刘春苔

(武汉工业学院数学与计算机学院，湖北武汉，430023)

设H是一个可分Hilbert空间，{ fn}n∈Z是其上的一个可数集族.如果存在正常数A，B，使得对于任意f∈H，有

则称{fn}为H的一个框架，且称A为框架下界，B为框架上界.

在L2(R)上定义算子Ta，Eb为

对于任意 g ∈ L2(R)，称{e2πimbxg(x-na)}m，n∈Z={EmbTnag}m，n∈Z：=(g，a，b) 为一个 Gabor系统，此时称g为一个窗口函数.如果(g，a，b)为一个框架，则称(g，a，b)为一个Gabor框架，也称为Weyl-Heisenberg框架(WH框架).

在应用中，平方可积空间中的WH框架往往为人们所关注［1-5］.很自然地有，

问题：在L2(R)中，Gabor系统(g，a，b)何时成为一个WH框架?

这个问题相当复杂，目前只解决了某些特殊情形(详见文献［1］).鉴于一般窗口函数，WH框架的存在性很难刻画，所以一个有效的处理方法是将窗口函数限制为一个简单函数甚至限制为可测集E的特征函数 χE(x)，若 Gabor系统(χE，a，b)为 WH框架，则称此可测集E为a，b框架集.有大量文献涉及到框架集的存在性，比如Gu和Han［6］系统的讨论了WH框架的a，b，c问题，方法是对实直线进行分类，然后计算框架的上、下界.Han和Wang［7］讨论了高维空间上的网tile成为WH框架集，此时平移调制参数被替换为满秩矩阵.Janssen［8］利用Zak变换将判别Gabor系统是否为WH框架转化为判别一个共轭对称阵是否为正定阵.值得指出的是，何［9］证明了若则(g，a，1)为WH框架的充分且必要的条件是 h在单位圆上没有根，此处序列{ an}满足这推广了Casazza和Kalton［4］的结果：将WH框架集的存在性转换为多项式的零点分布问题.

本文主要考虑两个区间并所构成的Z-tile可测集E成为a，1-框架集的条件，主要思想来源于文献［10］，得到如下定理，这里记号［x］表示不超过x的最大整数.

定理1设集……