张文惠

数形结合是研究函数问题的主要方法,有些同学之所以感到二次函数难学,主要原因就是没有在二次函数与其对应抛物线之间建立联系.

二次函数的图象与性质是我们研究的重点,也是利用二次函数解决其他问题的关键点.

1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的确定

(1) a决定开口方向及开口大小.当a>0时,抛物线的开口向上;当a<0时,抛物线的开口向下.|a|值越大,抛物线的开口越小;|a|值越小,抛物线的开口越大.|a|值相同的抛物线,通过平移(或轴对称变换)后一定能够重合.

(2) b和a决定抛物线的对称轴x=- 的位置.当b=0时,对称轴为y轴;当a,b同号时,对称轴在y轴左侧;当a,b异号时,对称轴在y轴右侧.

(3) 抛物线与y轴的交点为(0,c).当c=0时,抛物线经过原点;当c>0时,与y轴交于正半轴;当c<0时,与y轴交于负半轴.

抛物线的顶点坐标是- , .

例1 (2008年宿迁市)在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y=- (x-1)2的图象是().

解析: 在抛物线y=- (x-1)2中,对称轴为x=1,在y轴右侧,顶点为(1,0).直线y=-x+1与x轴的交点也为(1,0),故应选择D.

例2 (2008年芜湖市)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是().

解析: 解这类题一般用排除法:先根据一个函数的特点,确定a,b的符号,然后根据a,b的符号判断另一个函数是否符合.对于A,根据一次函数的图象,可知a<0,但二次函数的图象开口向上,故a>0,可排除A.对于D,根据一次函数的图象,有a>0,但二次函数的图象开口向下,故a<0,可排除D.对于B,二次函数的对称轴在原点右侧,则b<0,但一次函数的图象与y轴交点在x轴上方,b>0,可排除B.于是应选择C.

2. 用二次函数的图象判断y=ax2+bx+c中a,b,c的特征

例3 (2008年巴中市)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示,则下列说法中不正确的是().

A. b2-4ac>0 B. a>0 C. c>0 D. - <0

解析: 该抛物线与x轴有两个交点,由此可知b2-4ac>0;图象开口向上,则a>0;与y轴交于正半轴,则c>0.所以A,B,C正确,答案为D.

也可以通过对称轴在y轴右侧直接判断选D.

例4 (2008年天门市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,有下列结论:

① abc>0;② 2a+b<0;③ a-b+c<0;④ a+c>0.

其中正确结论的个数为().

A. 4B. 3C. 2D. 1

解析: 由图可知,该抛物线与x轴有两个交点,开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴的右侧,所以a<0,b>0,c>0,1>- >0.于是abc<0,

2a+b<0.当x=-1时,y>0,所以a-b+c>0.由a-b+c>0,可得a+c>b>0.故应该选C.

3. 二次函数图象的对称轴与特殊点

抛物线上的特殊点和对称轴对于解题至关重要,有必要深刻理解.

二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化成y=a(x-h)2+k的形式,其中h=- ,k= .对称轴为x=- .抛物线是轴对称图形,抛物线上任意一对对称点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.如果A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,若y1=y2,则这个抛物线的对称轴是x= .

(1) 当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0)和B(x2,0).

(2) 当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点- ,0在x轴上.

(3) 当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点.

例5 (2008年咸宁市)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点,则m的值为_____.

解析: 由题意可知,一元二次方程2x2+8x+m=0有两个相同的实数根,则b2-4ac=64-8m=0,所以m=8.

4. 二次函数的图象与性质

研究函数图象可以发现,当a>0,图象开口向上时,点到对称轴的距离越远,函数值越大;当a<0,图象开口向下时,点到对称轴的距离越远,函数值越小.转换为符号语言就是:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=x0,A(x1,y1),B(x2,y2)是其图象上两点,当|x1-x0|>|x2-x0|时,若a>0,则y1>y2;若a<0,则y1

例6 (2008年贵阳市)二次函数y=(x-1)2+2的最小值是().

A. -2B. 2C. -1D. 1

解析: 把二次函数的解析式化为y=(x-h)2+k的形式,当x=h时,其有最值k.本题h=1,k=2,a=1>0,所以最小值为2.答案为B.

例7 (2008年嘉兴市)一函数的图象如图3,给出以下结论:

① 当x=0时,函数值最大;② 当0

其中正确的结论是().

A. ①②B .①③C. ②③D. ①②③

解析: 由图容易看出①错,②③对,所以答案为C.

例8 (2008年威海市)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下列结论正确的是().

A. y1

解析: 点A(1,2)与B(3,2)的纵坐标相同,所以它们是关于对称轴的对称点.显然对称轴是直线x=2.研究点B(3,2),C(5,7)可以发现,对称轴右侧是单调递增的,所以a>0.由|2-(-1)|<|2-(-2)|<|2-8|,可得y2

5. 二次函数图象的平移

顶点决定抛物线的位置.几个二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向､大小完全相同,只是位置不同.将抛物线y=ax2向上平移k个单位,可以得到抛物线y=ax2+k;将抛物线y=ax2向右平移h个单位,可以得到抛物线y=a(x-h)2;将抛物线y=a(x-h)2向上平移k个单位,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.

二次函数从y=ax2平移到y=ax2+bx+c,只需要通过分析顶点从(0,0)到- , 的变化,就可以确定整个抛物线的平移方式.

例9 (2008年兰州市)在同一坐标平面内,有下列4个函数:

① y=2(x+1)2-1;② y=2x2+3;③ y=-2x2-1;④ y= x2-1.

它们的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换､轴对称变换得到的是_____.(填序号)

解析: 函数④与函数y=2x2+1的二次项系数既不相等(可以通过平移来进行变换),也不互为相反数可以进行关于直线y= 的轴对称变换,所以答案为④.

例10 (2008年荆门市)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则().

A. b=3,c=7B. b=6,c=3C. b=-9,c=-5D. b=-9,c=21

解析: 抛物线y=x2-3x+5与y轴交于点(0,5),将其向上平移2个单位得到抛物线y=x2+bx+c,它与y轴的交点为(0,7),所以c=7,答案为A.

责任编辑/赵良河

注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文”｡