龙明生， 岑燕君， 李 铭

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州 510631)

电子声子相互作用对Graphene能带的修正

龙明生， 岑燕君， 李 铭*

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州 510631)

研究了电子声子相互作用对Graphene电子能带的影响,把电子和LO光频声子相互作用当作微扰，用微扰论方法计算了电子声子相互作用对电子能带的修正. 计算结果表明，在费米面附近，Graphene电子能带下移，电子费米速度下降．计算结果和实验测量基本符合．

单层石墨； 电子声子相互作用； 能带结构

Graphene是最近新发现的一种由单层石墨构成二维晶体材料[1]．以前，人们认为二维碳原子层在现实中是不可能存在的，即使分离石墨层的力不损伤石墨层，石墨自身的热释放也会像焚纸一样摧毁石墨层．但是2004年《Science》上的一篇文章报道A.K.Geim等人成功分离出了单层石墨层，证实了这种二维材料是可以稳定存在的[2-3]．他们用一种类似于“削铅笔”的方法，制成了单层碳原子层， 制造出了Graphene这种材料．Graphene这种新材料的独特性质引起了国际上材料学界的广泛关注．

Graphene是一层按照蜂窝状晶体点阵排列的碳原子[4]．它呈二维层状结构，如图1(a)所示．其点阵并不是完全平坦的，而是有小的起伏[5]．Graphene晶体点阵的每个元胞包含2个碳原子，如图1(a)中阴影区所示. 相邻碳原子通过SP2杂化轨道形成价键．Graphene的能带结构如图1(b)所示．由图可见，在布里渊区的6个顶角上，Graphene的价带与导带点连通.这些顶角附近的能带呈线性色散关系[6]，如图1(b)中放大后的插图所示．这些顶角称为狄拉克点[7]. 载流子的有效质量在狄拉克点附近消失．这正是Graphene的奇特性质的根源．

由于Graphene能带在狄拉克点附近的线性关系，Graphene具有许多奇特的物理性能．首先，载流子的速度接近光速以及无质量的特性使Graphene成为研究相对论效应的一种理想材料．此外，Graphene中的电子运动速度高，迁移率高，可以用来制造高速响应的电子器件．目前,曼彻斯特大学的研究人员用graphene制造出了可以在常温下运行的单电子晶体管(SET)的模型[8]．这种晶体管只有1个原子层厚、10个原子宽，给半导体工业带来了一个新的发展机遇．研究人员估计，如果能去除材料中的杂质，Graphene可望在室温下实现高达200 000 cm2/Vs的电子迁移率，比硅材料高大约100倍．最近，人们还发现Graphene材料在室温下出现量子霍尔效应[9-10]，对研究量子现象有重要价值．

图1 Graphene的晶体点阵和能带结构

Graphene产生奇特电子特性的原因是其特殊的能带结构．费米面附近的能带直接影响材料的性质．研究表明，电子声子相互作用对能带结构有显著的影响，尤其是会显著降低电子迁移率．因此，研究Graphene材料中电子声子相互作用对材料电子性质的影响有重要的应用价值．由于电子声子相互作用，狄拉克点附近的能带结构不再保持严格的线性关系．本文用二级微扰处理电子声子相互作用，计算电子声子相互作用对能带的影响．

1 电声子作用微扰计算

Graphene元胞中的2个碳原子A和B相对运动，产生极化电场对晶体中传导电子产生电磁作用．纵光频声子(LO)比纵声频声子[11]对传导电子的作用强得多．因此，本工作主要考虑LO声子对晶体中载流子能带的影响．由于电声子相互作用相对于电子之间的相互作用较弱，计算时电声子相互作用可以当作微扰处理．

在长波近似下LO声子的位移场可写为[11]

(1)

位移场给出的极化电场为

(2)

其中常量F由利顿-萨克斯-特勒关系式给出:

(3)

其中ε∞为高频介电常数，ε0为静态介电常数．用二次量子化表示的电势为

(4)

在自由电子近似下，电子声子相互作用的哈密顿量为

(5)

(6)

导带能量为

εk=|(k-Q)|vf=

(7)

其中vf为费米速度，Q是狄拉克点的波矢．当温度为0K时，设导带底部|k〉状态上有一个电子，声子处于真空态|0〉，没有电子声子相互作用时系统的状态为

(8)

由于电子与声子相互作用比较弱，用微扰理论计算Hep对Graphene中狄拉克点附近电子的能量修正为

(9)

它代表电子先发射q声子，然后再吸收同一声子的自能过程，其中求和禁止分母为0的q．根据

(10)

(11)

我们可求得

(12)

因此

(13)

Ek=

Ek=

(14)

其中

狄拉克点附近电子能带向下移动β，费米速度下降,由vf变为(1-α)vf．

2 计算与实验结果比较

式(14)说明电子与LO声子相互作用使电子能带下移β， 狄拉克点附近电子的费米速度vf减小为原来的1-α倍．狄拉克点附近能带发生弯曲如图2(a)所示．这个结果与如图2(b)所示的实验结果[12]基本一致．实验结果表明，能带整体下移0.5 eV，在费米面上出现拐点，斜率变小．

图2 电声子相互作用对能带的修正和Graphene能带测量结果的对比

Fig.2 Comparision between the correction of the electron-phonon interaction to energy bands and the measurement of graphene’s energy bands

目前还没有Graphene的高频介电常数的实验数据．根据实验数据可以反推出高频介电常数等重要参数．

计算结果表明，电子声子相互作用正确地解释了Graphene电子能带在费米面附近偏离线性色散关系的性质．电子声子相互作用对电子能带有明显的影响，引起电子能带下移，电子费米速度下降．在有限温度下，电子声子相互作用的影响还会更显著．

3 结论

本文研究了电子声子相互作用对Graphene电子能带的影响，把电子和LO光频声子相互作用当作微扰，用微扰论方法计算了电子声子相互作用对电子能带的修正．计算结果表明，电子声子相互作用导致Graphene电子能带下移，电子费米速度下降．计算结果和实验结果基本符合．

致谢作者衷心感谢胡梁宾教授的有益讨论．

[1] NOVOSELOV K S, GEIM A K, MOROZOV S V, et al. Electric field effect in atomically thin carbon films[J]. Science, 2004, 306: 666-669.

[2] NOVOSELOV K S, JIANG D, BOOTH T, et al.Two-dimensional electron and hole gases at the surface of graphite[J]. Phys Rev B, 2005, 72: 201401(1-4).

[3] NOVOSELOV K S, GEIM A K, MOROZOV S V, et al. Magnetoelectronic properties in low-dimensional graphene systems[J]. Nature, 2005,438: 197-200.

[4] PERES N M R, GUINEA F, CASTRONETO A H. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon[J]. Phys Rev B, 2006, 73: 125411(1-23).

[5] MEYER J C, GEIM A K, KATSNELSON M I. The structure of suspended graphene sheets[J]. Nature, 2007, 446:60-63.

[6] ZHOU S Y, GWEON G H, GRAF J, et al. First direct observation of Dirac fermions in graphite[J]. Nature Physics, 2006, 2: 595-599.

[7] SLONCZEWSKI J C, WEISS P R. Band structure of graphite[J]. Phys Rev, 1958, 109:272-279.

[8] GEIM A K, NOVOSELOV K S. The rise of graphene[J]. Nature Materials, 2007, 6: 183-191.

[9] ABANIN A, NOVOSELOV K S, LEE P A, et al. Dissipative quantum hall effect in graphene near the Dirac point[J]. Phys Rev Lett, 2007, 98: 196806(1-4).

[10] ZHANG Y, TAN Y W, STORMER H L, et al. Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry’s phase in graphene[J]. Nature, 2005,438: 201-204.

[11] 李正中. 固体理论[M]. 北京：高等教育出版社，2003：148-150.

[12] BOSTWICK A, OHTA T, SEYLLER T, et al. Quasiparticle dynamics in graphene[J]. Nature Physics, 2007, 3: 36-40.

Keywords： graphene; electron-phonon interaction; energy band

【责任编辑 庄晓琼】

THECORRECTIONSOFTHEELECTRON-PHONONINTERACTIONTOTHEBANDSTRUCTUREOFGRAPHENE

LONG Mingsheng, CEN Yanjun, LI Ming

(School of Physics and Communication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

The influence of the electron-phonon interaction to the band structure of graphene is studied. The interaction between electron and the longitudinal optical phonons is taken to be a perturbation, then the corrections of the interaction to the band structure are calculated using the perturbation theory. The calculation shows that the energy bands shift downwards and the electron fermi velocity decreases. These results are in agreement with the experimental data.

2009-10-23

广东省自然科学基金资助项目(07005834)

龙明生(1982—)，男，湖南保靖人，华南师范大学2007级硕士研究生，Email：longms@126.com;李铭(1964—)，男，湖北荆州人，博士，华南师范大学副教授，主要研究方向：凝聚态物理，Email：wliming@scnu.edu.cn.

*通讯作者

1000-5463(2010)02-0055-04

O469

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