谢瑞杰，任伟新

(中南大学土木建筑学院，湖南长沙410075)

对既有桥梁做承载能力评估或对结构进行健康监测时，首先要建立一个满足工程精度要求、并且能反映现实桥梁结构力学特性的有限元模型【1】。有限元模型修正技术基于优化设计理论，可以将计算模型与实际结构之间的力学性能差异变为最小。

由于桥梁工程结构庞大，各构件相互关系复杂，而且结构在施工过程中的误差和材料性能参数偏差的存在，使得实际结构与计算模型之间是存在差异的。文献［2］指出有限元模型不精确的因素主要来自三个方面:一是模型的结构误差，这由影响模型控制方程的一些不确定的因素引起的，通常与所选择的数学模型有关;二是模型的参数误差，这是指模型的物理参数由于环境变化和生产制作等原因存在误差;三是指模型的阶次误差，这是指有限元将实际连续的模型离散化所带来的误差。桥梁有限元模型修正一般假定结构误差可以通过寻找合理的数学模型来解决;阶次误差也可以通过有限元模型的网格离散的疏密得到最大的缩小。因而有限元模型修正的焦点是怎样缩小第二项结构参数带来的误差。

现场荷载试验是获得桥梁当前工作状况的方法，荷载试验包括动力测试和静力测试。动力测试和静力测试从不同方面反映了结构的实际工作性能，两者包含的信息是互补且关联的，而不是并行的。动力测试信息中包含了结构整体响应，对材料质量密度、弹性模量、边界条件等参数比较敏感，而对结构的局部参数变化不敏感。其中频率测试精度较高，但振型的精度较差。静力测试中，结构的位移测试精度较高，而且能反映结构的整体性能和局部构件刚度变化，比如说吊索刚度变化，而应变数据主要反映局部效应。为了增加模型修正中的可利用信息，克服单独运用静力或动力测试数据进行修正的局限性，因而联合运用静力和动力测试数据进行模型修正将会取得更好的效果，使修正后的模型更准确地反映结构的静力和动力方面性能。

1 工程背景

本文结合某已建公路钢筋混凝土系杆拱桥，以该桥静动力荷载试验为依托，探讨联合静动力测试数据进行模型修正的方法。该桥主跨为一孔75 m预应力钢筋混凝土下承式刚性系杆刚性拱桥，拱肋采用钢筋混凝土，二次抛物线型。系梁内布置纵向预应力束，柔性吊杆由φj15.24钢绞线组成。两榀系杆与拱肋、风撑、横梁及桥面板形成整体式结构。动力测试主要内容为频率、振型测试以及跑车试验;静力测试选择了拱顶、L/4拱肋、拱脚3个截面作为测试截面。动力测试共布置32个测点和1个参考点，其中每根吊杆下均为动力测试测点。静力测试中系梁的8分点和拱肋的4分点均作为位移测点。在模型修正中选取其中位移较大的(A、B、C、D、E、F)6个点作为目标点，如图1所示。

图1 钢筋混凝土拱桥全桥布置图

2 初始有限元模型建立

本文基于ANSYS优化模块，采用APDL参数化建模的方法建立空间有限元模型。主拱肋、系杆、横撑采用Beam44单元，采用自定义截面;吊杆采用Link8单元，全桥共24根吊杆;桥面板及桥面铺装层采用Shell63单元模拟。边界条件为支座处施加自由度约束，未考虑墩的变位影响。各材料力学性能参数、截面几何尺寸、吊杆参数等均采用原始设计值。

3 联合静动力有限元模型修正

3.1 有限元模型修正的主要方法

模型修正的目的在于修改初始有限元模型的参数，使得理论模型与试验模型相接近。有限元模型修正的主要方法有【3、4】:直接修改矩阵法;设计参数法;频率响应函数法;神经网络法;优化法等。直接修改矩阵法在修正过程中容易失去结构的物理意义。设计参数法基于模型的物理、几何参数和边界约束等参数，这使得修正的目的很明确。设计参数法一般要计算参数的灵敏度矩阵，最后归结为一个逐步迭代的优化问题。

3.2 参数分析与选择

待修正参数一般选取为结构材料性能参数、边界条件、结构几何尺寸等。在建立初始有限元模型时，一般将待修正参数值选取为初始设计值或规范规定值。而在实际施工中，由于施工误差的影响，使得参数与设计值都有所偏差。这些参数的偏差是造成计算结果与结构实测结果不一致的原因之一。为了得到反映现实状况的有限元模型，我们需要通过技术手段对这些参数的实际状况进行估计和修正。

参数选择分两个步骤:参数初选与参数灵敏度分析。凡是影响结构力学性能的参数均可作为力学参数，一般情况下选择对结构力学性能有着全局影响的参数作为初选参数。本桥中初步选取系梁和拱肋混凝土的弹性模量和质量密度、横梁的弹性模量和质量密度、吊杆的弹性模量和吊杆面积、桥面铺装层厚度为待修正参数，见表1。

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初步选择待修正参数以后，须对参数进行灵敏度分析。灵敏度分析是检测有限元模型对待修正参数灵敏程度的分析，以便选择较敏感参数进行修正。如果参数对目标函数变化不明显会造成梯度矩阵病态，导致求解矩阵奇异，得不到正确解。参数灵敏度分析是将待修正参数视为目标函数或者状态变量的多元函数，用有限差分法求偏导获得各参数的灵敏度。由于两者之间一般为非线性关系，其导数是不断变化的，一般选取目标函数或状态变量达到最优的参数序列作为基点计算灵敏度。工程结构模型修正中应用较多的是特征值灵敏度和位移灵敏度等。设目标函数为fr=f(x1，x2…，xn)，则目标函数梯度矩阵为式(1)，各参数灵敏度为式(2):

根据式(2)，分析各参数对各阶频率和各点位移的灵敏度，当参数增加Δxi时，计算相应的函数变化量。图2为各阶自振频率对各参数灵敏度，图3、图4为各参数对两工况下各个位移测点的灵敏度。

图2 参数对各阶频率的灵敏度

图3 工况一各参数对测点位移的灵敏度

图4 工况二各参数对测点位移的灵敏度

通过参数分析可知:(1)横梁和桥面混凝土弹性模量EC30对各状态变量的灵敏度较小，不选取为待修正参数;(2)系梁和拱肋混凝土弹性模量，桥面板厚度参数对频率和静力位移变化都比较敏感;(3)其他一些参数或者对频率敏感，或者对位移敏感，这些参数都须作为待修正参数。

3.3 目标函数

有限元模型修正的一个关键问题就是选择目标函数，目标函数一般选取某个指标的实测值与计算值的平方差。常用的动力指标有【5】:频率、振型、应变模态、模态柔度、传递函数等;静力指标有位移和应变。以单一指标进行优化时往往顾及不到其他方面信息，常常达不到最优目标，因此一般选择两种或几种不同的指标。本文选取动载试验的频率和静载试验的位移残差构造目标函数，表达式如下式(4)、式(5)所示:

基于静动力测试的有限元模型的目标函数须包含静力测试数据和动力测试数据的残差，这涉及到多目标优化。多目标问题的解和单目标的解的是有区别的，对于单目标问题，任何两个解都可以比较其优劣;而对于多目标问题，任何两个解却不一定能比较出优劣。

常用以下几种办法来解决【6】:第一种是分阶段优化，先选取对静力位移较敏感的参数进行初步优化，其目标函数选为位移残差。再选取对动力测试数据较敏感的参数进行第二次优化，目标函数选为动力测试数据残差。由于一些参数对静力和动力测试数据均比较敏感，第二次优化使这些参数偏离了第一次优化的方向，达不到最优效果;第二种方法是统一目标函数，将静力位移残差、频率残差等作为统一的目标函数。这种方法要求动静力测试须为等精度测量，且目标函数各项权系数分配较难把握;第三种方法是目标规划法，先分别求出静力数据残差和动力数据残差等各个目标函数的最优值fi(x*)，然后将式(6)作为总体目标函数，将各目标做统一规划。

这就意味着各目标函数离各自最优值之和最小，本文采用了第三种方法，取得了较好的结果。

3.4 状态变量与振型匹配

状态变量为优化过程中的约束条件，本文选取静载试验系梁3个测点(点A、B、C)和拱肋3个测点(点D、E、F，见图1)的位移以及动载试验中前5阶自振频率的限值作为状态变量。优化过程要求静载试验中测量的静力位移偏差－10%～10%为限值;结构自振频率偏差－5%～5%为限值。

由于实测振型与计算振型阶次不一致，为了保证计算模态与实测模态的振型相互匹配，引入模态相关准则MAC来保证计算振型与实测振型一致。设{φa}、{φb}分别表示计算振型和实测振型向量，则MAC值如式(7)所示。计算MAC值越接近1，两者的相关性就越好，一般MAC≥0.8时，可认为是同一振型。

3.5 模型修正结果

参数法有限元模型修正问题最终归结成一个非线性约束优化的问题，用迭代法求解。由于非线性约束优化极值点不止一个，最优解可能是可行域内任何一点，直接用最速下降法很容易陷入局部最小值。本文结合ANSYS优化模块，先用子问题逼近法取得变量空间内一系列解，然后确定一个相对较优的解。以此较优解为基础再运用最速下降法在其附近搜索最优解。

分别计算f1(x)、f2(x)的最优值，然后将其代入式(6)。经过迭代计算，规划的目标函数满足了状态变量限制要求，且满足收敛条件，达到了最小值。各参数值都接近实际值，计算频率以及计算位移与实测值差距减小。修正后模型计算频率与实测值相差均在5%以内，各工况位移结果与实测值差值也比较小，可以满足工程计算需要。修正后的参数变化见表2，频率和位移与实测值比较见表3、表4。通过比较可见修正后，各频率和位移与实测值之差较初始计算模型均大幅减小。

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4 结论

(1)通过修正，系梁和拱肋混凝土弹性模量比设计值有较大增加。这是因为主梁和拱肋都配置较多的普通钢筋或预应力钢筋，而在有限元模型中未予考虑。钢筋的存在使得截面换算抗弯常数增大，这使得在有限元模型修正中弹性模量变化较大。另外，普通钢筋和预应力钢筋的存在也使得混凝土质量密度增大，修正结果也说明了这一点。

(2)静载和动载试验测试数据反映的信息是互补且关联的，而不是并行的。在荷载试验中，静载试验数据亦能反映桥梁结构力学性能，而且能反映出一些动载测试数据所不能体现的参数变化信息。从灵敏度分析图中可以看出，动载测试数据频率或者振型等只对结构的材料弹性模量、质量密度、桥面铺装厚度比较敏感，与吊杆刚度无关;而静载测试数据位移、应变，却对材料弹性模量、桥面铺装层厚度、吊杆刚度比较敏感，而与质量密度无关。在本桥模型修正过程中，实测测点拱肋与系梁位移差与计算模型的拱肋与系梁的位移差能反映出吊索的刚度变化，这一点动载试验数据达不到的。

(3)在计算过程中须时刻验证振型是否匹配。在目标函数构造中，定义同一振型的频率残差为目标函数。但是，有限元模型的计算振型和实测振型的阶次并不一致，而且随着参数的改变，同一振型的阶次也在不断变化。因此，在进行优化迭代计算时，必须在每更改一次参数时，对计算振型的阶次重新定位，这样才能保证计算阵型与实测阵型的对应，否则模型修正就会偏离预期目标。

(4)在既有桥梁承载能力评估以及损伤检测、健康监测中，有限元模型修正是必不可少的一个环节。本文根据现场静动载试验数据，运用ANSYS优化模块，采用对多目标分别优化，之后再进行统一目标规划的方法，对某钢筋混凝土拱桥有限元模型进行了基于动静力层次的有限元模型修正。修正后模型的频率和位移与实测值相比较差距更小，模型更加符合实际情况。

［1］宗周红，任伟新，郑振飞．既有桥梁承载能力评估方法［J］．地震工程与工程振动，2005，25(5)

［2］JMW Brownjohn，H Hao，Pan tso Chien．Assessment of structural condition of bridges by dynamic measurements．

［3］李辉，丁桦．结构动力模型修正方法研究进展［J］．力学进展，2005，35(2)

［4］傅志方，华宏星．模态分析理论与应用［J］．上海:上海交通大学出版社，2000

［5］Bijaya Jaishi，Wei－Xin Ren．Finite elementmodel updating based on eigenvalue and strain energy residualsusingmultiobjectiveoptimisation technique．Mechanical Systems and Signal Processing．2007

［6］白新理．结构优化设计［M］．郑州:黄河水利出版社，2008