胡俊娟

(浙江科技学院 理学院,杭州 310023)

具有GARCH-error类的单位根过程对常规ADF检验临界值的影响程度如何,是进行ADF检验时需要认真分析的问题,因而备受关注[1-3]。由于GARCH族模型中,较多的金融数据中存在波动的杠杆效应和滞后系数对波动的影响,但EGARCH模型能较好地描述金融时间序列[4-6],因而EGARCH-error的单位根检验值得关注。王淑良[3]只给出了临界值与标准ADF临界值的比较,没有给出其实际扭曲水平和势及相应2个统计量对比。金融时间序列建模分析中,序列的ADF检验其理论基础建立在泛函中心极限定理上。泛函中心极限定理是讨论随机过程极限分布的基础,主要用于说明时间序列中误差项的收敛情况。

1 泛函中心极限定理

这里引入泛函中心极限定理[7]:设{μt}是一平稳序列,表示为无穷阶的MA序列为:

其中 εt～ i.i.d.(0,σ2),t=1,2,…,σ2＜ ∞,且满足构造前[r T]部分样本做统计量:

下面不妨讨论{μt}为AR序列的情况,统计量的分布见定理1。发现统计量的分布并未改变,所以可以用检验统计量tρ＾和t(ρ＾)来分析有限项AR类的ADF单位根检验问题。

若用T×(ρ＾-1)除以1-φ1=B(1),就获得具有通常Dickey-Fuller估计量分布的检验统计量tρ＾。这样,关于ADF的t检验统计量t(ρ＾)并不需要任何调整。

考虑滞后阶数为p,(p＞1)的情况:

假设{y t}为只含有一个单位根的序列,则{Δyt}为一平稳序列。

所以,若用T×(ρ＾-1)除以1-φ1-φ2-…φp=D(1),就获得具有通常Dickey-Fuller估计量分布的检验统计量tρ＾,而关于ADF的t-检验统计量t(ρ＾)并不需要任何调整。

2 EGARCH条件下的单位根检验

为了扩大EGARCH模型的应用,Nelson提出随机扰动et服从零均值和单位方差的广义误差分布,其密度函数:

当c=2,λ=1时,et服从标准正态分布。当0＜c＜2,其密度函数比正态分布有更厚的尾部,其峰态系数大于3;而当c＞0,其密度函数比正态分布有更薄的尾部,GED分布的优点在于,在密度函数中加入尾部厚度指标c,以便研究密度函数相似尾部厚薄不同的一族分布,从而便于对厚尾特征不同的金融数据进行细化研究。

考虑AR(1)-EGARCH(1,1)-norm模型:

考虑数据生成过程:y t=yt-1+εt,且εt=etσt

对该数据生成过程分别产生样本量为25,50,100,250,500,1 000的数据,重复次数为2万次,根据产生的{y t}序列运用加权最小二乘估计法计算t(ρ＾),tρ＾统计量的值。

表1给出了上述模型对于不同参数向量的t(ρ＾),tρ＾统计量的临界值。为方便记w1:α0=0,θ=0.2,γ=0.1,β1=0.8;w2:α0=0,θ=-0.2,γ=0.1,β1=0.8;w3:α0=0,θ=0.2,γ=0.2,β1=0.8;w4:α0=0,θ=0.2,γ=0.1,β1=0.7 。

表1 对应w1～w4统计量的t(ρ＾),tρ＾临界值表Table1 Critical values simulation of statistics t(ρ＾)and tρ＾correspond to w1～w4

从表1中可以看出,参数的改变并不会对统计量产生较大影响。与标准的ADF单位根检验统计量的分位数相比较,对具有AR(1)-EGARCH(1,1)正态误差项的时间序列,对于t(ρ＾)统计量,其不同情形下临界值波动较小,与标准的ADF单位根检验的分位数差异均在容许范围,因而对于各类情况,可以参考使用ADF检验临界值表。但对tρ＾统计量,其分位数在不同的参数设定条件下,相对于标准ADF单位根检验的临界值有较大的偏离,且波动幅度较大。由此所得的提示是,在多数情形下,金融时序数据的单位根检验应当谨慎使用ADF检验临界值表。为了比较运用这两个统计量的效果,不妨以标准ADF临界值作为基准分数线,重复模拟为2万次,找出相应的实际显著性水平,以此来考察标准ADF临界值的有效性。

表2给出了实际显著性水平扭曲的结果,发现统计量t(ρ＾)对应的显著水平与给定的显著性水平较吻合,其不同情形下波动较小,因而对于各类情况,运用统计量t(ρ＾)进行推断,可以直接使用ADF检验临界值表。而tρ＾在不同的参数设定条件下,相对于给定的显著性水平有较大的偏离,且波动幅度较大;特别是样本容量为1 000时,这种现象更为突出。在多数情形下,金融时序数据的单位根检验应当谨慎使用ADF检验中tρ＾的临界值表。从获得的实际显著水平扭曲结果来看,统计量tρ＾过度拒绝了单位根过程。在不知道序列是否异方差的条件下,选择t(ρ＾)统计量比选择tρ＾来进行单位根检验更好。

表2 实际显著水平扭曲随机模拟Table 2 Simulation of actual distortion level

为了进一步考证检验这两个统计量的特性,对于y t=ρy t-1+εt,考察名义水平为0.05时得到的势(表3),可以看出,相对而言当ρ远离1时,t(ρ＾)和tρ＾有较高的势。当ρ→1时,得到的势较低。

表3 势(名义检验水平为0.05,样本量为250)Table 3 Power(nominal test level is 0.05,sample size is 250)

1)φj=0(j=1,…k);

2)φ1=0.6,φj=0(j=2,…,k);

3)φ1=-0.6,φj=0(j=2,…,k);

4)φ1=0.4,φ2=0.2,φj=0(j=3,…,k)。

从表4中可以看出,不同的滞后阶数对统计量有一定的影响,用检验统计量t(ρ＾)比用tρ＾的稳健性更好。特别当显著性水平较大时,t(ρ＾)统计量的变动较小而且与参考的ADF临界值接近。

表4 统计量的临界值表Table 4 Critical value of statistics

3 结 语

在泛函中心极限定理基础上,给出了带有滞后阶序列的检验统计量的极限分布及其证明,发现对于单整序列无论带有AR类序列还是MA类序列滞后项,都可以采用统计量tρ＾和t(ρ＾)进行单位根检验。

由于异方差时间序列EGARCH过程能较好地描述大量金融时间序列,从随机模拟的角度分析了在有限样本情况下具有EGARCH-norm误差项时间序列的ADF单位根检验问题,从中得到了如下结论:

1)在不同的情形下(包括模型不同的系数、不同的显著水平,带有不同的AR类滞后阶数等),常用的检验统计量有着不同的分位数水平,采用标准的单位根检验表必须慎重;

2)在高频金融时间序列数据的单位根检验中,即使设定相同的数据生成过程,相对而言tρ＾检验统计量比t(ρ＾)不适合运用于金融时序数据的单位根检验。

[1] 王莉莉,彭作祥.具有GJR-GARCH误差项时序的ADF单位根检验[J].西南师范大学学报:自然科学版,2005,30(6):992-996.

[2] STEVEN C.Joint maximum likelihood estimation of unit root testing equations and GARCH processes:Some finitesample issues[J].Mathematics and Computers in Simulation,2008,77(1):109-116.

[3] 王淑良.具有EGARCH-SGED误差项的时序的单位根检验[J].山东理工大学学报:自然科学版,2007,21(2):56-59,63.

[4] BRANDT M W,JONES C S.Volatility Forecasting With Range-Based EGA RCH Models[J].Journal of Business&Economic Statistics,2006,24(4):470-486.

[5] 戴晓枫,肖庆宪.时间序列分析方法及人民币汇率预测的应用研究[J].上海理工大学学报,2005,27(4):341-344.

[6] 李亚静,朱宏泉,彭育威.基于GARCH模型族的中国股市波动性预测[J].数学的实践与认识,2003(11):65-71.

[7] 张世英,樊智.协整理论与波动模型[M].北京:清华大学出版社,2004:20-21.

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[9] BEVERIDGE S,NELSON C R.A new approach to decomposition of economic time series into permanent and transitory component with particular attention to measurement of the business cycle[J].Journal of Monetary Economics,1981(7):151-174.