卢 琨

(陕西科技大学理学院， 陕西 西安 710021)

0 引 言

捕食者-食饵系统是非常重要的数学模型，近几年来，脉冲微分方程被引入种群动力学中，并且得到了广泛的应用[1-6].本文研究了下面具有非单调功能反应且对捕食者进行周期投放的捕食者-食饵系统

(1)

这里x(t),y(t)分别代表食饵(害虫)种群和捕食者(天敌)种群的密度，r是食饵的内禀增长率，β是食饵的种内竞争系数，ω代表捕食者的转化率，d代表捕食者的死亡率.这里所有的参数都是正数，函数f(x)=sx(t)exp(-kx(t))是功能反应函数，具有非单调性.

T是脉冲周期n∈N，本文考虑通过在整周期释放天敌对模型进行分析，q≥0是每次释放的天敌数量.

1 预备知识

定义1 系统(1)是持续生存的，如果存在正常数m，M和T0，使得系统(1)的所有正解(x(t),y(t))都满足当t>T0时有m≤x(t)≤M，m≤y(t)≤M.

引理1 设z(t)是系统(1)的解，并且满足初值条件z(0+)≥0，于是对所有t≥0，都有z(t)≥0，且如果z(0+)>0，则t≥0时z(t)>0.

当食饵灭绝时，捕食者满足方程：

(2)

引理2 系统(2)有一个正周期解y*(t)，并且对系统(2)的满足y0≥0的任意解y(t)有|y(t)-y*(t)|→0,t→∞.

把上面的结论应用到系统(1)中，即可得到系统(1)的食饵(害虫)灭绝的周期解：

2 灭绝与持续生存

证明 设(x(t),y(t))是系统(1)的任意解，做变换x(t)=u(t),y(t)=v(t)+y*(t)，则相应的线性方程组的解为

系统(1)的脉冲条件变为

定理2 一定存在常数M，使得系统(1)的解x(t),y(t)，满足当t充分大时，有x(t)≤M，y(t)≤M.

证明 设x(t),y(t)是系统(1)的任意解，令V(t)=ωx(t)+y(t)，显然V∈V0,且

(3)

显然，当0<λ

D+V(t)+λ0V(t)≤L1(L1有界)，这样方程(3)即为

由文献[2]中的引理2.2知，当t∈(nT,(n+1)T)时

于是有

因此，由V(t)的定义知存在一个常数M>0，使得t充分大时系统(1)的每个解都有x(t)≤M，y(t)≤M，即系统(1)的解是一致最终有界的，证毕.

由脉冲微分方程比较定……