李剑评



浅析高中数学思想在高考考查中的渗透

李剑评

漳州市南靖一中

数学思想是数学内容与数学方法等反映在人的头脑中经过思维活动产生的结果，它是数学内容与数学方法的升华与结晶。《数学课程标准》明确指出，“理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法、获得广泛的数学活动经验。”对数学思想、方法的考查始终是高考的重头戏，在高中数学中，尤其以数形结合思想、分类讨论思想、方程函数思想、化归思想为重点。该文就这几类数学思想在高考考查中的渗透做简要介绍。

数学思想 高考 高中数学

1 数形结合思想

所谓数形结合，就是利用数的抽象、严谨特点和形的直观、表意特点，在具体的研究过程中，把抽象思维和形象思维结合起来分析问题，从而解决问题的思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。数与形之间的这一对应关系，往往能使我们尽快找到解题途径或简化解题过程。

2 分类讨论思想

分类讨论思想是对数学对象进行分类以寻求解答的一种思维方法，实质上它是通过分类将原来条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件与结论之间的距离，分清每一个对象找出问题的内在联系，最终解决问题。在实际教学中，我们常常把一个数学问题按一定的标准分成几个部分或几种情况，一一解决，也就是“分而治之，各个击破”。

例2：（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

[答案] B

三类之和为24＋12＋12＝48种。

方程过程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，函数关系是变量与变量之间一种特殊的对应、映射与变换。方程与函数的思想包括两个基本方面；一是将具体问题中各变量的数量关系所形成的表达式看作方程，同时运用方程的手段解决问题的思想，即方程思想；二是用运动和变化的观点，把具体问题中的数量关系用函数的形式表示出来，并用函数的手段加以解决的思想，即函数思想。这种思想的关键是选用恰当的数学形式表示问题，就是把问题数学化。

[答案] -8

[命题立意] 本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题。

4 化归思想

所谓化归就是化不熟悉问题为熟悉问题、化复杂问题为简单问题、化难为易、化未解决为已解决，即把“未知”化归或转化为“熟知“从而解决问题；它的关键是确定合理、可行的化归方案。

例4：（2004浙江卷（理）第12题）：若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（）

[解析] 本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有实数解即x－g（x）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B使x－g（x）＝0没有实数解，选B。

这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，此类常见的抽象函数式还有一次函数型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，对数函数型f（xy）＝f（x）＋f（y），幂函数型f（xy）＝f（x）f（y）。

点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。

例5：（2005全国卷Ⅱ第15题）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有个。

[解析] 不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑。注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5。用间接法。

∴满足题意的数共有300－60－48＝192个。

点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。

5 结语

不同的数学思想具有各自的优势与缺陷，不存在一种普遍有效能解决任何问题的数学思想，同时数学之间具有互补性，有时解决一个问题需要运用几种不同的数学思想，我们应该经常练习和运用，促进数学思想的形成与融合；当然，掌握数学思想光靠练也是不够的，其中的窍门，更多的是靠学生通过“悟”来把握，因此在做题后一定要做反思和总结，领悟题中的内在联系，锻炼自己的大脑，达到触类旁通的效果。