蔡海根

平均数是统计中的一个重要概念,是描述统计数据集中程度的一个统计量。“平均数”教学历来是受专家、名师和普通教师们关注的一个经典内容,新教材把平均数放在“统计与概率”里进行教学,给广大的教师和学生带来了新的挑战。教材通过求一个小组四个学生收集废旧矿泉水瓶的平均数量和比较两支球队的身高情况,使学生结合对统计数据的分析来理解平均数的概念和计算,并着重让学生体会平均数可以反映一组数据的总体情况和区别不同组数据的总体情况这一统计学上的意义。根据教材的编排意图,第一次课堂实践采取了“揭示概念——感知特征——拓展应用”的模式进行教学。

[第一次课堂实践简述]

一、揭示概念

1.创设情境。

2.呈现例1:一个小组收集矿泉水瓶统计图。

(1)解读信息。(2)提出问题:你知道平均每人收集了多少个?

3.学生尝试计算。

4.交流反馈:(1)移多补少。(2)列式计算。

5.揭示概念:像“平均每人收集了13个”这样的数叫做平均数。

6.你还知道哪些平均数?生举例。

二、感知特征

材料(一):张老师家1～4月份缴付电费情况统计图。

1.请你估一估,张老师家1～4月份缴付电费多少元?

2.算一算,验证平均数比最大数小,比最小数大。

材料(二):小明游泳有危险吗?

三、拓展应用

1.创设情境,呈现例2。

欢乐队: 148厘米 142厘米 139厘米 141厘米 140厘米

开心队:144厘米 146厘米 142厘米 145厘米 143厘米

2.提出问题:你认为哪个队的身高要高?为什么?(小组讨论)

3.解决问题:计算两队的平均身高并进行比较。

4.小结:平均数可以反映出两队身高的总体情况。

四、课堂总结

[第一次课堂实践后存在的问题]

从一组数据的分析引入 “平均数”概念,再通过两组数据的比较感知平均数的统计意义。这样的教学步子小,知识层次清晰,对平均数概念的理解比较到位。但实践下来,它的不足比较明显,其一:“平均数”的实际意义不明显。学生对为什么要引入“平均数”、平均数的产生过程及学习平均数的价值等体现不够充分。其二:弱化了学生对平均数统计意义的建构。只是在教学例2时才有所体现,大多数学生对“平均数能较好地反映一组数据总体情况”这一统计意义是不理解或没有感知,教学目标达成度较低。

[探讨与反思]

理解平均数主要有三个维度:算法理解、概念理解、统计理解。对三年级学生来说,平均数是外在的、抽象的、符号化的知识。学生较难理解平均数抽象的概念和丰富的内涵,更难理解平均数的统计意义。在理解平均数的三个维度中,我们认为概念理解建立在算法理解中,统计理解要在算法理解和概念理解的基础之上,所以对学生来说最难的是统计理解,也就是“平均数能较好地反映一组数据的总体情况”这一统计意义的建构。那么,是什么原因导致学生不能理解平均数的统计意义呢?三年级学生学习平均数的现实背景又是怎样的呢?我们对学生进行了前测,发现学生对一组数据的整体关注能力比较低,当一组数据出现在眼前时,会对个别数据感兴趣,如最大值、最小值,相差关系、倍数关系等。他们通常不会将一组数据看做一个整体来描述,对平均数的知识积累非常有限,所以我们认为:学习平均数的难点在于学生对一组数据的个别关注如何转移到对一组数据的整体关注,如何让学生建构“平均数能较好地反映一组数据的总体情况”这一统计意义。

基于以上认识,我们又进行了《平均数》的第二次课堂实践,以经历、感知、体验和理解平均数的统计意义为主线,力求让学生在丰富的生活实例中通过分析比较、直观操作、估计推断和综合应用建立平均数概念,逐步感知、理解平均数的统计意义和特征。

[第二次课堂实践简述]

一、在经历平均数的产生和计算中初步感知平均数的统计意义

师:同学们喜欢运动吗?张老师班的学生很喜欢篮球运动,前不久进行了投篮比赛,老师统计了其中一个组的男生队和女生队每人投1分钟投中情况的统计图。(出示)

1.从图上你获得了哪些信息?

2.提出问题:从图上反映的信息看,你认为哪个队投篮的水平更高一些?

3.平均数的产生。

(1)人数不一样,比投中的总数,你觉得合理吗?怎么比才合理呢?你有什么好办法?

(2)“平均”是什么意思?

师生小结:把女生队投中球数平均一下得到的那个数代表女生队水平,把男生队投中球数平均一下得到的那个数代表男生队水平。

4.平均数的求法。

(1)女生队平均每人投中几个?A.移多补少(课件演示)。B.列式计算。

(2)男生队平均每人投中几个?

5.解决问题:现在你认为哪个队的投篮水平高呢?

二、在概念理解中感知平均数的统计意义和特征

1.初步感知平均数的实际意义。

(1)女生队平均每人投中了6个(呈现平均线),这6个是女生队实际每人都投中了6个吗?

(2)这6个指的是什么?

(3)揭示概念:这6个并不是指女生队实际每人都投中了6个,而是把女生队投中的球数平均后得到的,这样的数,就叫做平均数。这个数代表了女生队的投篮水平。

2.理解概念。

(1)男生队投中的平均数是多少呢?(呈现平均线)

(2)男生队的5位同学实际投中的与平均数5相比,你想说些什么呢?

3.感知统计意义和特征。

材料一: 张老师家今年1～4月份电费缴付情况统计图

(1)估计 (介于最大数和最小数之间)。(2)计算验证。

(3)初步感知原始数据的大小变化引起平均数的变化。

材料二:秀洲新区实验学校数学教师的平均年龄是40岁。

(1) 从“平均年龄40岁” 这条信息你可以知道什么?

(2)从“平均年龄40岁”来看,我们学校的老师总体上是偏大的,你想对我们校长提什么建议?

三、在综合实践应用中体验平均数的统计意义和特征

1.平均数在我们生活中还有很多,你还知道哪些?

2.想不想知道自己小组的平均身高?

(1)请你估一估,哪个小组同学的身高要高?

(2)出示:第一组:134cm;第二组:135cm;第三组:137cm;第四组:134cm。

是不是第三组的每位同学都比其他组高?生举例。

(3)第三小组同学的平均身高比其他组要高,并不说明第三小组的每位同学都比其他组同学要高,但能说明什么?

(第三小组学生的身高总体上要比其他组高)

3.小东有个问题想请同学们帮忙。(出示图)

(1)请你仔细观察这两幅图,你想对小东说些什么?

(2) 为什么有危险?

(3)想看看这条小河水底的情况吗?(出示图)

四、课堂总结

[教学思考]

1.让学生经历平均数的产生过程,体验学习平均数的必要性

平均数、众数、中位数这三个统计量都反映了统计数据的集中趋势,而平均数的价值在于它能较好地反映一组数据的总体情况,只有把这种价值展现在学生面前,他们才会感受到学习平均数的必要性。第二次教学实践通过比较人数不等的男、女两队的投篮水平,制造矛盾冲突,让学生经历一个交流、争辩、分析与比较的过程,这样更能凸显学习平均数的必要性。另外,我们认为一组数据的总体情况可以用多种统计量来加以表征,从一组数据引入平均数,学生对平均数统计意义的感知较欠缺。相比而言,用总数与份数都不等的两组数据进行比较,能促使学生对数据的个别关注转移到对数据的整体关注,有利于学生对“平均数能较好地反映一组数据的整体情况”这一统计意义的建构。

2.让学生有效建构“平均数”的统计意义

第一次教学实践,大多数学生对“平均数能较好地反映一组数据的总体情况”这一统计意义不理解或没有感知。而加强学生对平均数统计意义的理解是本节课最关键的一点。确实,由于小学生知识经验和认知水平的限制,他们很难一次完成对平均数统计意义的建构。那么我们的教学应以丰富的生活背景作支撑,以经历、感知、体验和理解平均数的统计意义为主线,在经历平均数的产生和计算中,在综合实践应用中,通过分析比较、直观操作、估计推断和综合应用建立平均数概念,逐步感知、体验、理解平均数的统计意义和特征。在第二次教学实践中力求在以下五个层次中得以体现:

首先,通过两组总数与份数都不同的数据比较,让学生感悟学习平均数的必要性,并引起学生对数据总体的关注。其次,通过对“平均每人投中6个”这一数据实际含义的探讨,使学生感知平均数的虚拟性,并初步认识平均数代表“整个小队”的总体情况这一统计意义。第三,通过“平均每月电费”的估计与调整及“我校教师平均年龄”等材料,让学生感知平均数的统计意义和特征。最后,通过各小组平均身高的比较,使学生理解某个具体的数据不足以反映一个整体的一般水平,平均数也不能说明整体中某个具体数据的情况,但“平均数能较好地反映一组数据的总体情况”这一统计意义。

[教学实践后的困惑]

通过“平均数”一课的实践,深刻认识到由于自身数学素养的肤浅和本体知识的缺失,对自己的教学有了很大的制约。同时,在教学实践中有两个问题一直困扰着我:

1.对三年级的学生来说,面对“比总数不公平”想到用“平均数”比较两组人数不等的数据的整体水平,是学生原生态的、真实的思维吗?因为当我们问起学生是怎么想到用这种方法的,经了解,大部分学生是经过预习或课外学习知道的,真正通过自己思考得出来的很少很少。这样的教学思路,看似自然,实际上比较牵强,因为这不是大多数学生的真实思维。

2.当学生面对“比总数不公平”,个别学生给出“先求出平均每人投中几个”再比较的建议时,学生能明白为什么“求出平均每人投中几个”再比较就公平了呢?尽管在第二次教学实践中,力求让学生感知“女生队平均每人投中6个”代表了女生队的投篮水平,但大部分学生是“知其然,而不知其所以然”。

思考源自于实践,困惑来自于思考,好课需多磨!

(浙江省嘉兴市秀洲新区实验学校314000

浙江省嘉兴市秀洲区教研室314000)