韩 斌,陶祥兴

(1.宁波大学 理学院,浙江 宁波315211;2.浙江科技学院 理学院,杭州310023)

1 引 言

一般地,常常假设A(x)=(aij(x))是实的对称矩阵,满足一致椭圆条件:

其中常数λ＞1,并且对任意的 x,y∈Ω,存在正常数l,使得

在本文,主要考虑薛定谔方程的Dirichlet问题

其中γ是在Ω边界上的迹算子。笔者将在文中的定理给出:若对n/(n+1)＜p≤1,f是Hapt(Ω)上的一个分布,则在W10,2(Ω)中Dirichlet问题(1)存在唯一的弱解,而且解的二阶导数2u∈ Lp(Ω)。

国内外的科学家们在过去的几十年对这类问题作了一系列的讨论。1964年,Kadlec在文献[1]中指出,如果 Ω是有界凸区域且 f∈L2(Ω),则Possion方程-Δu=f的Dirichlet问题解u的二阶导数2u∈L2(Ω)。后来在1993年,Adolfsson[2]把Kadlec的结论推广到对任意的 f∈Lp(Ω),2u ∈ Lp(Ω),其中1＜p≤2。在本文中,笔者不仅要把这些结论应用到所讨论的更为一般的薛定谔方程,还要考虑当0＜p≤1,f在Hardy空间 Hpat(Ω)时解的可积性。在区域 Ω上 Hardy空间,Hp(Ω)定义如下:

其中S(Ω)是区域Ω上的许瓦兹函数类,所定义的Hardy空间是在全空间上的,那么对于区域上的Hardy空间怎么定义呢?这里将要用到原子分解技术。

定义1.1[3]假设0＜p≤1,a(x)是一个有界可测函数。如果下列的条件一和条件二成立,称a(x)是p-原子;如果条件一和条件三成立,称a(x)是局部p-原子;如果条件一和条件四成立,称a(x)是(p,Ω)-原子。

条件三:方体Q的边长,l(Q)≥1,或当l(Q)＜1时条件二成立;条件四:Q ⊂Ω且diam(Q)≤dist(Q,∂Ω)≤4diam(Q)。

具体到本文中,只考虑Hp(Ω)=(Ω)的情形,因为对任意的f∈(Ω),文献[3]的作者证明了如果Ω是有界连通的Lipschitz区域或是Lipschitz上方图,f存在如下的原子分解:

其中{ak(x)}是一列p-原子,它们的支集Qk包含在Ω中,可以注意到这里定义的(Ω)就是文献[3]中所定义的(Ω)。因为对任意的C2区域是Lipschitz区域,文献[3]中的结论在本文中也成立。

应用Lax-Milgram定理,对任意f∈L2(Ω),Dirichlet问题(1)有唯一的可解性(见第二部分定理2.5),因此对任意的原子a(x),Dirichlet问题(1)唯一可解。由于涉及方程的弱解,有必要定义(Ω)对偶空间,它就是以α(p)=n(1-p)/p为指标的Hölder连续函数空间Cα(p)(Ω),其中n/n+1＜p ＜1。现在能下定义了,对任意的试验函数 ψ(x)∈ Cα(p)(Ω)∩(Ω),如果 u ∈ W1,20(Ω)∩ W1,p(Ω)满足

就说在Hp意义下u是Dirichlet问题(1)的解。

本文的主要结论是:

定理1.2 Rn中的开区域Ω是C2区域,位势V(x)∈Bn。若 f∈Hpat(Ω)且对任意的n/(n+1)＜p＜1,m(V,x)f∈(Ω),m(V,x)将在第二部分定义。则Dirichlet问题(1)存在唯一解u∈(Ω)∩W1,p(Ω)。而且估计式

其中常数C不依赖f。

笔者将在第二部分给出算子L的Green函数的一些性质,第三部分证明Dirichlet问题(1)的L2估计,并且给出主要结论的证明。在没有特别声明的情况下,常数C并不是固定的,它只是表示非无穷大的数,其所依赖的主要是n,l及B n条件下的常数Cn。

2 重要的引理和Green函数的估计

在此,笔者将会指出当f∈L2(Ω)时,带奇异位势的薛定谔方程Lu=f在C2区域上存在解属于(Ω),然后给出对于薛定谔算子的Green函数的估计。为此,需要利用关于位势V辅助函数的一些性质。对q ≥n/2,假设V ∈ Bq,用

来定义辅助函数m(V,x)。显而易见,0＜m(V,x)＜∞。例如,假设V(x)=|P(x)|且P(x)是个k次多项式 ,则

注2.6 回顾以上的讨论,可以注意到如果f 1=0,则定理2.5的结论对任意的无界区域Ω仍然成立。

对于Dirichlet问题,由双层位势理论[9]可知,薛定谔方程Lu=0存在G(x,y)。因为 V ≥0,所以

其中常数C＞0及x,y∈Ω。而且利用文献[6]中的引理2.7或文献[8]中的引理1.21,能够得到下面关于Green函数的估计,这里略去了证明。

引理2.7 假设k是非负的整数,则对任意的x,y∈Ω有

其中Ck＞0。

推论2.8 假设k是非负的整数,则对任意的x,y∈Ω有

其中Ck＞0。

证明 利用引理2.7的估计,类似于文献[10]中定理3.2和定理3.3的方法直接推出推论中的估计。

为了得到Green函数G(x,y)一阶导数的估计,需要如下的引理:

其中最后一个不等式中利用了引理2.1。至此就完成了引理的证明。

推论2.11 k为非负的整数。对任意x,y∈ Ω,则

其中Ck＞0。

3 解的二阶导数的估计

在此,主要致力于在C2区域Ω上讨论薛定谔方程的可解性,即定理1.2的证明。在偏微分方程中,解弱的或经典的可微性常常可通过差分算子来导出。

定义3.1 假设u(x)是区域Ω上的可测函数记

现在,这部分剩下的就是关于u(x)的一阶导数的估计。对任意的C2区域,通过适当的坐标变换和旋转,不失一般性,假设 Ω是局部的C2上方图,即

其中 φ是一个瓗n-1上的C2函数,满足 φ(0)=0。令 Φ:Ω→Ω-是边界∂Ω上的关于xn轴的反射,定义为:Φ(x′,xn)=(x′,2φ(x′)-xn)。定义A(x)=aij(x)是一n维的实值对称矩阵函数,当 x∈ Ω时,A(x)=Aij(x);当 x ∈ Ω-时 ,A(x)=B(x),其中 B(x)=(Φ′(x))TA(x)(Φ′(x))。至于在 Ω上的函数u,当 x∈ Ω-,定义u-(x)=(u◦ Φ-1)(x),并且对任意的x∈ Ω,u=u(x);对任意的x∈ Ω-u=-u-(x)。记算子L=-div(B(x)◦)+V(x),其中V(x)和下面要用到的f(x)的定义同u的定义类似。由文献[12]不难看到,L仍然是具有有界可测系数的散度型自伴一致椭圆算子。而且对x∈瓗n,L u(x)=f(x)。则利用第二部分的结论可知

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