张 婧，施兴华

（江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，江苏 镇江 212003）

1 引 言

破损舰船的生命力问题因其具有重要的军事战略意义而受到国内外许多学者的关注。作战环境中的水面舰船，除了受到风浪等随机扰动外，还受到其他非随机的不规则扰动。舰船受到武器攻击发生破损后，进水产生的固定横倾角将大大降低其在海上的战斗力与生命力，在下次攻击武器的爆炸载荷以及风浪载荷联合作用下，稳性降低，可能造成其整体倾覆。从历次世界大战来看，具有强装甲舰船强度的破坏概率远小于整船的倾覆概率，确定该随机事件的发生概率具有重要的意义。

舰船倾覆因涉及到外载荷的随机性和大幅度横摇的强非线性，而使问题十分复杂。波浪载荷和风载荷均具有随机性，这就导致舰船倾覆是具有一定概率的随机事件。确定该随机事件的发生概率，已成为急需解决的问题。许多学者在这方面做了大量的研究[1-2]。但目前尚未见到关于水下爆炸载荷和随机风浪联合作用下破损舰船倾覆概率研究的文献资料。

本文推导了破损舰船遭受水下爆炸及有色噪声时的横摇微分方程。考虑到本文主要研究爆炸载荷对破损舰船横摇的影响以及高维FPK方程求解繁琐，故将有色噪声过程简化为白噪声过程，以Gauss-Legendre路径积分为基础，给出横摇角的概率密度函数随时间演变的计算方法，按照现有的倾覆准则给出预报一定装药量下舰船倾覆概率的表达式，并进行了实例分析，对作战环境中破损舰船倾覆研究进行有益的探索和初步尝试。

2 作战条件下破损舰船的环境载荷

2.1 水下爆炸载荷产生的倾侧力矩

冲击波随时间衰减规律的经验公式为[3]

式中：θ—指数衰减的时间常数，对于TNT炸药而言，θ=（W1/3/R）-0.24W1/3×10-4；pm—压力峰值[4]，pm=53.3（W1/3/R）1.13，W—装药量，R—测点到爆炸中心的距离。

将作用于舰船水下舷侧的爆炸冲击波载荷视为一个突加倾侧力矩

式中：A1—冲击波作用面积，取塑性区域的面积，A1=π [（10～2 0） R0]2，R0—炸药初始半径；Me（t）—集中力 P（t）竖向偏心引起的倾侧力矩；Δz1—集中力P（t）作用点离舰船重心的竖向距离。

将（1）式代入（2）式，得到

2.2 随机风浪扰动力矩

风扰动力矩可以看作是平均风倾力矩Ma与脉动风倾力矩Md（t）两部分组成，即

式中：ρ—空气密度；A—舰船结构水线以上部分侧投影面积；Δz—舰船结构水线以上部分侧投影面积的形心至水压力作用点的距离；U（t）—舰船的航速；υd（z,t）—短周期内脉动风速，其谱密度Sυd（ω）由文献[5]确定；υa（z）—平均风速[6]；Cm—风压倾侧力矩系数[7]，

式中：L—舰船结构总长；B—舰船横剖面宽度；z—舰船结构水线以上部分侧投影面积的形心至水线的距离。

（6）式充分反映了船型主要因素对风压的影响，其变化范围在0.955～1.418之间，如果Cm取为定值，势必对有些船舶稳性要求过高，而对有些船舶又会显得不足。因此，根据船型选取不同的Cm值是较符合客观实际的。

波浪扰动力矩为

航速U（t）与给定z处的平均风速都是常数，故由（4）式可知，Ma也是一常数。脉动风的强度随时间而随机变化，是典型的随机过程。 由（5）式可知，Md（t）是 υd（z,t）的线性函数，所以可认为Md（t）是平稳正态随机过程。同理，Mw（t）也是平稳正态随机过程。

3 破损舰船横摇运动微分方程

由于海浪及风力均为随机过程，即使爆炸载荷是确定性载荷，但其作用时间短暂，所以作战环境中舰船的运动也具有随机性。由于爆炸载荷持续时间一般只有几秒左右，平均风倾力矩作用时间一般在10min以上，所以在爆炸载荷作用过程中，平均风倾力矩始终作用在舰船上，可以把爆炸载荷产生的短时力矩及平均风倾力矩看作定常倾侧力矩。则破损舰船大幅横摇运动的随机微分方程为

初始条件为

式中：φ01—遭多次攻击后舰船破损进水产生的初始横倾角。这里只考虑舰船的线性横摇阻尼系数，则

式中：BL—线性阻尼系数。

采用线性项加三次项作为回复力矩模型,能较好地拟合静稳性曲线[10]，则

式中：Δ—排水量；GZ（ φ（t ））—回复力臂；C3—三次回复力矩系数，取为负值。

将（8）式两边同时除以 Jφφ+ΔJφφ，可得

式中：ωφ—为横摇固有频率，

随机横摇力矩Y（t）与Z（t）的统计性质可分别由Mw（t）与Md（t）的统计性质确定，自相关函数分别为 RY（τ）和RZ（τ），功率谱密度分别为

4 非线性随机横摇响应的时域分析

4.1 滤波系统的确定

在时域内考察一个随机过程，Markov过程理论是一个重要方法。构造两个线性滤波器，其输入为白噪声过程，输出则为满足给定统计特征值的随机过程。为模拟实际风浪，取形状滤波器分别为

式中：α1，β1，γ1，β2，γ2—控制滤波函数特性的参数；Ni（t） （i=1,2 ）—单位白噪声过程，N1（t）与N2（t）相互独立，Ni（t）=dWi（t）/dt，Wi（t）—单位Wiener过程。

而由（14）式和（15）式确定的谱密度分别为：

则令（12）式与（16）式的峰值、卓越频率、谱面积相等，就可得到滤波参数 α1，β1，γ1，同理可得 β2，γ2。

联立（11）、（14）式与（15）式，得到一个新的扩维运动微分方程组为

4.2 伊藤随机微分方程

将微分方程组（18）改写为状态方程组的形式

这样就建立了求解破损舰船在作战环境下横摇的随机微分方程组。

4.3 相应的简化方程

实际随机风浪必须处理为有色噪声，理论上是可以通过增加滤波系统并利用Markov过程理论来求解这一复杂的问题，但这将出现高维的FPK方程，至今超过三维的FPK方程的计算量已经非常耗费计算机资源。考虑到本文主要是研究爆炸载荷对舰船倾覆概率的影响，由于爆炸载荷极短时间内就达到最大值，此时平均风倾力矩与其相比非常小，所以只考虑脉动风的作用，且爆炸载荷强度远远大于随机风浪扰动的强度，在不影响问题结论的基础上，可将随机风浪的有色噪声简化为白噪声过程。即将（19）式简化为

式中：X1（t）=φ（t ）；X2（t）=（t）；γ—随机扰动力矩系数；N（t）—单位白噪声过程。

初始条件为

通常上述方程组的求解是通过其相应的偏微分方程进行的， 即转移概率密度）满足FPK方程

4.4 路径积分法求解方程

路径积分的基本思想就是在空间和时间上分别离散化，以路径和代替积分，即通过连接短时转移概率密度形成全局转移概率密度，得到状态向量的联合概率密度函数。设（t）是n维状态方程，其演化概率密度为

路径积分是在缩减的状态空间Rs内积分，Rs之外的区域转移概率密度充分小，可忽略不计，即

Yu[11]等人将（23）式按照Gauss-Legendre积分来离散化，得到基于Gauss-Legendre公式的路径积分法。已知第（i-1）时刻的每个高斯积分点上的概率密度及相应转移概率密度时，借助离散化的概率密度表达式，可获得第i时刻任意点的概率密度，因此仅需计算第i时刻相应高斯积分点的转移概率密度。这样可大大减少计算量，最终可得到适合编程实现的表达式。对于一维的情况，即

式中：K—子区间数；Lk—第k子区间的高斯积分点数；δk—第k子区间的长度；xkl—高斯积分点；ckl—相应的权数。

一般假设短时转移概率密度是近似高斯分布的。Sun和Hsu[12]提出利用矩方程导出短时转移概率密度的一阶矩和二阶矩，由于非线性随机系统的矩方程一般是无穷层阶次、非封闭的，可利用高斯截断法获得封闭的矩方程。因此，短时概率密度可写为

式中：E1（ti），E2（ti）—ti时刻X的一阶、二阶原点距，可通过封闭的矩方程组[13]解出；σ2（ti）=E2（ti）-[E1（ti）]2。

5 破损舰船的倾覆概率分析

舰船结构倾覆是由于横摇角过大引起的，当横摇角超过某一阈值，就将一直增大而不会回到平衡位置。舰船的稳性消失角是这一阈值的最好近似，因此将舰船结构倾覆定义为其横摇角大于稳性消失角或倾覆角，即

处于正浮状态下的舰船，当回复力矩为零时，其横摇角定义为稳性消失角或倾覆角φv，即

得到方程的正根与负根为：

关于舰船倾覆问题的讨论中，倾覆概率的定义不是很明确，舰船的倾覆是一个不可再现的事件，因此定义在某一固定时刻t，舰船结构的倾覆概率为

式中： f（ φ,t ）—横摇角边缘概率密度分布。

由前面的分析可知， f（ φ,t ）与时间及装药量密切相关，所以根据（26）式可预报任意装药量下任意时刻破损舰船的倾覆概率。

6 计算实例及分析

采用fortran90语言自编程序，对某舰船遭受爆炸载荷、白噪声风浪及平均风倾力矩联合作用下横摇倾覆进行了分析计算。爆炸冲击载荷的参数见表1。与随机扰动及舰船有关的参数如表2所示。

表1 与水下爆炸载荷有关的参数Tab.1 The parameters of underwater explosions

（1）破损舰船再次受到攻击时横摇角概率分布随时间的变化

破损舰船在装药量W分别为0kg，600kg，900kg时横摇角的边缘概率密度随时间的演变如图1-3所示。

表2 与随机扰动及舰船有关的参数Tab.2 The parameters of random disturbance and warship

图1 W=0kg时，t分别为0s，0.1s，1.5s时横摇角的边缘概率密度Fig.1 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=0kg)

图2 W=600kg时，t分别为0s，0.1s，1.5s时横摇角的边缘概率密度Fig.2 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=600kg)

图3 W=900kg时，t分别为0s，0.1s，1.5s时横摇角的边缘概率密度Fig.3 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=900kg)

从图1-3可看出，具有定常侧倾力矩的舰船在随机外力作用下横摇角的概率分布发生漂移和扩散，并且不再围绕正浮位置分布，而是围绕定常侧倾力矩造成的横倾角分布。同一装药量下，由于随机外力的影响，峰值随时间的增长而降低，但横摇角在较大的范围内变化。除了t=0s时刻横摇角的边缘概率密度分布不受装药量的影响外，其它时刻的峰值随装药量的增加而降低，由定常倾侧力矩造成的倾角增加。

在装药量W=0kg时，各分布图所围绕的固定横倾角不变。其它装药量的情况时，同一装药量下，虽然随着时间的增长，爆炸载荷产生的力矩减小，导致固定横倾角呈减小的趋势，但是前一时刻产生的横倾角对后一时刻横摇角的概率分布有累积影响，而且由于随机外力的影响，横摇角的分布逐渐扩散。

（2）装药量对破损舰船倾覆概率的影响

由以上分析可知，装药量对横摇角的概率分布有明显的影响，即分布的峰值降低，横倾角增大。而且装药量的增加即固定横倾力矩的增加将明显增加倾覆的可能性。按（26）式计算不同装药量不同时刻破损舰船的倾覆概率，结果如表3所列。

表3 不同装药量不同时刻破损舰船的倾覆概率pfTab.3 The capsizing probability pfof damaged warship under different blasting charge at different time

从表3可以看出，对已破损舰船再次受到武器攻击时，倾覆概率明显增加。但由于爆炸载荷作用时间很短，故其后倾覆概率有所减小。

7 结 论

本文对水下爆炸载荷和随机风浪联合作用下破损舰船的横摇运动及其倾覆概率进行了分析计算。由上述理论和实例分析，可得出如下结论：

（1）考虑到舰船的结构形式比较特殊，改变传统的处理方法，将风压倾侧力矩系数Cm视为变化量，计入船型因素对风扰动力矩的影响，同时考虑了航速对风速的影响，即风以相对风速的形式作用于舰船，给出了计入航速影响的风扰动力矩计算公式，更符合实际情况。

（2）算例表明，水下爆炸载荷对横摇角的概率分布有明显的影响，即分布的峰值降低，横倾角增大。而且装药量的增加即固定横倾力矩的增加将明显增加倾覆的可能性。已破损舰船再次受到武器攻击时，倾覆概率明显增加。

（3）本文给出了在水下爆炸及随机风浪作用下破损舰船大幅横摇运动微分方程，研究了随机外力作用下船舶的一维运动。虽然这是与倾覆关系最密切的运动模态，但毕竟尚未给出船舶运动的全面描述，和其它运动模态耦合后的舰船横摇的研究将作为今后进一步的研究方向。

（4）对于同时遭受爆炸载荷、随机风力及海浪的破损舰船，本文引入两个滤波器，将随机动力学领域理论上较为成熟的路径积分法推广应用于求解其倾覆概率，即将随机微分方程升到五维，通过求解相应的FPK方程得到横摇角的概率密度函数，由于FPK方程的系数与风浪载荷及爆炸载荷密切相关，这样便可以估计风浪载荷及爆炸载荷对舰船倾覆概率的影响。但目前，五维FPK方程还无法求解，这里给出了分析计算倾覆概率的思路，高维FPK方程的数值求解有待于以后进一步的研究。

[1]Barone G,Navarra G,Pirrotta A.Probabilistic response of linear structures equipped with nonlinear damper devices(PIS method)[J].Probab Eng Mech,2008,23(2-3):125-133.

[2]Cottone G,Di Paola M,Ibrahim R.Stochasic ship roll motion via path interal method[J].Inter J Nav Oc Engng.,2010,2:119-126.

[3]张 挺.爆炸冲击波测量技术（电测法）[M].北京:国防工业出版社,1984.

[4]Rajendran R,Lee J M.Blast loaded plates[J].Marine Structures,2009,22:99-127.

[5]Davenport A G.The spectrum of horizontal gustiness near the ground in high winds[J].J Royal Meteorol Soc.,1961,87:194-211.

[6]张相庭.结构风压和风振计算[M].上海:同济大学出版社,1985.

[7]汤忠谷,韩久瑞.海船风压试验研究[J].中国造船,1981(2):31-38.

[8]李积德.船舶耐波性[M].哈尔滨:哈尔滨船舶工程学院出版社,1992.

[9]俞聿修.随机波浪及其工程应用[M].大连:大连理工大学出版社,2003.

[10]Nayfeh A H,Khdeir A A.Nonlinear rolling of ship’s in regular beam seas[J].ISP,1986,33:40-49.

[11]Yu J S,Cai G Q,Lin Y K.A new path integration procedure based on Gauss-Legendre scheme[J].International Journal of Non-Linear Mechanics,1997,32(4):759-768.

[12]Sun J Q,Hsu C S.The generalized cell mapping method in nonlinear random vibration based upon short-time Gaussian approximation[J].Journal of Applied Mechanics,1990,57:1018-1025.

[13]方 同.工程随机振动[M].北京:国防工业出版社,1995.