李传亮

（西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室）

0 引言

符合Darcy方程的流动，称作Darcy流。Darcy流的渗流速度与压力梯度呈线性关系，因此也称作线性流。不符合Darcy方程的流动，称作非Darcy流。非Darcy流的渗流速度与压力梯度呈非线性关系，因此也称作非线性流［1］。Darcy流是层流所致，而非Darcy流则由湍流（紊流）所致，湍流只发生在较高的Reynolds数下，而在生产过程中高Reynolds数对应较高的渗流速度。

与Darcy流相比，高速非Darcy流消耗更多的地层能量，流动效率较低，因此，生产过程中一般应避免出现高速非Darcy流。

现在的问题是，到底是高渗透储层容易出现高速非Darcy流，还是低渗透储层容易出现？高速非Darcy流出现的条件是什么？这是一个没有得到很好解决的理论问题，笔者拟对此进行研究，以便更好地指导生产。

1 非Darcy流

1886年Darcy建立的Darcy方程为［2-3］

式中：q 为流量，m3/ks；A 为岩石渗流截面积，m2；μ为流体黏度，mPa·s；Δp 为流动压差，MPa；ΔL 为岩石长度，m；k为岩石渗透率，D。

式（1）也可以写成微分方程的形式：

式中：V 为渗流速度，m/ks；dp/dx为压力梯度，MPa/m。

由图1可看出，落在Ⅰ区的数据符合Darcy方程，为 Darcy 流，可用式（1）或式（2）描述，而落在Ⅱ区的数据不符合Darcy方程，为非Darcy流，不能用式（1）或式（2）描述。显然，非Darcy流需要消耗更

图1 渗流指示曲线Fig.1 Flow index curve

式中：β为非Darcy渗流系数，pm-1，通常称作惯性阻力系数或湍流系数。

由式（3）可看出：当 β=0 时，Forchheimer方程变成Darcy方程，亦即为Darcy流；β的数值越大，非Darcy流越严重；β的大小反映了储层中高速非Darcy流的程度。

β没有理论计算公式，前人的一些实验研究给出了以下形式的统计规律［4］多的能量，才能产生与Darcy流相同的渗流速度或流量。

由图1还可看出，非Darcy流发生在较高的渗流速度条件下。人们通常采用Forchheimer提出的方程描述高速非Darcy流，Forchheimer方程为［4］

另外一些实验结果为［5］

式中：c，m，m1，m2为曲线拟合常数；φ 为孔隙度，%。

式（4）—式（5）显示，渗透率或孔隙度越低，储层越容易产生高速非Darcy流。

2 非Darcy流产生的条件

式中：Re 为 Reynolds数，dless；ρ为流体密度，g/cm3；d为管道直径，m；v为流体速度，m/s。

根据大量的实验结果绘制的阻力系数λ与Reynolds数之间的关系曲线见图2。当Reynolds数较低时，阻力系数与Reynolds数之间呈线性关系，此时为层流。当Reynolds数增大到一定数值后，阻力系数与Reynolds数之间呈非线性关系，此时为湍流。显然，湍流的阻力系数比相同Reynolds数时的层流的阻力系数高，即湍流存在附加的能量损失，二者的阻力系数差为b（图2）。湍流开始时的Reynolds数称作临界Reynolds数。人们通过大量的实验研究发现，管流的临界 Reynolds数大约为 2 000［6］。 湍流与层流的阻力系数满足下式：

非Darcy流是由湍流所致，湍流产生的条件一般用Reynolds数进行判断。管道中流动的Reynolds数计算公式为［6］

图2 λ与Re关系曲线Fig.2 Curve of relation between λ and Re

式中：λt为湍流的阻力系数，dless；λL为层流的阻力系数，dless；b为湍流与层流的阻力系数差，dless。

很显然，b是Reynolds数的函数，随Reynolds数的增大而增大，可近似写成式中：a为曲线常数；n为曲线指数，n＞1。

当流体在多孔介质中流动时，由于流动通道（孔隙）的粗糙度较大，临界Reynolds数大幅度减小。根据实验研究，多孔介质的临界Reynolds数大约在5 以下［7-8］。

流体在多孔介质中的渗流速度由式（2）计算，而真实速度则由下式计算：

式中：v为真实速度，m/ks。

把式（9）代入式（6），得

由式（10）可看出，孔隙直径越小，储层的渗透率和渗流速度越低，Reynolds数就越小，从而越不容易产生高速非Darcy流。因此，高速非Darcy流易于出现在高渗透储层中，这与式（4）和式（5）的实验规律正好相反。

3 Darcy流方程

式中：hf为水头损失，m；L 为管子长度，m；g为重力加速度，m/s2。

把式（11）写成压差的形式：

层流状态下管流的沿程水头损失为［6］

层流状态下阻力系数与Reynolds数的关系满足下式［6］：

再把式（12）写成压力梯度的形式：

层流状态下阻力系数与Reynolds数的关系满足下式［6］：

把式（14）和式（6）代入式（13），得

把式（9）代入式（15），得

多孔介质的Kozeny-Carman方程可以写成［9］

把式（17）代入式（16），即得到式（2）形式的Darcy方程，因此，Darcy流与层流是相对应的。

4 非Darcy流方程

把式（13）中的 λL换成 λt，得湍流状态下管流的压力梯度计算公式为

把式（7）代入式（18），得

式（19）可以改写成

把式（20）与式（3）进行对比，可得

把式（8）和式（10）代入式（21），得

由式（22）可以看出，非Darcy渗流系数β的影响因素较多，并非只是渗透率或孔隙度的函数。孔隙直径越小，渗透率越低，渗流速度就越低，非Darcy渗流系数β的数值也就越小。因此，低渗透储层的高速非Darcy流并不严重，这与式（4）和式（5）显示的逻辑关系正好相反，也说明式（4）和式（5）的实验统计规律不正确。

5 结论

（1）Darcy流对应层流，非Darcy流对应湍流。

（2）高渗透储层容易产生高速非Darcy流，低渗储层不容易产生。

（3）低渗透储层中的高速非Darcy流并不严重。

（4）低渗透储层的流动极其困难，产量极低，生产过程不必考虑高速非Darcy流的影响。

［1］李传亮.油藏工程原理［M］.北京：石油工业出版社，2005：46-47.

［2］葛家理.油气层渗流力学［M］.北京：石油工业出版社，1982：22-24.

［3］翟云芳.渗流力学：第二版［M］.北京：石油工业出版社，2003：10-12.

［4］Dake L P.Fundamentals of reservoir engineering［M］.Elsevier Scientific Publishing Company，Amsterdam，1978：255-260.

［5］Jones SC.Using the inertial coefficient，B，to characterize heterogeneity in reservoirrock［C］.SPE Annual Technical Conference and Exhibition.Dallas，1987：255-260.

［6］贺礼清.工程流体力学［M］.北京：石油工业出版社，2004：139-160.

［7］孔祥言.高等渗流力学［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，1999：32-34.

［8］Bear J.多孔介质流体动力学［M］.李竞生，陈崇希，译.北京：中国建筑工业出版社，1983：95-97.

［9］何更生.油层物理［M］.北京：石油工业出版社，1994：42-44.