陈国玉

研究图形，不能只记忆书本上的几条定理，应该将例题、习题中反映的性质也纳入自己的知识库.解决问题的工具是什么？是图形的性质定理和判定定理.你手中的工具越多，分析问题和解决问题的速度就越快越准确.建议同学们将学过的图形进行知识梳理，将它们在各个场合反映出来的性质都整理出来，并深刻理解记忆.本文举一个用这类知识解题和研究问题的例子，供同学们学习时参考.

命题：等腰三角形底边上（或其延长线上）的任意一点，到两腰上的距离之和（或差）等于一腰上的高.

已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上的任意一点，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，BG是腰AC上的高.

求证：BG=DE＋DF.

证明：连接AD.

∵S△ABC =S△ABD ＋S△ACD，

∴ AC•BG= AB•DE＋ AC•DF.

∵AB=AC，

∴ AC•BG= AC•DE＋ AC•DF.

即AC•BG=AC•（DE+DF）.

∴BG=DE＋DF.

即DE＋DF是一个定值，它等于腰上高的长.

如图2，在△ABC中，已知AB=AC，D是底边BC延长线上的任意一点，DE⊥AB于E点，DF⊥AC的延长线于F点，CG是腰AB上的高，则有DE－DF=CG.（请同学们完成证明）

即DE－DF是一个定值，它等于腰上高的长.

例1 如图3，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AB=3，AD=4，P是AD边上的一个动点，且PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，则PE＋PF=.

分析： 因为四边形ABCD是矩形，所以△OAD是等腰三角形，P点恰好是底边AD上的任意一点，且PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，根据命题，可得PE＋PF等于腰OD上的高AG.在Rt△ABD中，利用面积就能求出AG的长.

解：作AG⊥BD于G点.

在Rt△ABD中，BD= = =5.

∵△ABD是直角三角形，且AG是斜边BD上的高，

∴S△ABD = AB•AD= BD•AG，AG= = .

由四边形ABCD为矩形，可知OA=OD，即△OAD为等腰三角形.

∵P是底边AD上的任意一点，且PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，

∴PE＋PF=AG.即PE＋PF= .故填 .

例2 如图4，在△ABC中，已知∠A=90°，D是AB上一点，且BD=CD，过CB延长线上的任意一点P，作PE⊥AB的延长线于E点，PF⊥CD的延长线于F点.已知AD∶DB=1∶3，BC=4 ，求PF-PE的值.

分析： 显然△CDB为等腰三角形，P恰好是底边CB延长线上的任意一点，且PE⊥DB的延长线于E点，PF⊥CD的延长线于F点.根据命题，可得PF－PE等于腰BD上的高AC.在Rt△ACD中，利用勾股定理表示出AC与AD的关系，再在Rt△ACB中利用勾股定理，即可求AC的长.

解：设AD=x，则BD=CD=3x.

在Rt△ACD中，AC2=CD2-AD2=9x2-x2=8x2.

在Rt△ACB中，AB2＋AC2=BC2，即（4x）2＋8x2=（4 ）2.

解得x=2（负值已舍去）.所以AC=2 x=4 .

由BD=CD，知△CDB为等腰三角形.

根据命题，可得PF-PE等于AC的长，即PF－PE=4 .

点评：这类从习题中总结出来的命题，考试中可能不能当定理使用，但对于分析图形作用很大.等腰三角形还有其他性质，比如，等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高相等，两腰上的中线相等，底边中点到两腰上的垂线段相等，等等.

练习题

1. 如图5，在△ABC中，已知∠BAC=150°，AB=AC=4 cm，D是底边BC延长线上的任意一点，且DE⊥BA的延长线于E点，DF⊥AC的延长线于F点，则DE－DF=.

（答案：2 cm）

2. 如图6，已知正方形ABCD的边长为2 cm，以B为圆心，BC长为半径画弧，交对角线BD于E点，连接CE. P是CE上的任意一点，且PM⊥BD于M点，PN⊥BC于N点，则PM＋PN=.（答案：cm）

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”