赵秀元

(榆林学院数学与应用数学系， 陕西 榆林 719000)

0 引 言

关于Lurie 系统绝对稳定性的研究已经有许多研究结果[1-10].文献[11]通过界定非线性项的方法[12]，把Lurie 系统看成一个线性不确定系统，进而把Lurie 系统的绝对稳定性问题等价为具有不确定项的线性系统的鲁棒稳定性问题.

在研究鲁棒稳定性时，不确定系统通常重排成如图1所示的PΔ-结构，其中，P(s)是正规线性系统，Δ表示不确定扰动.

图1 稳定性分析框架

在分析Lurie系统绝对稳定性的情况下，Δ被进一步表示为模有界的块对角矩阵.本文利用文献[11]的方法，将Lurie 系统绝对稳定性的结果推广到一般Lurie 系统和具有重叠非线性项的一般Lurie 系统.

1 预备知识

文献[11]用实结构奇异值分析方法研究了如下Lurie系统的绝对稳定性

这里x∈Rn是状态向量；u∈Rp是输入向量；y∈Rp是输出向量；{A,B,C}是最小实现；Φ:Rp→Rp是时不变无记忆非线性项，它的元素φi:R→R是全局Lipshitz函数.

假设φi是满足下列3个条件之一的一、三象限非线性函数：

先介绍文献[11]的一个定义和两个引理：

φi(σ)=(mi+δiλi)σ且|δi|≤1

引理2[11]定义的Φ(y)的均值增益为矩阵M=diag{m1,m2,…,mp}，Φ(y)的扰动界为矩阵A=diag{λ1,λ2,…,λp}和Δ=diag{δ1,δ2,…,δp}，则非线性Φ(y)项可表示为

Φ(y)=(M+ΔΛ)y, -I≤Δ≤I

2 主要结果

本文考虑多变元一般Lurie系统

(1)

{A,B,C,D}是最小实现.

由引理1，把系统(1)化为

(2)

令E=[I+D(M+ΔΛ)]-1C，z=AEx，w=Δz，则得到PΔ-结构.

这里P(s)表示的状态空间是

(3)

接下来考虑多变元一般Lurie重叠非线性系统

(4)

这里x∈Rn是状态向量，A∈Rn×n，B∈Rn×p，F∈Rp×n，G∈Rp×q，C∈Rq×n，D∈Rq×q，函数Φ1:Rp→Rp，Φ2:Rq→Rq是时不变无记忆非线性项，它的性质同前面的函数一样.

非线性项Φ1(y)和Φ2(v)表示为Φ1(ξ)=(M1+Δ1Λ1)ξ, -I≤Δ1≤I,Φ2(σ)=(M2+Δ2Λ2)σ,

-I≤Δ2≤I.

由引理1，把系统(4)化为

(5)

这里E=[I+D(M2+Δ2Λ2)]-1C，于是可得如下系统

(6)

定义新的变元z=ΛEx，w1=Δ1Λ1Fx，w2=Δ2Λ2Ex，w3=Δ1Λ1GM2Ex，w2=Δ1Λ1Gw2，则得到PΔ-结构.

这里表示P(s)的……