杜英芳

（天津师范大学 生命科学学院，天津 300387）

随机变量函数的一种全序排列及其在教学评估中的应用

杜英芳

（天津师范大学 生命科学学院，天津 300387）

首先给出了有界变差函数相等的一个充要条件，在此基础上给出了随机变量函数的一种全序排列集，并利用这种顺序在学生成绩评估中给出了一种依据学生分数的全序排列.

随机变量；有界变差函数；全序排列集

1 随机变量函数的一种顺序

文献［3］证明了2个有界随机变量具有相同分布的充要条件为其各阶原点矩相同，本研究将其推广为如下定理.

证明 仅证充分性.由f（x）和g（x）的有界性知式（10）中的积分都是存在的.η，ζ都是随机变量，设其分布函数分别为G（x）和H（x），即

基于定理可以给出随机变量的有界可测函数全体的一种顺序.

2 应用

随机变量的矩有非常广泛的实际应用.在对各种不同的对象依据一些量化指标比较优劣时，通常是比较这些指标的加权平均值，此即为随机变量的一阶原点矩.在分析时有时候会用到方差，相应为随机变量的二阶中心矩.而单纯用加权平均值是无法完全区分不同对象的优劣的，如天津市2010年高考的理科考生5万余人，可能分值为0～750，利用平均分是不可能完全区分学生的优劣的，类似的实际问题还有很多.而利用本研究给出的排序方法，只要对象之间的指标不完全相同，就能比较其优劣.该比较方法是合乎一些实际问题的，如对高考选拔而言，首先注意的是学生的综合素质，这一点可由学生的平均分来反映.在学生综合素质相同的情况下，希望学生在某些方面有特长，这些可以由高阶矩来反映，从而克服了总分相同的学生无法比较优劣的缺点.下面用某学院学生12门专业课程成绩的排序来说明本研究的方法.

首先，该学院共有12门专业课，名称及相应的学分见表1.用随机变量ξ表示该院的专业课程科目，取值为其编号，相应的概率pi为该科目的学分占总学分的比例，见表1.

表1 12门专业课的学分及其概率Table 1 Credits and probabilities of 12specialized courses

利用常用的加权平均值，可以得到该院40名学生的由各科成绩计算得到的专业课成绩排名表（表2）.

表2 40名学生的成绩与排名Table 2 Scores and sort of 40students

从表2可以看出，2号、4号和35号学生的加权平均分相同，11号和27号学生的加权平均分相同，1号和3号学生的加权平均分相同，这些学生的成绩单纯利用加权平均分是无法比较优劣的，但利用高阶矩和本研究方法可以完全区分其优劣.

设η＝f（ξ）为某学生的各科得分，则利用离散型随机变量函数的各阶矩的计算方法可知η＝f（ξ）的k阶矩为

利用本研究建立的随机变量函数的序关系，由式（16）及该院40名学生的各科成绩可以计算得出其专业课成绩排名，见表3.

表3 修正后的学生成绩排名Table 3 Modified sort of scores

由此例可以看出，本研究对随机变量函数的排序方法具有一定的实际应用价值.

［1］ 周民强.实变函数［M］.北京：北京大学出版社，1995.

［2］ 谢庭藩，周颂平.实函数逼近论［M］.杭州：浙江大学出版社，1998.

［3］ 许贵桥，冯黎波，翟建仁.随机变量相等的一个充要条件［J］.工科数学，1997，13（3）：92－93.

A totally ordered set on functions of random variable and its application in teaching estimation

DUYingfang
（College of Life Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

A necessary and sufficient condition for the equality of the bounded variation function is obtained，and a totally ordered set on the functions of random variable is given.By using the results a totally ordered set which depends on scores of students in teaching estimation is given.

random variable；bounded variation function；totallyordered set

O211.5

A

1671－1114（2011）02－0091－03

2010－03－19

杜英芳（1965—），女，助理研究员，主要从事概率统计及其应用方面的研究.

（责任编校 马新光）