郑州大学西亚斯国际学院 葛明涛 樊永良 董素鸽

基于小波变换的自适应图像去噪研究*

郑州大学西亚斯国际学院 葛明涛 樊永良 董素鸽

小波域的信息处理有多分辨率分析的特性，图像经一系列小波变换就可以得到不同尺度下的图像特征，并能较好地刻画图像的非平稳性，在图像去噪方面有着传统去噪方法无法比拟的优势。本文，笔者阐述了图像小波去噪的原理，分析了影响去噪的关键因素、阈值函数的构造、阈值的选取及小波的分解层数等，并给出了优化的自适应图像去噪方案。

一、图像去噪方法

1.常用的图像去噪方法。图像去噪是图像处理的重要环节，关系到图像处理的质量。常用的图像去噪方法可分为基于空域的方法和基于变换域的方法。前者是对原图像素点的灰度值进行数据处理，典型的方法有中值滤波、均值滤波等，但这些方法往往会在去除噪声的同时引起图像边缘和细节模糊等问题。变换域去噪是将原定义在空域的图像以某种形式转换到其他空间，并利用这些空间的特有性质对变换后的图像信息进行处理，再反变换回图像空域。常用的方法是傅立叶变换去噪，该方法采用低通滤波来平滑抑制噪声，但在去除噪声的同时也会把图像的边缘变模糊。

2.变换域小波域去噪法。变换域小波域去噪是利用含噪图像在小波域中信号与噪声在小波系数上存有差异这一特点而实现的，即图像边缘（信号的突变点）对应的小波系数极大值随着分解尺度的增大而增大，而噪声（以白噪声为例）对应的小波系数极大值随着尺度的增大而减小。当分解尺度增大到某个尺度时，绝大部分白噪声对应的小波系数极大值因衰减而消失，该情况说明信号的能量集中于少数较大的系数上，而噪声则主要表现为小系数。因此，通过选取合适的阈值，将绝对值小于阈值的小波系数作为噪声去除，从而达到去噪的目的。小波的不同分辨层次所体现的多分辨率特性使得图像的轮廓信息可以在低分辨率下通过提取边缘信息来获得，纹理信息则可在较高的分辨率下表现。所以，小波域图像去噪能更多地突出图像的边缘特性。

二、图像的小波域变换

一了各种具体的小波的构造方法，并于1987年提出了著名的小波分解与重构的塔式算法。只要将该方法推广到二维空间，即可应用到图像的分解与重建上。为此，我们将图像视为一个能量有限的二维函数f（x，y）∈L2（R2），对于可分离的L2（R2）多分辨率空间，设ψ（x，y）为一维母小波，对应的尺度函数为φ（x，y），x、y分别代表横坐标和纵坐标，则有：

对应二维平面的3个方向：水平、垂直和45°方向。3个方向的二维小波函数为：

在x方向上分别用φ（x）和ψ（x）作分析，把f（x，y）分解成平滑逼近和细节两部分，再分别对其沿y方向上作类似分析。这样多分辨率小波变换就可以把图像分解到更低分辨率的水平上，这一级的子图像由低频的轮廓信息和原信号在水平、垂直和对角线方向上的高频部分的细节信息组成。每一次分解均使得图像的分辨率变为原信号的1/2。对于二维离散小波变换，其分解公式为：

Ajf（x，y）=[f（x,y）,2-jφ（2-jx-n）φ（2-jy-m）]，（5）辨

率的低频轮廓信息，D（1）2n f为垂直方向的高频细节信息，D（2）2n f为水平方向的高频细节信息，D（3）2n f对角线方向的高频细节信息。经过二维小波变换，将原图像逐级分离成具有不同尺度的子图像，其中包含4个分量：低频分量LL，保留了原图的大部分信息；高频分量LH、HL、HH均包含了边缘、区域轮廓等细节信息。同时LL还可以进行第j+1级小波分解，以得到下一级分辨率下的图像表示。图像的3级小波分解见图1。

S.Mallat提出的小波多分辨率概念，在泛函分析的框架下统

三、小波阈值去噪

1.小波阈值去噪的步骤。含噪信号的数学模型可描述为：

f（k）=s（k）+n（k）。（9）

图1 图像的3级小波分解

其中，f（k）为待测信号，s（k）为原始信号，n（k）为高斯白噪声信号，满足n（k）～N（0，δ2）的正态分布。可见去噪问题即为如何在信号f（k）中去除噪声n（k），同时尽可能多地保留s（k）信息。根据上述小波去噪的原理，采用阈值消噪的一般步骤是：

（1）选择合适的小波基Φ（x）及相应的分解尺度j，对含有噪声的信号进行二进离散小波变换，得到各尺度上的小波系数Cj，k。

（2）选择合适的阈值T及相应的阈值处理函数g（Cj，k，T）对小波系数进行处理，得到处理后的系数j，k=g（Cj，k，T）。

（3）对处理后的系数j，k进行小波重构，得到信号s的近似信号s。

2.阈值函数及阈值的确定。由以上小波阈值去噪的步骤可以看出，小波阈值去噪的关键是如何使近似信号s更逼近原信号，即如何最大程度的滤除噪声信号n，同时尽可能多地保留信号s的信息。因此，小波阈值去噪的关键是如何选取门限阈值及阈值处理函数。

Donoho提出了基于软阈值和硬阈值的小波去噪算法，该方法设计的阈值函数计算简单。硬阈值法是将模小于阈值的小波系数Cj，k置0，保留模大于阈值的系数，即，

置0，而将模大于阈值的系数做了向0的收缩，即，它在

T处的不连续性，会使图像出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真。而软阈值函数j，k连续性好，处理结果则相对平滑。但当j，k＞T时，j，k与Cj，k总存在恒定的偏差T，这样就会影响重构信号与真实信号的逼近程度，造成边缘模糊等失真现象。实验中采用模糊阈值函数算法解决该问题，其软阈值函数构造如下：

其中，K为模糊函数1/[1+Cj，k-T]，当|Cj，k|=T时，K=1，j，k= |Cj，k|-T，使整体连续性得到了保证，从而避免了信号产生振荡；当|Cj，k|＞T时，K＜1，Cj，k与j，k的偏差小于T，而且|Cj，k|越大，Cj，k与j，k的偏差越小，重构信号与真实信号的逼近程度越高。

Donoho等人提出的VisuShrink方法，给出的阈值T按照如下的公式选取：

其中，N为信号的尺寸或长度，σ是噪声的标准差。

不论软阈值或硬阈值,其中所用的阈值均为全局阈值，即无论小波分解层数为多少，每层阈值均相同且固定不变，对于不同的分解尺度而采用相同阈值显然是不合适的。全局阈值虽然可以取得一定程度上的抑噪效果，但由于其单一性，而不能在每个尺度上都最大限度地分离图像和噪声。

由上所述，随着分解尺度的增大噪声的幅值是变小的，而信号幅值恰好相反。根据小波系数的特点实验中采用自适应阈值，其表达式如下：

可以看出随着分解尺度j的增大，阈值是逐渐减小的，这一点正好符合上述规律。

3.分解层数的选择。信号小波分解的层数对去噪也会有一定的影响，从实验结果的对比得到的结论为：对图像的小波分解最佳层数为3层。该结论虽没有得到理论上的证明，但分析其实验数据可知去噪后信号的信噪比随着分解层数的增加而迅速增加。在超过3层之后，去噪后信号的信噪比没有太大的变化，且分解层数的增大将带来更大的计算量。

四、实验与结果分析

为验证以上分析，对标准的“Leda”图像（512×512×8bit）加入不同方差的高斯白噪声，并用传统的去噪方式与自适应小波去噪方式、优化阈值函数和自适应阈值的小波去噪方式进行比较。实验中的小波为正交小波Daubechies-4，小波分解层数为3层，采用峰值信噪比（PSNR，Peak Signal-to-Noise Ratio）这一客观标准作为性能评价指标，实验结果如表1。

表1 不同去噪方法对含不同σ噪声的Leda图像去噪PSNR比较

由上表可知，随着噪声强度的增大，改进后自适应小波去噪方法的效果要更优于前2种方法。

图像的去噪，是为之后的图像信息压缩编码等工作奠定基础的。笔者根据小波去噪的特点，提出了较为综合的小波域去噪方法，通过实验数据对比，表明小波域去噪效果较好。由于实验中仅以白噪声为干扰信号，那么，根据不同噪声的统计特性设计滤波器将是下一步设计的方向。

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