赵　辉

面积对学生来说大多是一种负担，只能作为求解的目标，不是解题武器库中的珍藏.其实，武功高手能撒豆成兵，树叶化袖箭.解题高手也是一样，什么知识都可转化为解题的工具，就连最无用的面积，也能派上大用场.

一、用不同方法表示同一个图形的面积

例1 如图1，已知BD，CE是△ABC的高，且BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形.

分析： 同一个三角形的面积只有一个值，但可以列出不同的求面积算式，由此建立方程，可以顺利求解.

证明：显然S△ABC = AB•CE= AC•BD.

即AB•CE=AC•BD.

由CE=BD，可得AB=AC.即△ABC是等腰三角形.

二、图形面积相等

例2 如图2，已知AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E.求证：BE=CF.

分析：因为△ABD，△ACD有相同的边AD，要证BE=CF，只需证△ABD和△ACD的面积相等.

证明：∵AD是△ABC的中线，即BD=CD，

∴S△ABD =S△ACD .

∵S△ABD = AD•BE，S△ACD = AD•CF，

∴ AD•BE= AD•CF.由此可得BE=CF.

三、一个图形的面积等于几个图形面积的和

例3 如图3，P是等边△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，AH⊥BC于H.求证：PD+PE+PF=AH.

分析： 将PD，PE，PF，AH看成是三角形的高，找出这四条线段分别属于哪个三角形即可.这引导我们要构造三角形.连接PA，PB，PC，把△ABC分成△ABP、△BCP、△CAP，并通过这三个三角形的面积和等于等边三角形的面积来证明.

证明：连接PA，PB，PC.显然S△ABP +S△BCP +S△ACP =S△ABC .

∴ AB•PD+ BC•PE+ AC•PF= BC•AH.

由AB=BC=AC，可得PD+PE+PF=AH.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”