赵乾基

一、选择题（每小题3分，共27分）

1． 满足下列条件的两个三角形一定全等的是（）.

A． 一个角对应相等的两个等腰三角形

B．腰相等的两个等腰三角形

C． 斜边对应相等的两个直角三角形

D． 底相等的两个等腰直角三角形

2． 适合条件∠A=∠B= ∠C的△ABC一定是（）.

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形

3． 等腰三角形顶角为100°，两腰的垂直平分线相交于点P，则（）.

A． 点P在三角形内

B． 点P在三角形底边上

C． 点P在三角形外

D． 点P的位置与三角形的边长有关

4． 在△ABC中，已知三个内角之比为１∶２∶３，则三边之比为（）.

A． 1∶2∶3B． 1∶4∶9

C． 1∶ ∶ D． 1∶ ∶2

5． 如图1，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的站址有（）.

A． 1处 B． 2处

C． 3处 D． 4处

6． 如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，DE∥AB交BC于点E，EF∥BD交CD于F，则图中共有等腰三角形（）.

A． 5个 B． 6个

C． 7个 D． 8个

7． △ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD∶BD=1∶2，BC=6 cm，则点D到点A的距离为（）.

A． 1.5 cmB． 3 cmC． 2 cmD． 4 cm

8． 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在边AC所在的直线上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）.

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

9． 如图4，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的大小是（）.

A． 45°B． 55°C． 60°D． 75°

二、填空题（每小题3分，共21分）

10． 如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度．

11． 如图5，已知∠A=∠D=90°，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是．

12． 在方格纸上有一个△ABC，它的顶点位置都在格点上，如图6所示，则这个三角形是三角形.

13． 等腰直角三角形的腰长为2 cm，则它的底边上的高是.

14． △ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线交BC于D，若BD=4 cm，则BC=．

15． 若等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则它的面积为.

16． 图7是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼接而成.若图中大小正方形的面积分别为52 cm2和4 cm2，则直角三角形的两条直角边的和是cm．

三、解答题（本大题共52分）

17． （７分）如图8，已知△ABC中，AB=AC.

（1） 按照下列要求画出图形：

① 作∠BAC的平分线交BC于点D；

② 过D作DE⊥AB，垂足为点E；

③ 过D作DF⊥AC，垂足为点F.

（2)根据上面所画的图形，证明EB=FC.

18． （7分）如图9，已知∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：

① ∠1=∠2；② BE=CF；③ △ACN≌△ABM；④ CD＝DN．

（1） 请写出其中正确的结论.

（２） 选取一个正确结论进行证明．

19． （８分）如图10，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在CD的同侧．

（1） 请写出图中的全等三角形（只写标有字母的三角形）.

（2） 若AB= ，求BE的长．

20． （8分）如图11，已知△ABC中，AB=AC，∠A=120°．

（1） 用尺规作AB的垂直平分线，分别交BC，AB于点M，N.（保留作图痕迹，不写作法)

（2） 猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．

21． （10分）如图12，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．

（1） 以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由.

（2） 若正方形的边长为2 cm，旋转角度为30°，试求重叠部分（四边形AEOD）的面积.

22． （12分)如图13（1），桌面内，直线l上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较短的直角边长为6 cm，较小的锐角为30°．

（1） 若将△ECD沿直线AC翻折到如图13（2）△ECD′的位置，ED′与AB交于点F，证明AF=FD′.

（2） 若将△ECD沿l向右平移到如图13（3）的位置，E点落在AB上E′的位置，你可以求出平移的距离吗？试试看.

（3） 将△ECD绕点C顺时针方向旋转到图13（4）的△CD′E′位置，使E′点在AB上，请求出旋转角的度数.

参考答案

1． D 2． B 3． C 4． D 5． D 6． C 7． D 8． D 9． C

10． 20 11． 答案不唯一.如ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＢＤ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＢＣ等.

12． 等腰 13． cm 14． （４＋２ ） cm 15． a2 16． 10

17． 略． 18． （１）①②③.?摇（２）证明略．

19． （１） 全等三角形有△ＡＣＤ≌△ＢＥＤ≌△ＢＣＤ． （２） ＢＥ的长为１.

20． （１） 略. （２） ＣＭ＝２ＢＭ，理由略.

21． （1） AO⊥DE，理由如下：如图14，显然Rt△ADO≌Rt△AEO，所以∠DAO=∠EAO.又因AD=AE，故AO⊥DE． （2） S阴影= cm2.

22． （1） 证明略.?摇 （2） 平移距离为（6-2 ) cm.

（3） 旋转角度为30°.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”