阎 石， 张海凤， 蒙彦宇，2，3

(1. 沈阳建筑大学 土木工程学院， 辽宁 沈阳 110168; 2. 大连理工大学 土木与水利工程学院， 辽宁 大连 116024;3. 北华大学 交通建筑工程学院， 吉林 吉林 132013)

Lamb波是超声无损检测中最常见的一种导波形式，由20世纪初 H. Lamb先生研究无限大板中正弦波问题而得名。它是一种在厚度与激励声波波长为相同数量级的声波导中由纵波和横波合成的特殊形式的应力波。Lamb波检测具有快速便捷的特点，非常适合于板形结构的大面积无损检测。但是由于其在信号的激励、传播、接收及处理方面的复杂性，限制了Lamb波在工业生产中的广泛应用，而这个复杂性是由Lamb波的频散特性引起的，因此，要想在无损检测中更加有效地应用Lamb波，必须了解Lamb波的基本原理和特点，并根据Lamb波的频散特性确定检测方案。本文基于频散方程，采用迭代方法绘制了Lamb波的频散曲线并通过试验进行了验证[1]。

1 Rayleigh-Lamb频散方程

Lamb波定义为弹性扰动在自由边界板中的传播，是在具有两个平行表面的结构中由横波和纵波相互耦合而成的一种应力波。它的位移不仅发生在波的传播方向上，垂直板的方向上也有。Lamb波有两种基本型式，即对称(S)型和反对称(A)型，分别用S0,S1,S2，…，Sn和A0,A1,A2，…，Am表示，两种型式的不同是由质点相对于板的中间层作对称还是反对称型运动来决定的。每种型式又可以进一步分成具有不同相速度cp的若干种模式，描述Lamb的方程是Rayleigh-Lamb方程：

对称模式

(1a)

反对称模式

(1b)

其中，

(2)

式中，k0为沿板水平方向的波数，b为1/2板厚，w为角频率，w=2πf,cl为纵波速度，cs为横波速度。

2 频散方程数值计算

下面以对称模式Lamb波特征方程的数值求解方法为例阐述Lamb波频散方程的解法，反对称模式的求解方法与此相同，这里不再赘述。

2.1 方程分析

从方程(1)、(2)可以看出Lamb波是多模式和频散的，即k0与w的关系是非线性的，不同的模式有不同的非线性关系。因为k0与w的关系是非线性的，因此，相速度cp=w/k0不是常数，而是随着频率的变化而改变，cp取不同的值，w(w=2πf)和k0也相应地有不同的值，且一个cp值可能对应多个w和k，所得曲线不止一条。Lamb波的这种特性反映在cp-f·d(相速度-频厚积)平面内就表现为一系列曲线，这些曲线就是Lamb波的相速度频散曲线[3]。

以对称模式为例，把(2)式带入(1a)式，

(3)

当cp=cl或者cp=cs时，即兰姆波传播的群速度等于纵波速度或者横波速度，这时(3)式中存在分母为零的情况，我们把(3)式转化为各因式相乘的形式，使各个因式都为实数，就可以在实数域范围内求解Rayleigh-Lamb方程，令

(4)

由式(4)可以看出，若以w为自变量，对cp的求解较为复杂，而以cp为自变量，对w进行求解则相对简单，因此，数值计算时选择cp为自变量[4]。

2.2 数值计算

用迭代方法对Lamb波频散方程进行求解。使f·d和cp分别以一定的步长在所需范围内扫描，当方程函数值在某区间上变号时,在此区间就存在一个根。如果变号区间的长度足够小，取区间的中点值作为方程的根与方程真实根之间的误差可以满足精度要求，在实际检测中，声速的精确度一般在0.01左右，如果选择扫描步长的长度小于或等于实际检测的精度，并以扫描步长作为变号区间，则可取变号区间的中点值作为方程的根，所取得的根与真实的根之间的误差小于检测精度，符合实际应用[5]。

图1 程序流程图

图1为求解频散方程的程序流程图，在主程序中，通过函数值传递将cp1和cp2(cp2=cp1+Δcp)带入子程序中,子程序为根据(4)式计算cp1和cp2所对应的y1和y2值,然后将y1和y2值返回到主程序中。通过判断y1和y2乘积与零的大小关系，来寻找有根区间以确定方程的根并保存数据，最后把所有记录点的数据绘制成曲线。在这个程序计算过程中主要涉及到两个循环：f·d固定时，cp以一定的步长迭加直到求出所有满足方程的cp值；然后f·d以一定的步长在所需范围内迭加，直到求出所有f·d下满足方程的cp值。其中，在满足求解精度的条件下，设定了一个循环次数的上限，可减少程序运行时间且能达到精度要求，提高了运算效率[6～8]。

2.3 算例

根据上述求解方法对Lamb波在铝板中传播的频散曲线进行了计算，根据铝板的材料参数计算得到cl=6450 m/s,cs=3090 m/s。绘制得到相应的相速度曲线如图2所示。而群速度可用式(5)表示

cg=dw/dk0

(5)

(6)

进而可根据(6)式求得群速度频散曲线，如图3所示。

图2 铝板相速度曲线

图3 铝板群速度曲线

由图2和图3可得频散曲线的特点：

(1)除了S0和A0模态以外，其他模态都具有截止现象，即在截止频率以上该模态是可以传播的，而在截止频率以下，该模态是迅速衰减不能传播的；

(2)在某一频率处，会同时产生两个(或两个以上)模态，但各个模态的群速度(相速度)各不相同，特别是在高频段，这种情况更明显；

(3)各个模态都存在频散现象，即群速度随频率的变化而变化。

3 试验验证

3.1 试验装置

试验所用的铝板试件尺寸为500×500×1(mm)，在铝板表面粘贴方形单面电极的压电陶瓷片作为传感器和驱动器。系统设备主要由DG1022任意波形发射器(激励信号发生器)、铝板试件、DS1102E型数字示波器所组成。试验中所用的激励信号为五峰波信号，激励信号的中心频率为300 kHz。

3.2 试验分析

在铝板表面粘贴三个压电片A、B、C，如图4所示。取压电片A作驱动器产生激励信号，B、C分别作传感器接收传感信号，通过传播距离、传播时间与传播速度的关系可以求出Lamb波信号在铝板中的传播速度。其中，Lamb波在某个方向上的传播速度根据不同传播路径的传播距离差与传感信号到达时间差值的比值计算得到，即

(7)

式中，l1和l2分别为两个传感器的位置值，t1、t2为两列信号各自群速度的到达时刻。

图4 铝板上压电片的布置

传播时间差值的计算是利用小波分析法对两个传感信号分别作小波变换后对比各自的群速度到达时刻从而计算出的时间延迟。由文献[9]可以知道：信号小波变换的最大峰值所对应的时间就是信号的中心频率群速度cg到达的时刻。因此，本研究中选取信号小波变换后的最大峰值所对应的时刻为信号群速度的到达时刻。具有同时记时起点的两传感器所接收到信号的时间差即为两信号小波变换后最大峰值所对应时刻之差。如图5所示为某一传感信号及其小波变换。

图5 传感信号及其小波变换

当信号发生器向压电片输入一个激励信号后，两个传感压电片就会在一段时间后接收到信号。当然，Lamb波在传播过程中会发生频散，而且不同模式传播的速度不一样，所以Lamb波到达传感压电片的时间不一样，本文考虑传感器接收到的波形中最先到达的一个波包来研究，以去除边界反射和散射的影响[9]。

3.3 试验结果

根据上述方法计算可得群速度cg为5.3782 km/s,查阅图3可知,当f·d为0.3 mHz·mm时,S0模式Lamb波的群速度值为5.4006 km/s,与此波群的速度之间的相对误差为0.4148%,证明此波包的主要成分是S0模式的Lamb波。为了进一步验证计算结果的有效性，用此方法求出了S0模态几种不同f·d值下的群速度值，结果如表1所示。此表中列出了群速度试验值和理论值的比较，并计算出两者之间的误差，其中误差=(理论值-试验值)/理论值，从结果可以看出试验值和理论值之间相差很小，误差在1%以内，这个误差主要来源于波群传播时间的确定。为了更直观地比较结果，图6为根据试验结果计算得出的Lamb波群速度试验值与理论曲线的比较，可以看出，试验值与理论值吻合较好。

表1 群速度理论值与试验值对比

图6 群速度理论曲线与试验测点对比

4 结 语

Lamb波的频散曲线对进行Lamb波无损检测具有重要意义。根据Lamb波的频散方程，利用数值迭代的方法求解得到了Lamb波的相速度曲线，并根据相速度与群速度的关系推算出了群速度曲线，然后通过试验的方法得到了Lamb波的实际群速度值，与理论曲线进行对比，证明了文中绘制频散曲线的方法是有效的。对于各种不同的材料，Lamb波的频散特性也各不相同，要想充分有效地利用Lamb波，首先必须解决频散曲线的绘制问题。目前，各种材料的频散曲线资料匮乏，本文提出的绘制频散曲线的方法较为简单，所以本文所做的工作对工程应用具有一定的实际意义。

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