伍建华，孙霞林，熊德之

(武汉工程大学理学院智能机器人湖北省重点实验室，湖北武汉 430073)

第二积分中值定理“中间点”的渐近性再分析

伍建华，孙霞林，熊德之

(武汉工程大学理学院智能机器人湖北省重点实验室，湖北武汉 430073)

对于第二积分中值定理中的“中间点”的渐进性问题，将区间的端点推广到区间中的任意点，给出并证明了更一般的结论，改进和推广了现有的相关结论。

第二积分中值定理;中间点;渐近性

微积分中值定理，近年来有大量的文献对其进行探讨［1-8］，第二积分中值定理“中间点”问题，文献［1-2］给出了精彩的结论。但由于讨论都囿于左端点a，笔者将给出更一般的结果，将文献［1-2］的结果推广到区间的任意点，文献［1-2］的有关定理可以看成这个定理的一般推论。为叙述方便，将第二积分中值定理引述如下:

设g(x)在区间［a，b］上可积，则:

(ⅰ)若f(x)在区间［a，b］单减非负，存在ξ∈［a，b］使:

(ⅲ)若f(x)在区间［a，b］上单调时，存在ξ∈［a，b］使:

1 渐近性定理证明

引理1 设g(x)在［a，b］上可积，η是区间［a，b］中某一点，即a≤η≤b，且存在实数A，α ＞-1，使得:

证明:当x＞η时，由文献［1］可知式(5)中第1个式子成立。当 x＜η时，由条件式(4)可知:∀ ε＞0，∃δ＞0，当x∈(η-δ，η)，有:(A-ε)(η -x)α＜ g(x)＜ (A+ ε)(η -x)α，类似文献［1］的证明，对式(5)从x到η的积分，可证式(5)中第2个式子也成立。

对于区间［a，b］中某一点η，即a≤η≤b，为了叙述的方便，在以下的证明中，a→ η，b→ η表示a→ η-，b→ η+。

引理2 设函数f(x)，g(x)在［a，b］上可积，η是区间［a，b］中某一点，即a≤η≤b，且存在实数A，B，P，α ≥-1，β≥-1，α + β ＞ -1，，使得:

引理3 设函数f(x)，g(x)在［a，b］上可积，η是区间［a，b］中某一点，即a≤η≤b，且存在实数A，B，P，Q，α ＞ -1，β ＞ -1，α + β ＞ -1，使得:

证明:1)当a＜η＜ξ≤b时，由积分第二中值定理式(1)及定理条件和引理1有:

如果考虑趋向左端点的渐近性，则有下面的定理。……