一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.

1．定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B}.若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则A*B=

( )

A．{1,3} B．{1,5} C．{1,7} D．{2,3}

图1

2．设随机变量ζ服从正态分布N(2,9),若P(ζ>c+1)=P(ζ

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3．图1为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为

( )

A．i>20 B．i<20 C．i>=20 D．i<=20

( )

图2

5.图2是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

( )

A．9π B．10π C．11π D．12π

6.若f(x)是R上的减函数,且f(0)=3,f(3)=-1.设P={x|-1

( )

A.t≤0B.t≥0C.t≤-3D.t≥-3

图3

7．如图3，用一根铁丝折成一个扇形框架，要求框架所围扇形面积为定值S，则使用铁丝长度最小值为

( )

( )

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定其形状

9.银行一年定期的年利率为r，3年定期的年利率为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存3年定期的存款，那么q与r的关系是

( )

( )

A．1 012 B．1 286 C．2 009 D．2 010

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

12.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试.由于其中2所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这2所学校．该学生不同的报考方法种数是________(用数字作答).

13．等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=-36，S13=-104.在等比数列{bn}中，b5=a5,b7=a7,则b21的值为________．

图4

图5

三．解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c,满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围.

图6

(1)现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数是偶函数的概率；

(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有奇函数卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ζ的分布列和数学期望．

(1)求证：平面COD⊥平面AOB；

(2)求CD与平面AOB所成角中最大角的正切值．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)求△AkF1F2的面积；

(1)设g(x)=x2·f′(x)(x>0),试判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；

(2)若存在唯一实数a∈(m,m+1),使得g(a)=0成立，求正整数m的值；

(3)当x>0时，f(x)>n恒成立，求正整数n的最大值.

参考答案

1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D

8.C 9.A 10.C

18．解(1)因为

(2)由(2a-c)cosB=bcosC,得

2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,

因此

2sinAcosB=sin(B+C)=sinA.

所以

19．解(1)设事件A为“任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是偶函数”，则

(2)ζ可取1，2，3，4．

故ζ的分布列如表1所示.

表1 ζ的分布列

由表1可得

20．解(1)由题意得,CO⊥AO，BO⊥AO，则∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.因为二面角B-AO-C是直二面角，所以CO⊥BO.由AO∩BO=O，得CO⊥平面AOB.又CO⊂平面COD,于是平面COD⊥平面AOB．

(2)由第(1)小题知，CO⊥平面AOB，于是∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且

当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，因此

21．解(1)设椭圆C1的半焦距为c，则

解得

于是

b2=a2-c2=36-27=9,

(2)点Ak的坐标为(-k,2)，则

(1)

由点P在椭圆C上得

代入式(1)并化简得

9y2=112,

因此点M的轨迹方程为

轨迹是2条平行于x轴的线段.

22.(1)证明由

得

g(x)=x-1-ln(x+1)(x>0),

则

因此g(x)在(0,+∞)内单调递增.

(2)解因为g(2)=1-ln3<0，

g(3)=2(1-ln2)>0,

所以由第(1)小题得,g(x)在(0,+∞)内单调递增，即g(x)=0存在唯一的根a∈(2,3),于是m=2.

(3)解由f(x)>n得,na时，g(x)>0,f′(x)>0.因此当x=a时,f(x)取得最小值

由g(a)=0,得

a-1-ln(a+1)=0,

即

1+ln(a+1)=a,

于是

f(a)=a+1.

又由a∈(2,3),得

f(a)∈(3,4),

从而n≤3,故正整数n的最大值为3.