李宗洲

一、二次根式的概念

1. 像 （a≥0）， ， ， ，这种表示算术平方根的代数式叫做二次根式.

2. 求二次根式中字母的取值范围.

例1 求下列各二次根式中x的取值范围：

（1）；（2）；（3）；（4） .

答案：（1） x≤ ；（2） x＜-8；（3） x可取全体实数；（4） x= .

二、二次根式的性质

1. （ ）2=a （a≥0）.

2.=｜a｜=a （a≥0），-a （a<0）.

3.= •（a≥0，b≥0）.

4.=（a≥0，b>0）.

例2 在实数范围内分解因式：

（1） 25m2－7；（2） 3y2－5x2；（3） x2-（ + ）x+ .

答案：（1） （5m+ ）（5m- ）；（2） （ y+ x）（ y- x）；（3） （x- ）（x- ）.

例3 化简：

（1） （y<0）；?摇（2）（a<2b）；

（3）+（0

（4）-（ ）2.

答案：（1）；（2） - ；（3）；?摇（4） 2.

小结：二次根式的化简结果，要求最简，即被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

三、二次根式的运算

1. 加减法：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.

2. 乘法： • = （a≥0，b≥0）.

3. 除法： = （a≥0，b>0），要注意对结果进行分母有理化.

4. 二次根式的运算满足运算律，也可用多项式乘法公式简化运算.

例4 计算：

（1）+ 2- - 2；

（2）+ - ；

（3）- （a≠b）；

（4）+ +…+ .

答案：（1） 4；（2） 0；（3） 0；（4）.

例5 先化简，再求值：

（1） 已知a= ，b= ，求+ 的值；

（2） 已知（x- +1）（x-3）=0，求 - ÷ 的值.

解：（1） a= = = .

b= = = .

∴原式= + =｜a｜+｜b｜.

∵a>0，b>0，

∴原式=a+b= + = .

（2） 由已知得x1= -1，x2=3.而x-3≠0，故x= -1.

原式= •

= = = .

当x= -1时，原式= =- .

四、深化提高练习

1. 填空：

（1） 若 =a-1，则a的值为；

（2） 若a，b均为实数，且｜a-1｜与 互为相反数，则 =；

（3） 若（x-y+3）2+ =0，则x2-y2的值；

（4） 已知 =-｜b-4｜，那么，以a，b为边长的等腰三角形的周长为.

2. 已知 =（8-x） ，且x为奇数，求 • 的值.

3. 已知y= ，求 的值.

4. 已知a-b= + ，b-c= - ，求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.

5. 已知x>0，y>0，且x2+2xy-15y2=0，求 的值.

6. 已知Rt△ABC斜边AB上的中线长为 ，AC+BC= + ，求△ABC的面积.

1. （1） 1 （2） 2 （3） -21 （4） 14或13 2. 12 或2 .

3.. 4. 11. 5. -（4+ ）. 6..

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”