桑 波，刘文健，朱思铭

（1.聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059；2.中山大学 数学与计算科学学院，广州 510275）

推论2 系统（1）存在形如式（4）的首次积分F3（x，y）的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0.

证明 由定理，系统（1）存在首次积分F3（x，y）的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内线性相关，由于z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内解析，函数组z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内线性相关的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）在闭区间J上线性相关，而函数组z1（x），z2（x），z3（x）在闭区间J上线性相关的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0［10］，由此推论得证.

一类时间可逆系统的首次积分问题

桑 波1，刘文健1，朱思铭2

（1.聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059；2.中山大学 数学与计算科学学院，广州 510275）

对于一类时间可逆解析系统建立了首次积分的系数递推公式.利用此递推公式得到其具有给定形式首次积分的充要条件.为了说明所得结论，对于一类时间可逆三次系统，利用系数递推公式给出了其六次多项式首次积分.

时间可逆系统；三次系统；首次积分；Darboux多项式

在常微分方程定性理论中，确定可积系统的首次积分问题是一个经典难题.对于可积的多项式微分系统，构造首次积分的主要方法有达布方法［1－3］、Prelle－Singer方法及其扩展方法［4－5］、李对称性方法［6］、Lax pair方法［7］等.这些方法的构造性都比较强，比较适用于具体系统首次积分的构造，因而难以建立某类系统具有确定形式首次积分的充要条件.

时间可逆微分系统在力学、物理学问题中有广泛的应用，因而研究其首次积分问题是比较重要的.文献［8］给出了时间可逆系统的首次积分空间的性质.对时间可逆多项式微分系统而言，多项式首次积分的构造是比较重要的，这是因为如果该首次积分在实数域内是可分解的，分解式中的Darboux多项式对系统性态的确定具有重要作用.

本研究考虑一类时间可逆解析微分系统的首次积分问题.通过建立解析首次积分的系数递推公式，给出这类系统具有指定形式首次积分的充要条件，并确定该首次积分的解析区域；在此基础上，对一个实例构造六次多项式首次积分.

考虑时间可逆实微分系统

而式（14）成立的充要条件是函数组1，2A（x）＋a（x），（2A（x）＋a（x））2＋2B（x）在开区间I内线性相关，这也是系统（1）存在形如式（4）的首次积分的充要条件；另一方面，若系统（1）存在形如式（4）的首次积分F3（x，y），由式（11—13），（8）及解析函数的性质可知，u0（x），u1（x），u2（x），u3（x）在开区间I内解析，从而首次积分F3（x，y）在区域I×R内解析.

令z1＝1，z2＝2A（x）＋a（x），z3＝（2A（x）＋a（x））2＋2B（x），则有如下定理.

定理 系统（1）存在形如式（4）的首次积分F3（x，y）的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内线性相关；若此首次积分F3（x，y）存在，则它在区域I×R内解析.

推论1 系统（1）存在形如式（4）的首次积分F3（x，y）的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）的 Wronsky行列式W［z1，z2，z3］（x）≡0，x∈I.

证明 由定理，系统（1）存在首次积分F3（x，y）的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内线性相关；考虑到z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内解析，由 Wronsky判别准则［9］，函数组z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内线性相关的充要条件是其 Wronsky行列式W［z1，z2，z3］（x）≡0，x∈I，由此推论得证.

推论2 系统（1）存在形如式（4）的首次积分F3（x，y）的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0.

证明 由定理，系统（1）存在首次积分F3（x，y）的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内线性相关，由于z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内解析，函数组z1（x），z2（x），z3（x）在开区间I内线性相关的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）在闭区间J上线性相关，而函数组z1（x），z2（x），z3（x）在闭区间J上线性相关的充要条件是函数组z1（x），z2（x），z3（x）的Cramer行列式等于0［10］，由此推论得证.

［1］ Ginoux J.Differential Geometry Applied to Dynamical Systems［M］.Singapore：World Scientific，2009.

［2］ Christopher C，Li C Z.Limit Cycles of Differential Equations［M］.Berlin：Birkhäuser Verlag，2007.

［3］ Dumoriter F，Llibre J，Artés J.Qualitative Theory of Planar Differential Systems［M］.Berlin：Springer，2006.

［4］ Prelle M，Singer M.Elementary first integrals of differential equations［J］.Trans Amer Math Soc，1983，279（1）：215－229.

［5］ Avellar J，Duarte L，Duarte S，et al.Determining Liouvillian first integrals for dynamical systems in the plane［J］.Computer Physics Communications，2007，177：584－596.

［6］ Olver P J.Applications of Lie Groups to Differential Equations［M］.New York：Springer，1986.

［7］ Goriely A.Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems［M］.Singapore：World Scientific，2001.

［8］ Matveyev M V.Reversible systems with first integrals［J］.Physica D，1998，112：148－157.

［9］ Jeffrey A，Dai H H.Handbook of Mathematical Formulas and Integrals［M］.San Diego：Academic Press，2008.

［10］ 克拉斯诺夫 МЛ，基谢列夫АИ，马卡林科ГИ.常微分方程解题指南［M］.李明曙，杨守昌，译.合肥：安徽省数学学会，安徽大学数学系，1987.

First integral problem for a class of time－reversible systems

SANGBo1，LIUWenjian1，ZHUSiming2
（1.College of Mathematics Science，Liaocheng University，Liaocheng 252059，Shandong Province，China；
2.College of Mathematics and Computational Science，Sun Yat－Sen University，Guangzhou 510275，China）

For a class of time－reversible analytic systems，coefficients’recurrence formulae of first integral are obtained，by which some necessary and sufficient conditions for the systems to have prescribed first integral are reached.To illustrate the results，six degree polynomial first integral of a cubic time－reversible system is obtained by the coefficients’recurrence formulae.

time－reversible systems；cubic systems；first integral；Darboux polynomial

O175.12

A

1671－1114（2011）02－0009－03

2010－05－20

国家自然科学基金资助项目（10871214）

桑 波（1976—），男，副教授，博士，主要从事常微分方程定性理论方面的研究.

（责任编校 马新光

）