则δ2=(h/l)2很小,该项即可被忽略,则变形为满足直法线假设的Euler梁理论。

如果材料为均匀的,则φ1=1,φ2=0,φ3= 1/12,c=1。这时方程(13)和(14)变为

如果我们已求得均匀Timoshenko梁的转角φ＊,则非均匀Timoshenko梁的转角为

由式(16)知均匀梁与非均匀梁的无量纲挠度之间的关系为

积分后可得非均匀Timoshenko梁的无量纲挠度函数。

2 结论

1)将功能梯度材料Timoshenko梁在静载荷作用下的弯曲变形解用相同尺寸、相同载荷作用下均匀材料Timoshenko梁的弯曲变形解乘以非均匀系数来表示。

2)将求解非均匀Timoshenko梁的问题转化为解均匀材料Timenshenko梁和非均系数的问题,从而使得问题大大简化。

3)由于方程都是线性的,这种相似转化可以推广到无量纲弯矩、转角和剪力的计算,而且对于任意的载荷工况和边界条件都适应。

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