胡安平

（山西路桥第二工程有限公司，山西 临 汾 0 41000）

沥青混凝土路面主要有3种破坏机理：车辙、疲劳裂缝和热裂缝。一般地，用于表征永久变形的破坏机理即车辙，是路面破坏中最严重的破坏现象。尽管车辙不是一种较精确的科学术语，不能表征路面变形的性质，但文章之所以论述车辙是因为其受沥青协会的广泛重视。

在重复荷载作用下的沥青混凝土累积永久变形现象具有实际重要性。在路面纵向上产生一些向外推挤的凹槽，这时车辙（有时称凹槽）很明显。这种变形方式导致路面排水能力降低，造成水损坏，进一步使轮迹下方结构层厚度减少，致使路面易发生疲劳破坏。同时，由于凹槽内的路面积水，必须考虑行车安全。

路面车辙随交通荷载的增加而逐步累积。虽然路基本质上可能对车辙有一定的影响，但本文关注的是永久变形最为明显的来源，例如沥青混凝土层的变形。为得到路基对路面车辙贡献问题的分析结果及具体数字大小结果，需模拟分析土基沥青层结构，如采用有限元法。分析的关键在于沥青混凝土层的本质特征及模拟。

1 沥青混凝土层的本质特征及模拟

第一种较明显的沥青混凝土层车辙模型是轮胎压力作用下的路面压密变形（压实）。该模型中，材料不发生侧向移动。物理上，车轮压力下，该模型可视为沥青混凝土层孔隙的减小，随之由于路面的剪切变形而产生车辙。变形使路面材料从车轮下方侧向移动并推挤到轮迹边缘，可以在车辙附近清楚的观察到材料隆起现象。对于压实良好的路面，剪切变形成为首要的车辙机理，因为轮迹下方的路面压密变形不是主要因素。

过去40年，沥青路面的许多理论研究都致力于模拟材料的黏弹性，现在还有大量研究工作主要关注疲劳裂缝的分析和模拟。沥青混合料的疲劳分析需要精确评定在每个加载至卸载周期内材料散失的能量，其中，沥青混凝土的黏弹性模型在此具有重要的作用。另外，疲劳破坏与劲度的降低有关，很明显，劲度降低50%就认为材料已经破坏了。

然而有关模拟沥青路面永久变形的研究很少，例如由重复荷载作用引起的疲劳裂缝、车辙等，这是由轮载下材料的流变及随之产生的永久变形而发生的。现已推荐并广泛采用了一种经验理论公式，与荷载周期下的永久变形演化形式非常相似。Sousa模型（广义Maxwell模型）以黏弹性和破坏为基础，当荷载作用超出几百个周期时，不能获得重复荷载作用下的永久变形累积形式；其他模型都采用经典塑性理论，不能反映棘轮效应，也就是在恒定应力幅度下随荷载周期数增加的而产生的累积永久变形。这些模型是唯象理论（塑性）和与试验相似的经验关系的结合，即塑性模型用于计算第一个荷载周期末的永久应变，随之，假设出一种永久应变与对数曲线（模拟观察得到的试验结果，见后文所述）上的周期数之间的线性关系式，来计算在任意荷载周期下产生的永久应变。Olsson（2000）利用有限元项目ABAQUS分析路面结构的车辙。一种经典Drucker-Prager类塑性模型，与一种简单蠕变规律相结合，用于模拟沥青混凝土，但没有材料模型与试验观测结果之间的定量比较。

由于沥青混凝土具有典型的黏弹性性质，许多研究利用广义Maxwell类模型来达到模拟永久变形的目的。Maxwell类模型与广义Kelvin类黏弹性模型相反，它可以描述在一个荷载-无荷载周期内的永久变形，但由黏弹性理论并不能得到永久变形的大小和演变趋势。

本文中的沥青混凝土永久变形模型是以塑性理论为基础。广义塑性理论的一个关键特征是从某一应力状态卸载然后再加载，永久变形会从低于卸载应力状态的某一状态开始累积，这是与经典塑性理论之间的重要区别，使得预测永久应变的累积大小随加载周期数而增加。这是沥青混凝土在重复加载和卸载时的典型力学行为，将在接下来继续讨论。

2 沥青混凝土混合料性能

以下是沥青混凝土混合料的几点主要性能：①剪切荷载作用下混合料发生膨胀，结果使竖向受限试件在横向荷载作用下产生竖向应力；②加载周期末产生残余变形。

另外，在重复剪切荷载作用下，随加载周期数增加而产生的永久变形累积在对数曲线上服从一种近似线性的力学行为。很多沥青混凝土混合料都有这种情况，而且它表明，在线性曲线上，永久变形的累积大小与加载周期数的降低率之间符合多项式关系。这种力学行为对于在不同荷载状态下的沥青质及粒料较常见，它表明，随加载周期数的增加，材料越不易产生永久应变，也就是说，材料发生硬化，抵抗永久变形的进一步累积。

以上提到的第一种性能，即在剪切荷载作用下沥青材料发生膨胀的性能（多项式关系），与这种力学行为密切相关。粒料也有这种性能，当粒料相互滚动时同样也会发生膨胀。沥青材料的膨胀在一定程度上受其周围材料的限制，使得混合料产生竖向应力，这时的混合料极其可能膨胀而产生较大竖向应力，而不易产生永久剪切变形从而导致车辙。该结论可视为集料的联锁力学行为，为控制沥青混凝土混合料的车辙提供了稳定的机理。如果塑性理论用于模拟沥青混凝土，那么当建立表面加载公式时需考虑这个因素。

这种联锁力学行为是在恒定高度下进行重复简单剪切试验即RSST-CH中得到的，此力学行为也是为什么能成功辨别混合料将产生车辙的原因。RSST-CH试验被广泛采用为一种可靠的试验来辨别混合料产生车辙的倾向。试验采用直径15 cm，高5 cm的柱状试件。当一个横向驱动器来施加横向荷载时，保持试件高度不变，利用保持试件高度不变来模拟抵抗周围材料的膨胀作用。驱动器以0.6 s的间歇时间循环施加横向荷载，形成一个荷载周期T为0.1 s的半正弦函数。下面将继续讨论文章的模型发展所要重要考虑的内容。

3 模型的考虑因素

文章所提出的本构模型结合了前面所讨论的原理，用广义塑性理论分析了随荷载周期数而增长的永久变形演变方式，所以该模型不是经过调整与试验结果匹配的经验公式而得到的，但这些经验公式以不可逆热力学理论为基础，能代表在多向应力和应变状态下的材料力学行为。此本构模型由一个弹性元系列和一个塑性元组成，在已构建的模型中，弹性公式表达了弹性应变张量和应力张量之间的相互关系。

模型的弹性元为三级超弹性，即应力与应变呈三次多项式关系。模型可以得到在剪切荷载作用下混合料的压缩应力发展情况，这在RSST-CH试验中也非常明显，试验记录了法向力的演变情况，轴向力从试验的最初一个周期开始演变，演变过程中无永久剪切应变。因此本文在模型的超弹性元中引入了联结力学行为。如果利用塑性理论，通过塑性应变的演变过程来模拟材料膨胀，将会产生法向永久应变。如果产生了法向永久应变，在试验的加载周期末，为了保持试件高度恒定，法向压缩弹性应变将可能发生叠加效应。这种应变本身表现为一种法向压缩应变，会随加载周期数而增加。后文将提出塑性模型，继续详细讨论这个结论。

模型的塑性元以广义塑性理论为基础，描述了变形的不可恢复部分，特别是混合料的棘轮力学效应（随加载周期数而增加的永久变形累积）。

4 弹性模型

超弹性材料是一种应变张量εij的标量式，为应变能量方程式，如下：

它与应力的潜在关系为：

超弹性以热力学为基础。为了模拟沥青混凝土的弹性力学行为，提出了一种三级超弹性模型，即应力-应变关系式中应力为应变部分的三次方，因此，应变不变量在应变能量方程式中为四次方。简单的一次方弹性（即线性弹性）模型不能获得混合料在剪切荷载作用下的膨胀行为。应变能量方程式建立如下：

其中的三项应变不变量为：

应变部分之所以是一种多项式形式，是因为它的简单性和完整性，此多项式的有效性将由模拟超弹性和完整模型的试验结果来评价。

由连锁规则得到应力张量为：

在式子中加入一些简单代数，得到：

5 材料参数的鉴定

三级超弹性应力应变关系包括了9种材料参数，即a1~a9。本文利用最优化非线性方案来获取超弹性材料参数，其中利用本质关系和试验结果建立了一个最小二乘方等式。试验中还进行了单轴应变压缩、体积压缩和简单剪切试验，这些试验在低应变水平下进行，以此将塑性效应最小化，并在温度较低（4℃）时进行试验，将黏滞作用最小化。由于试验中没有卸载，故假设所测得的应变为弹性应变。

5.1 单轴应变压缩试验

这个试验中，试件周长保持不变时的应力为轴向应力。由于这种配置使试件产生侧限应力，进而产生单轴应变状态。该试验的应变张量为：

因此可得到：根据等式（4）得到：

5.2 体积压缩试验

试验的应变状态为：

5.3 简单剪切试验

简单剪切试验与重复简单剪切试验（RSSR-CH）相似，其应变状态为：

其中，N1，N2和N3分别为单轴试验、体积试验和剪切试验的数据点数量。σ11，i为第i个由弹性模型的应力σ11得到的数据点，σ12，i为第i个由弹性模型的应力σ12得到的数据点，3个试验同步拟合，从而得到一系列独特的参数。采用同步拟合的方法，是因为3个试验的试验参数贡献不一致，例如，简单剪切试验中，剪切应力仅仅取决于参数α2和α7。如果能得到一系列独特的参数，对相同材料进行试验，模型就可以成功用于预测试验结果。后文中，将进行联合模型的模拟，从其中一个试验中获得的参数可以正确预测得到其他试验的试验结果。

通过使用MATLAB最优化工具来将最小二乘等式最小化，得到的参数值大小见表1。

表1 超弹性模型的参数值

图1~图3为分别利用单轴压缩试验，体积压缩试验和剪切试验的试验参数将Sousa（1994）的试验结果和模型模拟结果进行比较的情况。各图中，试验结果与模型结果都非常一致；图4为剪切试验的轴向应力模型预测结果及剪切应变图。

图1 Sousa（1994）的试验结果与模型模拟比较（单轴应变压缩试验）

图2 Sousa（1994）的试验结果与模型模拟比较（体积压缩试验）

图3 Sousa（1994）的试验结果与模型模拟比较（剪切试验）

图4 模型预测得到的简单剪切试验中剪切应变与轴向应力变差图

这一系列试验都没有得到图中有关这些变差的试验结果，但不管怎样，图形还是表示出了模型模拟连锁现象和膨胀性的能力。

6 塑性模型

经典塑性理论模型无法预估随着荷载循环次数增加，亦即荷载重复作用达到一定的应力水平而导致的永久变形累积。因此，这些模型不能预估前文讨论的棘轮力学行为；广义塑性可以用于这一目的。在这种理论中，材料达到卸载开始的状态之前，重复加载和塑性应变就开始累积。这一理论作为一种特殊的情况，包括了传统和经典的塑性理论。这是一种基于热力学内部变量的局部理论。

广义塑性基于带有内部变量的非弹性理论所共有的一个基本假定，即通过控制变量（尽管混合控制是可能的，但是还是比较典型的温度和应力应变部分）及数量有限的内部变量来确定局部热力学状态。此外，因为这是一种与速率无关的理论，由内部变量导出的应力与应变之间的关系不依赖于速率。

广义塑性理论和经典塑性理论的区别在于引入了有别于屈服平面的加载平面概念。此外，尽管屈服平面仍然存在，但是在广义属性中，并不需要一个屈服平面。加载平面可以定义为弹塑性材料弹性范围的边界。通过应力（或者在应变控制下的应变）张量和内部变量可以确定弹性范围，并且将其定义为由目前的应力点能够弹性的达到的应力所组成的区域。经典塑性是一种特例，其弹性范围仅仅依赖于内部变量。屈服平面可以定义为应力空间中某一区域的边界，在该区域中，卸载后的加载和再加载仅仅会产生弹性应变，这一区域称之为弹性域并且是弹性范围的一个子集。如果在目前的应力点下，有可能出现塑性变形，那么这个点就应该在加载平面上，并且应该在屈服平面上或在屈服平面以外。如果从屈服平面以外的点到屈服平面上或其以外的点发生弹性卸载，那么在再加载时就会立即出现塑性变形。最后，如果内部变量保持恒定，这一过程就可以定义为弹性的。

6.1 加载平面

从上文的讨论可见，加载平面是广义塑性概念的核心，并且这一理论模拟实际材料行为的能力主要依赖于对加载平面的选择。本文研究中，基于以下考虑提出了模拟沥青混合料的平面形式。沥青及其黏结在一起的集料组成了沥青混合料。由于集料的存在，沥青混合料的行为在很多方面与砂土等颗粒类材料相似，其中之一就是两种材料都会在剪切荷载的作用下发生膨胀。因此，这里提出的加载平面的形式类似于Vermeer为砂土建立的屈服平面。但是，必须注意到，这里的塑性模型是基于广义塑性理论，而Vermeer模型是基于经典塑性理论。加载平面的表达式如下：

其中，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ为应力张量的不变量，定义为

其中，指出了双重收缩，例如 σ∶σ=σijσij，i，j=1，2，3及其总和；H为各向同性硬化参数；k为各向同性硬化变量；α为参数。路面中的重复试验以一种方向模拟交通条件，也就是说，路面交通朝向一个方向行驶。因此，仅仅考虑各向同性硬化就足够了。如果要模拟双向交通，那么在模型中就必须包括运动硬化。

6.2 流动法则

由于在非线性非弹性理论的演化方程中经常采用先验的方式，Lubliner根据元素集理论和拓扑理论提出了广义塑性理论的流动法则和内部变量演化方程式。流动法则如下：

其中，εi表示非弹性（这里就是塑性）应变；σ为应力张量；ξ为内部变量张量；λ为塑性流动方向；h强化了塑性状态的定义性，因此，在塑性状态下必须为正值，在弹性状态下为0；v为加载平面上的法向张量；上方的点表示对时间求导；麦考利括号定义如下：

对于λ=v时的关联流动法则，塑性流动方程式为：

关联流动法则在预估颗粒类材料过高的塑性膨胀时有一些缺陷。此外，从等式（22）和（23）可见，对于简单剪切试验中的沥青混合料，关联流动法则只能余个法向塑性应变。由于试件的高度保持恒定，需要在塑性应变中加入额外的弹性应变，从而使加载循环末期的总法向应变为0；这也就意味着，需要对试件施加法向压力。但是，很明显，在试验中并没有这样的残余压力。根据上述解释，尤其是不能预估法向塑性应变的缺点，对沥青混合料提出了非关联的流动法则。在这种情况下，潜在的塑性与加载方程和λ=μ的情况有所不同，其中μ为潜在塑性函数g的梯度，这里假定为von Mises类：

那么非弹性应变速率为：

带入等式27中的g有：

最后，根据重复加载下观测得到的永久剪应变的演化情况选择h的形式，流动法则的最终形式为：

其中，β为应力维数参数；x，l，m为3个其他参数。6.3 硬化法则

在广义塑性理论中，内部变量的演化方式如下：

这里，h采用与流动法则中相同的形式，从而无需引入其他参数；在广义塑性理论的框架中，不排除流动法则和硬化法则有相同的形式。硬化变量的演化等式为：

其中，所有字母与流动法则中的意义相同。

通过将应变分解为弹性和非弹性（这里为塑性）部分，前述模型方程可以更改为：

其中，弹性部分由三阶超弹性模型控制，非弹性部分由塑性模型控制。这种分解过程中采用了小应变假设。提出的模型是一个完全的非线性材料模型（即，由非线性模型控制弹性应变和非弹性应变）但同时也是一个几何级数的线性模型。通过试验中观察得到的应变大小，可以判别这一结论，见图5。由于多次加载循环后的永久应变，路面中可以发现明显的车辙现象。

图5

7 数值实现

应用非线性方程组的数值解可以实现对模型的模拟和实现。目前在计算中出现的主要问题为：使[0,T]成为有意义的时间区间。当时间tn在区间[0,T]时，假定总应变张量εn，塑性应变部分εni以及硬化变量kn已知。那么确定弹性应变张量为：

使u为时段{tn，tn+1}的位移增量。基本的计算问题就转变为获取与塑性本构方程式的形式一致的tn+1。这一问题是应变驱动的，总的应变张量按照下式变化：

使用无条件稳定的且为一阶准确的向后欧拉准则，可以即时离散化内部变量的演化方程。得到的方程组如下：

前面的方程组必须依据加载-卸载标准求解。这里，广义塑性理论的结构与经典塑性理论相比，具有计算方面的优势。这种优势源于未使用屈服表面及协调条件。经典塑性理论中的演化方程式定义了一个单方面约束的演化问题，与此不同，广义塑性理论中的演化方程定义了一个普通微分方程系统。这个系统并不受到一致条件强化的约束。对这一方程组的求解，可以采用Panoskaltsis等提出的步骤。

加载-卸载算法的标准如下所示：

如果fn+1≤0，就处于弹性状态；

如果fn+1＞0，就处于塑性状态。

此外，

如果 vn+1：（σn+1-σn）＜0，为弹性卸载；

如果 vn+1：（σn+1-σn）＝0，为中性加载；

如果 vn+1：（σn+1-σn）＞0，为塑性加载；

通过预测-校正算法，可以求解离散的方程组。

7.1 预测阶段

冻结内部变量，则该问题可以视为弹性的。那么，可以得到如下的试验关系式：

7.2 校正阶段

经典的弹塑性案例中，算法的校正阶段包括了一个朝向屈服平面的松弛过程，这一过程不断演化，即称之为返回映射的过程，与此不同，在广义塑性案例中，校正阶段包括了对等式（36）和（37）的直接求解过程。利用相应的算法，将麦考利括号带入到这些等式中。利用多维的Newton-Raphson法则，可以求解这一方程组。

校正阶段变量的初值是试验中求解的数值。这样有，

其中，括号中的上标表示迭代次数。

算法采用了Newton-Raphson法则来求解时间tn+1时塑性方程的最终应力，时间tn+1时的各向同性硬化变量值以及时间tn+1时的非弹性应变值。

非线性方程（k）迭代的残值为：

8 模型模拟和预估

最终模型的参数是a1~a9以及x，l，H，α，η和m；这些参数可以通过非线性优化过程获得，这一过程类似于前文介绍的获取弹性参数a1~a9的过程。优化过程的目标函数为：

式中：N：数据点的数量；

采用前文提出的预估-校正算法，可以计算出非弹性应变εij。综合（超弹性-塑性）模型的结果，见图5。图形表明了在两个RSST-CH试验中，随着循环次数变化永久剪切应变演化的试验结果，这两个试验中一个的剪应力大小为8psi，另一个为10psi。模型能够拟合剪应力为8psi的试验结果；即可以确定等式（40）所示的目标方程的最小值以及一系列参数。参数的数值，见表2。利用这些参数，就可以确定剪应力为10psi时模型的预估值。见图5，对于两种应力大小，模型预估值和试验测试值之间的相关性较好。要求在不同的应力水平下使用同样的参数集合使本构模型符合试验结果是非常重要的，因为在诸如路面结构的边界值问题中（其中本构模型将会用于预估路面变形），路面上不同的点处于不同的应力状态。

表2 模型参数数值

9 结论

提出了沥青混合料永久变形的本构模型。沥青路面的重要病害之一，即车辙，主要源于沥青混合料层的永久变形，因此十分需要这种本构模型。根据现有的理论，并不存在模拟和预估循环加载下永久变形的模型。过去，大量的模拟工作主要主要着眼于沥青混合料的性能方面，而为了描述永久应变随着循环次数的演化，需要使用一维经验公式。

提出的本构模型包括了带有一系列塑性模型的非线性超弹性模型，其中的塑性模型是建立在广义塑性理论基础上的。在模拟随着加载循环次数增加而引发的永久应变累积的过程中，与经典塑性相比，广义塑性结构具有一定的优势。在试验室对沥青混合料进行重复加载的试验中可以发现这种现象，通常称之为棘轮效应。选择三阶超弹性模型并模拟了在剪应力作用下沥青混合料的膨胀现象。塑性部分的流动法则与阻止加载循环末期法向应力的发展无关。

建立了求解模型方程式的数值方法。这种方法基于向后的欧拉方法以及预估-校正算法。使用Newton Raphson迭代算法可以求解离散方程。与经典塑性相比，在数值计算方面，建立在广义塑性理论基础上的模型具有明显的优势。

模型模拟结果与试验结果进行了对比，对比结果之间有很好的相关性。在不同应力水平下同样的参数集合可以用于预估重复剪切试验的结果。对路面有限元分析而言，这一点非常重要。参考文献：

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［2］苏凯，孙立军.沥青混凝土永久变形预估方法研究.建筑材料学报，2007，05

［3］居浩.沥青路面车辙计算模型及参数研究.石油沥青，2008，05

［4］袁峻，贾璐，孙立军.沥青混合料永久变形特性试验方法评价.重庆交通大学学报（自然科学版）2008，04