涉及Noor多重积分算子的解析函数的中间定理

2010-11-20刘名生

华南师范大学学报（自然科学版） 2010年2期

关键词：积分算子单叶微分

魏丽, 刘名生

(华南师范大学数学科学学院, 广东广州 510631)

涉及Noor多重积分算子的解析函数的中间定理

魏丽, 刘名生*

(华南师范大学数学科学学院, 广东广州 510631)

解析函数; Noor积分算子; 多重变换; 从属关系; 超属; 中间定理

的函数所形成的函数类. 特别地, 记A=A(1).

f(0)=g(0),f(U)⊂g(U).

令ψ:3×U→并且h(z)、p(z)在U内解析. 如果p(z)和φ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z)在U内单叶,且满足(二阶)微分超属

h(z)φ(p(z),zp′(z),z2p″(z);z),

(1)

那么函数p(z)被称为微分超属式(1)的一个解. 对于U内的解析函数q(z), 如果对任意满足式(1)的p, 都有qp,则称解析函数q(z)为微分超属解的一个从属或者就简称为一个从属.如果单叶函数满足: 对式(1)的任一从属q, 都有q则称为最佳从属.

(2)

记Dα: A→A, 定义算子Dαf(z), 使

其中“*”是Hamard乘积, 即

显然D0f(z)=f(z),D1f(z)=zf′(z), 算子Dnf(z)被称为f(z)的n阶Ruscheweyh导数.

(3)

则

文献[2]、[3]研究了算子Inf(z). 下面引进一种特殊的算子,定义如下:

(4)

(5)

1 定义和引理

在研究过程中, 我们需要下面的定义和结论.

θ(p(z))+zp′(z)φ(p(z))

θ(q(z))+zq′(z)φ(q(z)),

则p(z)q(z), 且q(z)是最佳控制.

ψp(z)+γzp′(z)ψq(z)+γzq′(z),

则p(z)q(z),且q(z)是最佳控制.

q(z)+γzq′(z)p(z)+γzp′(z),

则q(z)p(z),且q(z)是最佳从属.

2 解析函数的从属关系

定理1 设q(z)在U内单叶,且0<α<1. 假设q(z)满足

(6)

(1-n

(7)

其中幂函数取主值(下同), 则

且q(z)是最佳控制.

证明令

(8)

则由假设得p(z)是U内的解析函数. 利用式(5),由式(8)可得

于是由定理1的条件(7), 可得如下从属关系:

在定理1中令n=1,得到如下推论.

推论1 令q(z)在U内单叶,且0<α<1. 假设q(z)满足式(6).如果fA, 且满足U{0})和

(1-

则

且q(z)是最佳控制.

(9)

如果

则

且q(z)是最佳控制.

证明令

则p(z)是在U内解析, 于是由式(5), 经过计算得

取θ(w)=1和φ(w)=γ/w(w≠0),显然θ在内解析和φ在{0}内解析且

并且, 我们令

且

由式(9)可知Q(z)在U内单叶, 且

因此应用引理1, 我们即证得定理成立.

(10)

则

且q(z)是最佳控制.

由定理已知条件知:

和

由式(10)知Q(z)是在U内的星像函数且

则应用引理1, 定理3得证.

3 解析函数的超属关系

定理4 设q(z)为U内的凸单叶函数,且q(0)=1,,α>0. 假设fA满足R{}>0, 且

(11)

令(1-n在U内单叶解析. 如果f满足:

(12)

则

且q(z)是最佳从属.

证明令

则由式(11)知p(z)是U内的解析函数, 于是直接计算可得

由式(12)和引理3, 定理得证.

类似于定理4的证明, 我们得到下面的定理.

定理5 令q(z)是在U内的凸单叶函数,且q(0)=1,和0≤β≤1.假设fA且满A∩Q .定义函数:

ψ(n,β,δ;z)=1+α{→

(13)

如果ψ(n,β,δ;z)在U内单叶, 且

1+ψ(n,β,δ;z),

则

且q(z)是最佳从属.

应用引理4, 我们可以得到下面的定理.

成立, 则

q(z),

且q(z)是最佳从属.

由已知条件知:

令θ(w)=αw,φ(w)=γ/w(w≠0). 很容易知道θ(w)在内解析且φ(w)在{0}内解析, 且当w{0}时,φ(w)≠0. 另外,

应用引理4, 定理得证.

4 中间定理

比较微分从属和微分超属的结论, 我们可以进一步得到如下中间定理.

定理7 令q1(z)在U内是凸单叶函数和q2(z)在U内是单叶函数,且q1(0)=q2(0)=1,且0<α<1.假设q1(z)满足R{}>0且q2(z)满足式(6). 如果式(11)成立,

(1-n

在U内单叶. 若

nq2(z)+z(z),

则

且q1(z)、q2(z)分别是最佳从属和最佳控制.

定理8 令q1(z)在U内是凸单叶函数和q2(z)在U内是单叶函数,且q1(0)=q2(0)=1,α、≠0且0≤β≤1. 假设q2(z)满足式(9),令fA∩Q . 定义函数ψ(n,β,δ;z)为式(13)且在U内是单叶的. 如果:

则

且q1(z)、q2(z) 分别是最佳从属和最佳控制.

在U内单叶, 且

成立, 则

q1(z)q2(z)，

且q1(z)、q2(z)分别是最佳从属和最佳控制.

注2 在定理9中取n=p=α=γ=1,δ=0, 便得文献[9]中的相应结果.

[1] KUMAR S S, TANEJA H C,RAVICHANDRAN V. Classes of multivalent functions defined by Dziok-Sivastava linear operator and multiplier transformation[J]. Kyungpook Math J, 2006, 46: 97-109.

[2] NOOR K I. On new classes of integral operators[J]. J Nat Geom, 1999, 16(1-2):71-80.

[3] CHO N E. The Noor integral operator and strongly close-to-convex functions[J]. J Math Anal Appl, 2003, 283:202-212.

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[7] BULBOACA T. Classes of first-order differential superordinations[J]. Demonstr Math, 2002, 35(2):287-292.

[8] SRIVASTAVA H M,LASHIN A Y. Some applications of the briot-bouquet differential subordination[J].J Inequal Pure and Appl Math,2005, 6(2): Article 41,7pp.

[9] ALI R M, RAVICHANDRAN V, HUSSAIN M K,et al. Differential sandwich theorem for certain analytic functions[J]. Far East J Math Sci, 2004, 15(1):87-94.

Keywords： analytic functions; Noor integral operator; multiplier transformation; subordination; superordination; sandwich theorem

【责任编辑庄晓琼】

SANDWICHTHEOREMSOFANALYTICFUNCTIONSINVOLVINGNOOR-MULTIPLIERINTEGRALOPERATOR

WEI Li, LIU Mingsheng

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)