刘明波 黄义隆 林舜江

(华南理工大学电力学院∥广东省绿色能源技术重点实验室，广东广州510640)

电力系统稳定器(PSS)是一个附加于发电机励磁控制器的辅助环节，其作用是提高发电机和整个电力系统的阻尼能力，抑制低频振荡，加速功率振荡的衰减［1］.随着电力电子器件和非线性控制理论的发展，静止无功补偿器(SVC)已经广泛用来提高系统的小干扰稳定性和大干扰稳定性［2］，SVC的主要作用是为电网提供电压支撑［3］.但是，多台SVC和PSS的不协调设计往往会导致电力系统出现不稳定或者不能充分发挥其作用的状况.电力系统各元件形成一个密不可分的整体，将各元件单独研究忽视了它们之间的联系，已不能满足现代电力系统稳定控制的需要.因此，实现SVC和PSS之间的协调控制，是目前电力系统设计中迫切需要解决的问题［4］.文献［5］中提出了基于多目标进化算法的PSS和SVC协调设计，考虑了它们之间的协调运行，但该方法收敛速度较慢.文献［6］中采用遗传算法来协调设计PSS和SVC，然而该方法没有充分考虑SVC对电压稳定的影响，且容易出现早熟收敛和收敛性差的情况.近年来，轨迹灵敏度技术［7］逐渐受到关注，已成为研究电力系统稳定问题的重要工具［8］.文献［9-11］中分别以扰动后发电机转速衰减最快为目标，采用轨迹灵敏度技术设计PSS和统一潮流控制器参数，有效地提高了系统的小干扰和大干扰稳定性.

文中探讨PSS和SVC的多目标协调优化设计问题，以各台发电机转速平方的时域累加值和加装SVC节点故障后的电压变化量平方的时域累加值构建两个目标函数，并将其加权后建立最终的目标函数，在优化目标函数中加入了阻尼功角振荡和降低电压波动的因素，在增强系统功角稳定性的同时，有效地降低故障后的电压波动.同时，采用轨迹灵敏度技术计算转速和电压变化量对PSS参数和SVC控制器参数的梯度，从而获得目标函数对各参数的梯度，并采用共轭梯度法优化各参数.轨迹灵敏度技术的应用可以对梯度信息进行实时跟踪，有利于提高收敛速度，实现PSS与SVC的协调控制在复杂的大电网中的应用.

1 电力系统模型

1.1 励磁系统及PSS模型

励磁系统及PSS模型［11］如图1所示，励磁系统忽略励磁电源的动态行为，采用一阶模型.PSS模型由一个放大环节、一个隔直环节、两个超前滞后环节和一个限幅环节组成.其动态表达式如下:

式中:ω为发电机转速;Ef为励磁电压;Ka和Ta为励磁环节的增益和时间常数;Vref为基准电压;Vt为机端电压;Vs为PSS的输出信号;K为PSS的放大倍数;T1、T2、T3、T4、Tw为PSS的时间常数;X1、X2为PSS模型的中间输出量.

图1 励磁系统及PSS模型Fig.1 Excitation system and PSS model

1.2 SVC模型

图2为附加阻尼控制的SVC框图［5］.图中Δu为输入信号;KS为阻尼控制器的放大倍数;T1，S、T2，S、T3，S、T4，S、Tw，S为阻尼控制器的时间常数.其动态表达式如下:

式中:B为SVC的等效电纳;Ka，S、Ta，S分别为控制器增益及时间常数;Vref，S为基准电压;VSVC为SVC节点电压;Vs，S为SVC控制器的输出信号.

图2 附加阻尼控制的SVC模型Fig.2 SVC model with damping control

2 轨迹灵敏度计算

轨迹灵敏度［7］是通过研究系统的动态响应对某些参数或初始条件甚至系统模型的灵敏度来定量分析这些因素对动态品质的影响.轨迹灵敏度是随时间变化的，属于动态灵敏度.

多机电力系统的动态过程可以用一组微分代数方程来描述:

式中:x为一组n维的系统状态变量;y为一组m维的系统代数变量;α为PSS和SVC的待优化参数;下标带0表示该变量的初值，下同.

式(3)的解为x(t)=φ(x0，α，t)，y(t)=ψ(y0，α，t)，对系统的微分方程求积分后，再对α求偏导数，得

式中:fx=∂f(x，y，α)/∂x，fy=∂f(x，y，α)/∂y，fα=∂f(x，y，α)/∂α.因为x0独立于α，所以∂x0/∂α=0;当α=α0时，轨迹灵敏度可表示为

同理，求系统代数方程对α的导数，得

对轨迹灵敏度系统(6)－(7)应用隐式梯形积分公式，整理可得

通过解线性方程可求得xα0(t+Δt)、yα0(t+Δt).

3 协调优化设计模型与求解

3.1 优化模型

优化PSS参数的目的是使PSS为各种机电振荡模式提供最佳阻尼，系统受扰动后能以最快的速度恢复到稳定运行点.优化SVC控制器参数的目的是稳定节点电压，使故障后节点电压尽快恢复到可接受范围，附加阻尼控制环节阻尼系统振荡.基于上述考虑，PSS和SVC协调设计的多目标函数如下:

式中:t0为仿真开始时刻;t1为故障消除时刻;T为仿真时间;n为系统发电机台数;N为优化的PSS台数;M为优化的SVC台数;¯ωi为在惯性中心框架下第i台发电机的转速，

coiJ，i机的惯性时间常数.

为了综合考虑PSS参数和SVC控制器参数对PSS与SVC协调优化设计的影响，将两个目标函数进行加权，形成最终的优化目标函数:

式中:μ1、μ2分别为J1、J2的权重系数;J1表征了各台发电机之间的功角摇摆程度，J1越小，各台发电机越接近同步运行;J2表征了各SVC节点电压幅值的波动程度，J2越小，各节点电压的波动越小.由于J1、J2的数值可能不在同一数量级上，如果权重系数选择不合适，则可能会优化PSS的效果，但对SVC的优化效果却不明显，甚至恶化SVC的效果，也可能两者的优化效果相反.故选择合适的J1和J2的权重系数非常重要，应尽量使J1和J2的权值在同一数量级上.

3.2 约束条件处理

令向量α表示所有有待优化的参数，式(10)可以简写为αmin≤α≤αmax.用ρi表示向量α中的第i个元素，ρmaxi、ρmini分别表示向量αmax和αmin中的第i个元素.通过非线性变换［11］，有

式中:bi表示向量β中的第i个元素，其初始值的取值范围为.由式(14)可知，b在［－∞，i+∞］内变化时，ρi的取值范围为.因此有约束的非线性问题(12)可以转化为无约束的非线性问题minJ(β).目标函数(12)对参数α求导数，得到梯度信息表达式为

式中:VSVCj，x、VSVCj，y是VSVCj在x-y坐标下的分量.目标函数(12)对向量β中任意元素bi求导数，可得

3.3 计算步骤

采用共轭梯度法来求最优解.该方法是在仿真的每一时步中将已有的梯度信息和搜索方向作线性组合，得到新的搜索方向d，并沿着搜索方向应用一维优化的方法得到最优步长η，最后得到每一时步的参数优化解.利用共轭梯度法优化PSS参数和SVC控制器参数的具体步骤如下:

(1)选择PSS和SVC控制器的初始参数α(0)=，应用式(13)得 β(0);选择收敛精度ε，令k=0.

(2)利用α(0)解轨迹灵敏度方程得∂J(α(0))/∂α，g(0)=∂J(β(0))/∂β;令d(0)=－g(0).

(3)以η=0为初始点，选择h=1，应用外推内插法确定η(k)的搜索区间［a(k)，b(k)］.

(4)在［a(k)，b(k)］内沿着d(k)方向应用黄金分割法进行一维优化后得η(k).

(5)β(k+1)=β(k)+η(k)d(k)，由式(14)得α(k+1).

(6)利用 α(k+1)解轨迹灵敏度方程得∂J(α(k+1))/∂α，g(k+1)=∂J(β(k+1))/∂β;

4 仿真分析

4.1 3机9节点系统

3机9节点系统的接线如图3所示.故障条件设为8号母线上0.2s时刻发生三相短路故障，0.3s时刻故障消失.仿真时间为10 s，仿真步长设为h= 0.01s.发电机采用三阶模型，为了抑制增幅性低频振荡和阻尼联络线大扰动后的低频振荡，在3台发电机上都安装了PSS，在4号节点上装设SVC，PSS和SVC控制器的初始参数设置如表1所示，优化后的控制器参数值如表2所示，优化参数的取值范围是根据IEEE Std 421.2—1990的典型范围适当放宽后得到的.优化1、2、3号机 PSS和 SVC控制器参数后的摇摆曲线如图4所示，优化前后节点4的电压如图5所示，优化前后机电模式特征根的变化如图6所示.图6中ξ为阻尼比，ω为复数特征根的虚部，σ为复数特征根的实部.

图3 3机9节点系统Fig.3 3-machine 9-bus system

表1 PSS和SVC控制器参数Table 1 Parameters of PSS and SVC

表2 3机9节点系统优化后的PSS和SVC控制器参数Table 2 Parameters of PSS and SVC after optimization of 3-machine 9-bus sgstem

图4 3机9节点系统优化前后1、2和3号发电机的摇摆曲线Fig.4 Swing curves of Generators 1，2 and 3 before and after optimization of 3-machine 9-bus sgstem

图5 优化前后节点4的电压Fig.5 Voltage at Bus 4 before and after optimization

优化参数的取值范围如下:

从图4和5中可以看出，优化后的PSS和SVC控制器不仅能有效地阻尼大干扰引起的系统振荡，而且能降低故障后的电压波动，使发电机功角和节点电压尽快恢复到正常水平.从图6可以观察到，优化后系统的机电模式特征值大幅度向复平面的左半平面移动，阻尼比等也显著增大，说明了基于轨迹灵敏度技术的PSS和SVC控制器参数的协调优化设计对于提高系统的小干扰稳定性也有显著作用.

图6 3机9节点系统优化前后机电模式特征根的变化Fig.6 Eigenvalues corresponding to electromechanical modes before and after optimization of 3-machine 9-bus system

4.2 10机39节点系统

10机39节点系统接线如图7所示，故障条件为3号母线上0.2s时刻发生三相短路故障，0.3s时刻故障消失.仿真时间为 10 s，仿真步长设为h=0.01s.发电机采用三阶模型，为了抑制增幅性低频振荡和阻尼联络线大扰动后的低频振荡，根据机电模式λi和状态量Δωi(j=1，2，…，n)的相关因子，选择PSS的安装地点，在1号机(节点39)和10号机(节点30)上安装PSS，在5号节点上安装SVC，PSS和SVC的参数设置和参数约束条件与3机9节点系统相同，表3为优化后的控制器参数值.

图7 10机39节点系统Fig.7 10-machine 39-bus system

表3 10机39节点系统优化后的PSS和SVC控制器参数Table 3 Parameters of PSS and SVC after optimization of 10-machine 39-bus system

3机9节点系统的优化目标函数J由初始值8.850×10－5经第1次优化后下降为5.391×10－5，经第2次优化后降为3.088×10－5，再经第3次优化后，目标函数变化很小，已达到收敛精度(ε取10－7).10机39节点系统中经两次优化后目标函数值明显下降，从初始值2.055×10－4减小为1.440× 10－4，并在第3次优化后下降很小，达到收敛精度，可以看出，该方法在更复杂的多机系统中，相同收敛精度下优化次数并没有明显增大，优化次数均为3.这主要是因为引入轨迹灵敏度技术后得到了目标函数对于待优化参数的较准确导数值，再用共轭梯度法根据这些实时变化的梯度信息对目标函数进行优化，可以加快优化求解的收敛速度，更好地逼近目标函数的最优值.从两个系统的优化次数可以看出，轨迹灵敏度技术的引入使PSS与SVC的协调设计可以在多机系统中得到很好的应用.

图8为系统优化前后的摇摆曲线图，图9为优化前后节点5的电压图.从图8、9中可以看出，文中方法在复杂的多机系统中同样能有效地阻尼系统振荡，提高暂态稳定性，并降低故障后节点电压的波动，使电压尽快恢复到正常范围.图10为优化前后机电模式特征根的变化图，从图中可以看出大部分机电模式特征根向复平面的左半平面移动，这种现象可以用文献［12］中提到的借阻尼现象来解释，文中方法提供给机电模式的阻尼比大部分是从非机电模式中转移而来，仅小部分是从其它机电模式中转移而来，但总的来说，这种方法增大了系统机电模式的阻尼比，从而提高了系统的小干扰稳定性.

图8 10机39节点系统优化前后的摇摆曲线Fig.8 Swing curves before and after optimization of 10-machine 39-bus system

图9 优化前后节点5的电压Fig.9 Voltage at Bus 5 before and after optimization

图10 10机39节点系统优化前后机电模式特征根的变化Fig.10 Eigenvalues corresponding to electromechanical modes before and after optimization of 10-machine 39-bus system

5 结语

文中提出了一种基于时域仿真和轨迹灵敏度技术相结合的多目标PSS和SVC协调优化设计方法.在优化目标函数中加入了阻尼功角振荡和降低电压波动的因素，在增强了系统功角稳定性的同时，有效地降低了故障后的电压波动.轨迹灵敏度技术的应用，实现了对梯度信息的实时跟踪，加快了优化求解的收敛速度，使目标函数快速逼近最优值.在3机9节点系统和10机39节点系统上的仿真结果表明，该方法能有效抑制低频振荡，提高暂态稳定性和小干扰稳定性，并降低故障后的电压波动，采用文中方法的PSS和SVC协调设计在多机系统中具有较快的收敛速度.

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