马纯

(西安思源学院基础部，陕西西安 710038)

一类具有垂直传染的传染病模型的分析

马纯

(西安思源学院基础部，陕西西安 710038)

建立了一类具有垂直传染的SEIT结核病模型,利用Lyapunov函数和LaSalle不变集原理研究了系统无病平衡点的全局稳定性;利用Jacobian矩阵研究了地方病平衡点的局部稳定性，并利用Matlab数学软件,通过数值模拟,对所建立的模型进行了仿真.

传染病模型 垂直传染 稳定性

结核病最常见的传播途径有三条：

一、空气－呼吸道，这是结核病最主要的传染途径.

二、食物传染.结核病人用的餐具、吃剩的食物上都可能污染了结核杆菌.

三、垂直传播.患有结核病的母亲在怀孕期间，其体内的结核杆菌可通过脐带血液进入胎儿体内，胎儿也可因咽下或吸入含有结核杆菌的羊水而感染，从而患上先天性结核病.

1 模型的建立

根据结核病的传播特性[1-6]建立了模型，把人口种群分为四个类型 ：易感者（Susceptible individuals），潜伏者（Exposed（Latent）individuals），染病者（Infectious indi－viduals） 和治愈者（Treated individuals），分别简写为：S，E，I，T.总人口用N表示，则有

建立的如下的SEIT系统

其中，所有参数均为正：

μ：平均死亡率系数；b：人口出生率系数；β：平均传染率系数（即易感者单位时间内被感染者感染的次数）；c：一个人单位时间内接触的人数；d：因病死亡率系数；k：平均转化率系数（即一个潜伏者成为染病者的概率）；r1：潜伏者的治愈率系数；r2：临床病人的治愈率系数；p：潜伏者后代为潜伏者的比例系数；q：染病者后代为潜伏者的比例系数（其中0＜p；q＜1）；pbE＋qbI：出生人群成为潜伏者的项.因此总人口可表示为

因为s＋e＋i＋t＝1.通过观察，变量t在系统的前三个方程中没有出现.这样可以只需研究系统的前三个方程

从生物学意义考虑，只在

闭集中对系统进行研究，可以证明A是关于系统的正向不变集.系统在A中有两个平衡点：无病平衡点P0＝（1，0，0）和地方病平衡点P*（s*，e*，i*）且是系统的修正再生数.

2 模型的分析

定理2.1当σ＜1时，系统的无病平衡点P0＝（1，0，0）在A内是全局渐近稳定的.当σ＞1时，P0＝（1，0，0）是不稳定的，且除S轴外，从A内充分靠近P0点出发的解都远离P0.

定理2.2假设b＞d，当σ≥1时P*，系统P*在集合A中局部渐近稳定.

3 数值模拟

图1 σ＜1无病平衡点P0全局稳定示意图

图2 σ＞1地方病平衡点P*全局稳定示意图

在图1是当修正再生数σ＜1时，如图所示，系统的无病平衡点P0在集合A中是全局渐近稳定的；当修正再生数σ＞1时，其解无病平衡点不稳定，此时，疾病将会持续.在图2当修正再生数σ＞1时，系统的地方病平衡点 P*在集合A中全局渐近稳定的.

[1]Juan Pablo Aparicio,Angel F.Capurro,Carlos Castillo-Chavez,Transmission and Dynamics of Tuberculosis on Generalized Households[J].theor Biol,2000,206:327-341.

[2]Zhilan Feng,Carlos Castillo-Chavez.A Model for Tuberculosis with Exogenous Reinfec-tion[J].Theoretical Population Biology，2000, 57:235-247.

[3]Freedman H I,Tang M X,Ruan S G.Uniform persistence and ows near a closed positively invariant set[J].Dynam Di Equat，1994,6:583.

[4]Li,M Y，Graef J R，Wang L G，et al.Global dynamics of an SEIR model with a varying total population size[J].Math.Biosci,1999,160: 191-213.

[5]RaleighJW,WichelhausenRH.Exogenousreinfectionwithmycobacteriumtuberculosisconrmedbyphagetyping[J].AmRevRespirDis,. 1973，108:639-642.

[6]Bates J H,Stead W,Rado T A.Phage type of tubercle bacilli isolated from patients with two or more sites of organ involvement[J].Am Rev Respir Dis,1976,114:353-358.

Abstract:An SEIT epidemic model with vertical transmission is considered.By Lyapunov function and LaSalle invariant set theorem,It proved the global asymptoticalstable results of the disease-free equilibrium.By Descartes'Rule of Signs,proved the local asymptotical stable results of the endemic equilibrium.It proved the results of the model with the help of Matlab by numerical simulations.

Key words:epidemic model;vertical transmission;stability

〔编辑 高海〕

Stability of SEIT Epidemic Model with Vertical Transmission

MA Chun
(Department of Basic Courses,Xi'an siyuan University,Xi'an Shaanxi,710038)

O175.13

A

1674－0874（2010）03－0017－02

2010－03－15

马纯(1981-),男,山西晋城人,硕士,助教,研究方向:生物数学.