高等代数蕴含的哲学思想

2010-10-23刘振宇

枣庄学院学报 2010年2期

关键词：特殊化代数线性

刘振宇

(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄 277160)

高等代数蕴含的哲学思想

刘振宇

(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄 277160)

德国数学家佛雷格(F.L.Frege,1848～1925)曾指出:一个好的数学家,至少是半个哲学家;一个好的哲学家,至少是半个数学家.这就生动地描述了数学与哲学有着难以割舍的关系,精辟地道出了数学蕴含着丰富的哲学思想。本文主要阐述了高等代数中蕴含的哲学思想,具体包括:普遍联系的思想,抽象与具体的思想,一般化与特殊化的思想,否定与肯定的思想,有限与无限的思想,近似与精确的思想.

高等代数;哲学思想;普遍联系;抽象与具体;一般化与特殊化;否定与肯定;有限与无限;近似与精确＊

0.高等代数中的哲学思想

一个好的数学家,至少是半个哲学家;一个好的哲学家,至少是半个数学家.

——(德国数学家)佛雷格(F.L.Frege,1848～1925)

哲学是理论化、系统化的世界观.哲学是用最普遍的概念、最一般的范畴和具有普遍性的规律来把握世界.哲学是世界观和方法论的统一.世界观是对世界的总的看法,由此分析、解决问题,就转化为方法论.

有一位哲人曾指出:没有数学,我们无法看穿哲学的深度;而没有哲学,人们也无法看穿数学的深度;而若没有两者,人们就什么也看不透.

当今世界,

数学的领域在扩大;

哲学的地盘在缩小.

曾几何时,哲学把整个宇宙作为自己的研究对象.那时,它包罗万象,数学只不过是算术和几何而已.

17世纪,自然科学的大发展迫使哲学退出了一系列研究领域,哲学的中心问题从“世界是什么样的”变成“人怎样认识世界”.同时,数学扩大了自己的领域,它开始研究运动与变化.

今天,数学正在向一切学科进行渗透,它的研究对象是一切抽象结构——所有可能的关系与形式.从某个角度上讲,哲学从一个领域“退出”,就意味着一门学科的诞生.而数学一旦渗入一门学科,有可能或者甚至控制这门学科,同时“宣告”这门学科已趋于“成熟”.

数学在当今任何具体学科领域内都有出色表现,但是如果离开了具体学科,数学就成了无源之水,因此,数学要想创新和发展,就必须向每一门具体学科渗透,从某种意义上讲,数学是最容易进入“成熟”的科学.

模糊的哲学与精确的数学是统一的.

高等代数是一门比较抽象的数学专业基础课程,在高等代数中蕴含了丰富的哲学思想.通过对具体对象的抽象进行研究,从辩证的哲学角度来研究高等代数,有利于我们更深入、更科学地研究它.本文通过对高等代数中的抽象与具体、有限与无限、特殊与一般、普遍联系等若干方面来探讨高等代数中蕴含的哲学的、辩证的思想.

1 普遍联系的思想

数学的力量是抽象,但是抽象只有在覆盖了大量特例时才是有用的.

——(美国数学家)伯斯(L.B ers,1914～1993)

1.1 普遍联系的思想

辩证法认为,世界上一切事物都处于普遍联系之中,没有脱离联系而孤立存在的事物.普遍联系原理主要有三个方面,一是普遍性:世界上的一切事物、一切现象都不是互相隔绝、彼此孤立的,而是互相联系的;二是联系的客观性.联系是事物本身所固有的,是客观的、不以人的意志为转移的;三是多样性:联系是复杂和多样的.物质世界联系的普遍性,是通过具体的事物多种多样的具体联系表现的,具体有直接联系和间接联系、内部联系和外部联系、本质联系和非本质联系、必然联系和偶然联系等等.

事物一方面存在着普遍联系,另一方面又存在着相对独立性,即:任何事物都同其他事物相区别而相对独立地存在.事物的普遍联系和事物的相对独立存在是互为前提的.在学习和研究数学时,由于规律隐藏在其内部,我们只有发挥主观能动性,才能透过现象认识、把握内在规律.我们要创新就必须发挥主观能动性,利用内在规律去开拓创新.

科学的任务是揭示事物的联系,数学也不例外.科学的突破往往表现在把人们通常看来似乎没有联系的事物联系起来,发现事物新的联系.唯物辩证法的规律是渗透于自然界、人类社会和思维各个领域内的普遍规律,当然也渗透于数学,渗透于代数学,渗透于高等代数.

1.2 高等代数蕴含的普遍联系的哲学思想

高等代数中矩阵的思想、公理化的思想、结构的思想和同构的思想都渗透着普遍联系的思想.高等代数内容上也蕴含着丰富的普遍联系的思想.

1.2.1 整数的结构与多项式环

整数与多项式在加法、减法、乘法、带余除法、整除性、最大公因数(式)、互素、最小公倍数(式)、因数(式)分解等个内容与结构都是完全对应的,充分说明整数与多项式之间体现着事物的普遍联系性,当然它们之间除了相互联系的相同点之外也有很多个体属性差异,事实上它们是不同的对象,各自具有不同的属性,存在着相对独立性.

整数与多项式之间之所以存在这种共性,是因为它们都是同一种代数结构——环,并且都是整环,都有单位元,都是无零因子环.

1.2.2 线性方程组与矩阵

数域F上的线性方程组通过线性方程组的增广矩阵与数域F上的矩阵建立了一一对应关系,它们也具有相同的代数结构,它们之间体现着事物的普遍联系性,在一定条件下,它们之间可以相互转化,互为工具.

1.2.3 二次型与对称矩阵

数域F上的二次型通过二次型的矩阵表示与数域F上的对称矩阵建立了一一对应关系,并且数域F上的全体二次型组成的集合与数域F上的全体对称矩阵组成的集合分别作成数域F上不同的线性空间,它们具有相同的代数结构,它们之间体现着事物的普遍联系性,根据同构的结构思想,在一定条件下,它们之间可以相互转化,互为工具.

1.2.4 向量、矩阵、多项式都构成线性空间

在由数域F上所有的向量组成的集合、由数域F上所有的矩阵组成的集合、由数域F上所有的多项式组成的集合等对于各自定义的加法、数量乘法都满足八条运算法则,因此它们分别作成数域F上不同的线性空间,但是它们是相同的代数结构,它们之间体现着事物的普遍联系性,根据同构的结构思想,在一定条件下,它们之间可以相互转化,互为工具.

1.2.5 线性变换与矩阵

数域F上的线性空间中的线性变换通过线性变换在某一组基下的矩阵与数域F上的方阵建立了一一对应关系,并且数域F上的线性空间中的全体线性变换组成的集合与数域F上的全体方阵分别作成数域F上不同的线性空间,它们也具有相同的代数结构,它们之间体现着事物的普遍联系性,根据同构的结构思想,在一定条件下,它们之间可以相互转化,互为工具.

1.2.6 实向量空间、实矩阵空间、实多项式空间都构成欧氏空间

在实向量空间、实矩阵空间、实多项式空间等中定义各自的内积都满足交换律、第一变元的线性性和正定性,因此它们分别作成不同的欧氏空间,它们都具有相同的代数结构,它们之间体现着事物的普遍联系性,根据同构的结构思想,在一定条件下,它们之间可以相互转化,互为工具.

1.2.7 内积与矩阵

数域R上的线性空间通过建立的内积作成欧氏空间,内积通过欧氏空间的基的度量矩阵与正定矩阵之间建立了一一对应关系.如果给定一组基,在内积与正定矩阵之间也可以建立一一对应关系,并且它们也具有相同的代数结构,它们之间体现着事物的普遍联系性,在一定条件下,它们之间可以相互转化,互为工具.

1.2.8 双线性函数与矩阵

数域F上的线性空间上的双线性函数通过通过线性空间的基的度量矩阵与矩阵之间建立了一一对应关系.如果给定一组基,在双线性函数与矩阵之间也可以建立一一对应关系,并且它们也具有相同的代数结构,它们之间体现着事物的普遍联系性,在一定条件下,它们之间可以相互转化,互为工具.

世界上的事物之间的联系又具有复杂多样性,在某种意义上讲,高等代数中的任何内容都与矩阵可以建立某种联系,但是这些联系是复杂多样的,各有各的对应关系、各有各的对应方式、各有各的实现手段、各有各的思想方法.同时这些联系体现了事物的普遍联系性,同时也体现了联系的多样性和复杂性.

2 抽象与具体的思想

一位好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别,在于前者手中有很多具体的例子,而后者只有抽象的理论.

——当代数学大师陈省身(1911～2004)

2.1 抽象与具体的思想

抽象与具体是对立统一的辩证关系,是辩证思维的方法,抽象是具体的意识形态,具体是抽象的思维方式和行为方式.

抽象来自具体,具体反映抽象.抽象是具体的概括,具体是抽象的物化.著名数学家柯尔莫哥洛夫在《数学,它的内容、方法和意义》一书中指出数学有三大特点:抽象性、严谨性、应用的广泛性.

数学是抽象的,但又是具体的.

如果只谈抽象,不谈具体例子,抽象就会变成无源之水,无本之木,抽象就难于理解,难于感觉.因此,我们不但要学会如何从具体到抽象,还要学会将抽象的定理、问题具体化.当代数学大师陈省身(1911～2004)先生曾经说过一段话:一位好的数学家与一个蹩脚的数学家之间的差别,在于前者手中有很多具体的例子,而后者只有抽象的理论.所以,我们应当掌握更多的具体的例子,使抽象的东西变为能够感觉的,易于把握的具体的例子.

2.2 高等代数蕴含的抽象与具体的哲学思想

学过高等代数的人都认为它是抽象的,尤其是初学者,从抽象的概念到具体的实例,从抽象的推理到具体的计算,从抽象的构造到具体的结构,从抽象的同构到具体的转化,…,高等代数中无不渗透着抽象与具体的哲学思想.

抽象的因式分解理论与具体多项式的因式分解;

抽象的初等变换与具体的行列式;

抽象的线性方程组与具体的矩阵;

抽象的二次型与具体的对称矩阵;

具体的线性空间与抽象的线性空间;

抽象的向量与具体的坐标;

抽象的线性变换与具体的矩阵;

抽象的线性变换形成具体的线性空间;

抽象的内积与具体的度量矩阵;

具体的欧氏空间与抽象的欧氏空间;

抽象的双线性函数与具体的度量矩阵;

具体的计算与抽象的理论;

问题的抽象与转化的具体.

3 特殊化与一般化的思想

一般化、特殊化和类比是获得发现的源泉.

——(二十世纪最伟大的数学教育家)波利亚(1887～1985).

3.1 特殊化与一般化的思想

特殊化与一般化是对立的统一,在人类的认知活动中,常通过特殊去探索一般,从一般研究特殊,特殊化与一般化不仅在科学研究中有着重要的地位和作用,而且在数学的学习和研究中,一般化与特殊化是两种非常重要的思维方法,也是解题的两种基本策略.特殊化与一般化这两种思维方法是统一的,相辅相成的,不是孤立的.正是由于特殊与一般的这种辨证关系,有时需要同时运用.

特殊化与一般化的思想方法具体包括:特殊到一般;一般到特殊;先特殊后一般;先一般后特殊.

特殊化与一般化在一定条件下可以相互转化、相互作用,也是高等代数中的重要的思想方法.

3.2 高等代数中的特殊化与一般化的思想

高等代数中很多概念、基本理论与方法的建立体现了由特殊到一般的思想方法和一般到特殊的思想方法.

3.2.1 概念的一般化与特殊化

高等代数中有很多概念是利用了由特殊到一般,具体如:

n维向量引入是对二维向量、三维向量的推广,是由特殊到一般的过程.

n维线性空间是对向量空间的推广,是由特殊到一般的过程.

n维欧氏空间是对几何空间的推广,是由特殊到一般的过程.

多项式的因式分解,矩阵对角化,二次型化平方和等,都是由一般到特殊的转化过程.

3.2.2 解题中的一般化与特殊化

3.2.2.1 多项式理论中的特殊化与一般化的思想方法

多项式理论包含着丰富的特殊化与一般化的思想方法,任意数域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函数与根的问题,到常见数域上的整除、最大公因式、因式分解、重因式、函数与根的问题.

3.2.2.2 行列式中特殊化与一般化的思想方法

行列式中包含着丰富的特殊化与一般化的思想方法,行列式的求值本身就是一种特殊化的化简成特殊形式的过程.有很多问题是另一些问题的特殊化或者一般化.

3.2.2.3 线性方程组中的特殊化与一般化的思想方法

线性方程组中包含着丰富的特殊化与一般化的思想方法,线性方程组的求解本身就是一种特殊化的化简成特殊线性方程组的过程.

3.2.2.4 矩阵中的特殊化与一般化的思想方法

矩阵中包含着丰富的特殊化与一般化的思想方法,矩阵的等价就是利用初等变换把矩阵作一种特殊化的化简成其阶梯形、标准形、合同标准形、相似对角形等的过程.

3.2.2.5 二次型中的特殊化与一般化的思想方法

特殊化与一般化的思想方法在二次型中有较广泛的应用.

(2)矩阵A1/A1+AA2+…+AAs非奇异.特别地,当s=n时,即当ni=1时,有为正定矩阵.

3.2.2.6 欧氏空间中的特殊化与一般化的思想方法

欧氏空间中包含着丰富的特殊化与一般化的思想方法.作为建立在实线性空间的欧氏空间理论,首先是实线性空间,是定义了内积的实线性空间,当然其中有内积.因此欧氏空间作为实线性空间,其中有基,也有特殊的基---正交基、标准正交基.

4 否定与肯定的思想

反证法是数学家最精当的武器之一.

——(英国数学家)艾萨克·牛顿(Isaa c N ew ton1643～1727)

4.1 否定与肯定的思想

任何事物都包含肯定和否定两个方面,数学作为自然科学的基础,当然也不例外.肯定和否定不仅是对立的,还是统一的,它们互相渗透.既要在肯定中看到否定,又要在否定中看到肯定,不能肯定一切或否定一切.否则就割断了事物的普遍联系性.无论是肯定,还是否定的,思维都必须符合一定的规律.辩证的逻辑思维的基本规律一般包含:同一律、矛盾律、排中律.

反证法是一种常用的数学方法,当然也是代数学中常用的数学方法,它是一种间接证明方法.著名的美国数学家、教育家玻利亚也曾说过:“反证法是数学方法中最精良的方法之一”.在现代数学中,反证法已成为最常用和最有效的不可或缺的解决问题的方法之一.

反例在数学中,特别是代数学中的有着很重要的作用,有时可以起到一针见血的作用.对于一个正确的定理、性质或命题,必须给出证明;而要否定一个概念、命题,通过正面的解释或证明很难奏效,甚至不可能.此时如果能给出一个反例,胜过千言万语,一切解释和说明都显得苍白无力.

数学中否定与肯定的思想无处不在,高等代数中的否定与肯定的思想也无处不在.

4.2 高等代数中的否定与肯定的思想

高等代数中到处体现着的否定与肯定的思想,它体现在数学的思想和方法上.在思想上,高等代数中概念的建立、性质定理的确定和整体系统的形成,无不渗透和体现着辩证的否定与肯定的思想.在方法上,主要体现在反例和反证法的运用,反例的思想是一针见血,事实胜于雄辩,而反证法的思想简洁有力,是不可或缺的一种解决问题的方法.

11.4.2.1 高等代数中的反例的思想方法

如果想否定一个命题,反例的作用一针见血.在高等代数中反例的几乎随处可见.一般来讲,对于正确的性质或命题,只要能给出准确的证明,就可以确定肯定其正确性;但是对于判定研究对象是否具备一个性质、给出一个判定、一个命题是否正确,有时候是很困难的事情,甚至是不可为的,但是此时如果能给出一个反例,那就是一针见血地确定其错误,这种方法一般称为反例法.反例思想是高等代数中的重要思想方法,对概念、性质的理解,问题的研究和探讨是不可替代的.

反例法的主要作用:一、可以促进新理论的形成;二、揭示概念的内涵;三、确定概念之间的关系.反例的主要构造方式:特殊情况构造反例,直观构造反例.

4.2.2 高等代数中的反证的思想方法

反证法简洁有力,是一种有力的证明方法.在高等代数中反证法的应用随处可见.一般来讲,反证法常用来证明的题型有:结论以“否定形式”、“至少”或者“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显、具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,而改变思维从结论的反面入手比较容易解决的命题.

在很多情形下,我们用正向思维和直接证明方法解决不了的问题,用逆向思维或间接证明方法往往可以解决或者轻而易举地解决.高等代数中有很多问题,靠一般方法难以奏效时,反证法可能会助人一臂之力.

反例和反证法的思想方法在高等代数中的体现和应用有很多.

5 有限与无限的思想

没有任何其他的问题能像无限那样,从来就深深地触动着人的情感.没有任何其他的观念能像无限那样,对人的理智起了如此激励和有成效的作用.然而也没有任何其他的概念,能像无限那样需要加以阐述了.

——德国数学家希尔伯特(Hilbert David 1862～1943)

5.1 有限与无限的思想

有限与无限是物质世界固有的矛盾之一.反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴.有限和无限反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系.

有限和无限的关系是辩证的,是对立的统一.具体表现在:①无限由有限构成、无限不能脱离有限而独立存在.②有限包含着无限,有限体现着无限.③有限和无限的辩证统一,在一定意义上说,每一物质客体既是有限的又是无限的,是有限和无限的统一.

无限和有限不但具有量的区别,而且具有质的差异,具体表现在哲学上的量变引起质变的,这也是认识论上的一个重大飞跃.高等代数中表现出来的无限和有限,与数学分析中表现出来的无限和有限又有着质的差异,它是从另一个层面上来诠释无限和有限的这一哲学思想.

有限与无限是对立的统一,高等代数中有很多内容是通过有限来认识无限,或者,通过无限确定有限,正像希尔伯特在《论无限》中讲到:没有任何其他的问题能像无限那样,从来就深深地触动着人的情感.没有任何其他的观念能像无限那样,对人的理智起了如此激励和有成效的作用.然而也没有任何其他的概念,能像无限那样需要加以阐述了.

代数中有限与无限,通过一定桥梁,可以建立等价表示形式,如n(>0)维线性空间中的无限多个向量可以利用有限的n个向量线性表出;有限的n个向量可以表示无穷多个向量.

无限和有限是数学的永恒话题,高等代数中的无限和有限之间是优美的转化,巧夺天工.

5.2 通过有限来刻画无限通过无限来研究有限

除零空间外的有限维线性空间都包含着无穷多个元素,尽管是无穷集,它可以由线性运算,利用线性组合通过有限个向量来刻画和表示整个线性空间的无穷多个向量,如:非零有限维线性空间中的无穷多个向量可以用有限个向量来刻画和表示,即其中的任意向量都可以被它的基线性表出.对于某些无限维线性空间,虽然找不到有限个向量来表示整个线性空间的,可以找到无限多个向量来表示整个线性空间,如:

具体体现无限与有限的思想的内容有:

(1)线性方程组含有无穷多个解,可以利用有限个解向量来刻画;反过来,可以利用线性方程组解空间来研究线性方程组.

(2)无限维线性空间与有限维线性空间都含有无穷多个向量,但有限维线性空间可以利用有限个向量来张成,但是无限维线性空间不可以;反过来,可以利用向量可以生成线性空间.

(3)无限维欧氏空间与有限维欧氏空间都含有无穷多个向量,但有限维欧氏空间可以利用有限个向量来张成,但是无限维欧氏空间不可以;反过来,可以利用向量可以生成线性空间.