吴志强，郝 颖，郭 凯

（天津大学 机械工程学院力学系，天津 300072）

滞后非线性在工程问题中广泛存在［1］。具有代表性数学模型包括［2］：干摩擦理想模型、双线性模型、Davidenkov模型［3］、Bouc-wen 模型、Bing-ham 模型和用于压电陶瓷的Preisach模型等。其中双线性滞后模型描述简单、物理意义明确，应用较广泛，常见的有两类：单环滞后非线性、双环滞后非线性。

单环双线性滞后模型，多用于钢丝绳类干摩擦阻尼元件［4］、干摩擦阻尼结构叶片和金属橡胶减振器等结构的振动分析。文献［5］研究了双线性滞后非线性铰支撑的水平摆的参数振动问题。表明滞后阻尼可以有效地减小系统的响应。文献［6］用单环滞后模型来描述铅橡胶复合阻尼器的恢复力模型，建立了铅橡胶复合阻尼器结构的分析模型，并对阻尼器的减振效果进行了分析。文献［7］根据钢管混凝土柱.钢梁平面框架在恒定轴力与水平低周往复荷载共同作用下的试验结果，建立了单环的单层钢管混凝土框架的荷载－位移恢复力模型。文献［8］对双折线单环弹塑性滞回模型的单自由度体系在地震作用下的响应进行分析，得到不同参数组合下的结构影响系数。文献［9］研究范德波阻尼和单环滞后阻尼相互作用导致的单自由度系统周期分岔点，提出了相应的约束分岔分析方法，揭示了原有文献的不足，并且发现了多种分岔模式。文献［10］用数值方法研究了同一系统在外激励作用下出现的分岔和混沌现象。

对双环滞后系统研究还比较少。文献［11］用双环滞后模型描述了形状记忆合金在加载和卸载过程中的超弹性力学行为。文献［12］用双线性模型描述了结构中抗震部件的非线性动力学行为。文献［13］研究了含旗帜型滞后非线性的单自由度系统幅频响应，揭示了多解现象、频率缓变情况下的跳跃行为。与本文不同，所用滞后模型为双线性弹塑性模型，未考虑塑性变形有界的特点。

本文针对具有中心对称、双线性双环滞后特性的非线性单自由度系统，先用平均法推导幅频响应方程，然后讨论外激励振幅变化对幅频响应的影响，以期为此类系统的设计提供参考。

1 系统主共振幅频响应方程的求解

考虑非线性系统：

其中F（x）为双环双线性滞后力—位移函数（如图1所示）。

图1 双环滞后特性Fig.1 Double-loop hysteresis

图中a，b，c，k为滞后环参数。用Xm表示系统的最大位移，当Xm≤a+b时，滞回路径是Ⅴ→Ⅷ→Ⅴ；当a+b≤Xm＜a+b+c时，滞回路径是Ⅵ→ Ⅶ→ Ⅳ→ Ⅷ→ Ⅰ→ Ⅱ → Ⅲ→ Ⅴ→Ⅵ；当Xm≥a+b+c时，滞回路径是Ⅺ→Ⅻ→Ⅳ→Ⅷ→Ⅸ→Ⅸ→Ⅹ→Ⅲ→Ⅴ→Ⅺ。

在主共振情况下，可设系统一次近似解为：

其中ψ=γt+θ，利用平均法［14］可得一次近似满足：

其中：

为滞后非线性项的贡献。限于篇幅，此处忽略冗长的积分结果表达式。

解出γ可得：

在参数给定的情况下，由此可画出系统的幅频响应曲线。由于B（y）、B（y）*均是关于y的分段（三段）连续函数，幅频响应曲线也由三部分组成。为讨论方便起见，将y＜a+b的部分简称第一段，a+b≤y＜a+b+c的部分简称第二段，y≥a+b+c的部分简称第三段。

2 外激幅值对幅频响应特性的影响

以下讨论中除外激励幅值f外的其它参数都取为定值，Q=0.264，c0=0.001，a=0.002 27，b=0.002 71，c1=0.070 8，k=0.325 2。图2给出系统在不同外激励条件下几种典型幅频响应。（其中点线代表边界y=a+b，点划线代表边界y=a+b+c）

图2 典型幅频响应Fig.2 Typical frequency responses

计算发现，f存在3个临界值f1=0.000 009 96、f2=0.000 428 3、f3=0.000 409 6。f=f1时，第一段幅频响应曲线与边界y=a+b相切；f=f2时，第二段幅频响应曲线与边界y=a+b+c相切；f=f3时，第三段幅频响应曲线中出现孤立解点。

当f＜f1时，不同f对应的幅频响应曲线都等同与图2（a），没有出现跳跃和滞后现象，属于线性振动范围。

当f1＜f＜f2时，幅频响应曲线与图2（b）定性相同，滞后环开始起作用，使系统呈现软特性，当频率缓慢增加或降低时，有跳跃和滞后现象出现。

当f3＜f＜f2时，幅频响应曲线与图2（c）定性相同，第三段中出现了孤立的封闭解环，在该段内属于硬特性。尽管频率缓慢增加或降低时，跳跃和滞后现象出现的顺序和规律同图2（b），但由于出现了孤立解环，外界扰动适当的情况下，会出现与孤立解环对应的大幅振动解。

当f＞f2时，第二段、第三段曲线连续。当频率缓慢增加时，响应曲线会从第一段左侧跳跃到第二段右侧，再逐渐降低。当频率缓慢减小时，响应会从第二段右侧解支向上跳跃到第三段左侧解支，然后向下大幅跳跃到第一段左侧解支。

3 减振效果分析

由于幅频响应曲线图2（c）和图2（d）中均在第三段出现了大振幅解，因此从减振角度看应予以避免而图2（a）中滞后阻尼的作用没有得到发挥，也应该避免。因此取f1＜f＜f3是较好的选择。

图3 位移时间历程Fig.3 Time histories of the displacement

图3和图4分别给出k=0.325 2，f=0.000 3时系统的时间历程和相图。实线表示数值解、虚线表示平均法求得稳态解，二者相差不大，说明理论结果有效。为说明减振效果，图中还用点划线给出了对应线性系统（F（x）=kx）的解。显然，用滞后环替换等刚度的弹簧后，系统振动显著降低。双环滞后附件的减振效果明显。

图4 相平曲线图Fig.4 Phase diagrams

4 结论

对中心对称双线性双滞后环的单自由度非线性振动系统的主共振响应，有如下结论：

（1）系统幅频响应曲线共分为三段，第一段为线性区，滞后环未起作用；第二段和第三段为非线性区，滞后环消耗能量。第二段、第三段分别具有软特性、硬特性特征，频率缓慢变化时有跳跃现象。

（2）在本文讨论的参数情况下，外激励幅值变化时，系统表现出四种定性不同类型的幅频响应。

（3）四种幅频响应中，第二种适合进行减振设计，减振效果显著。

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