王西静

(晋城职业技术学院，山西 晋城 048026)

(1)

的光滑解,如果下面的条件满足:

(i)函数f,g满足性质:f″≤0,f≤0,g>0,gt≥0,f′h≤h′f,

(ii)函数σ,h满足性质:σ(x,t)≥0,σt(x,t)≥0,h(u)≥0,h′≥0,

那么，问题(1)一定存在整体解,且:u(x,t)≤G-1(βt+G(u0(x)).

证明构造一个辅助函数φ，通过φ的微分不等式，利用极值原理来导出有关结论.下面分两部分来完成定理的证明.

1)推导辅助函数的微分不等式.

令:φ(x,t)=-ut+βf(u)

由已知条件知，上式右边非正.即:Lφ+gf′φ-φt≤0.

由抛物型方程的极值原理知，φ满足极大值原理，即φ在t=0或∂D上取得极小值.当t=0时，

即:φ(x,0)≥0.

把ut=-φ+βf(u)代入上式得：

由φ(x0,t0)<0及已知条件得:

因此可以得到:

φ≥0D×[0,T)内

2)来证明定理1的结论.

由式(1)上面的的证明知:ut≤βf(u)D×[0,T)内,即:

对于一个x∈D，上式两边从0到t积分，得:

由ut≤βf(u)得:[G(u)]t≤，

所以:G(u(x,t))≤βt+G(u0(x)).

对上式两边施加G逆运算G-1,得;G-1G(u(x,t))≤G-1(βt+G(u0(x))，

所以:u(x,t)≤G-1(βt)+G(u0(x))，

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