谢　勇

一、条件开放

例１ （2007年海南省）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，若要使△ACF≌△DBE，则还需要补充的一个条件是：．

分析： 因为A，B，C，D在同一条直线上，所以可由AB=CD证得AC=DB．又DE∥AF，所以∠A=∠D．这样，在△ACF和△DBE中就具备了一边一角对应相等两个条件，接着围绕“SAS，AAS，ASA”选择条件添加即可．

解：以下条件任选其一填入：AF=DE；∠AFC=∠DEB；∠ACF=∠DBE；FC∥EB．

二、结论开放

例2 （2007年宁波市）如图2，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD，CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E，G.试在图2中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

分析： 此题结论较多，需要综合运用等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线等知识先对其中的相等角和相等线段加以识别归纳.图中共有５对全等三角形．

解：以下结论任选其三回答即可：△ABD≌△ACF；△BFH≌△CDH；△BFC≌△CDB；△AGC≌△AEB；△AGF≌△AED.

下面选择△ABD≌△ACF证明如下：

由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB.

又∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠ABD= ∠ABC，∠ACF= ∠ACB.

∴∠ABD=∠ACF.

又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，

∴△ABD≌△ACF.

三、图形开放

例3 （2007年太原市）如图3，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．线段AB和CD分别是图中1×3的两个矩形的对角线，显然AB∥CD．请你用类似的方法画出过点Ｅ且垂直于AB的直线，并证明．

解：作出1×3矩形的对角线AE后，可发现△EFA≌△AGB，从而证得∠EAF与∠GAB互余，所以∠EAB=90°.由此知道直线AE就是所要画的直线．证明略.

四、过程开放

例4 （2007年绍兴市）我们知道，两边及一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等呢？

（1） 阅读与证明

如果这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；

如果这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）；

如果这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等.可证明如下.

已知：如图4，△ABC，△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.

求证：△ABC≌△A1B1C1.

证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于点D，B1D1⊥C1A1于点D1.

则∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1.

∴BD=B1D1.

问题：请你将以上证明过程补充完整.

（2） 归纳与叙述

由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

解：（1） 证明补充略.

（2） 两个三角形有两边和其中一边的对角分别对应相等，如果这两个三角形同为锐角三角形或同为直角三角形或同为钝角三角形，那么这两个三角形全等.

责任编辑/赵良河

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”