种衍宝

近几年涌现出一大批以等腰三角形为背景，内涵丰富、设计新颖独特的创新试题，下面举例说明.

1. 条件探索型

例1 如图1，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列四个条件：① ∠EBO=∠DCO；② ∠BEO=∠CDO；③ BE＝CD；④ OB＝OC．

（1） 上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有情况）

（2） 选（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

解：（1） ①③，①④，②③，②④四种情况可判定△ABC是等腰三角形.

（2） 下面以①③两个条件证明△ABC是等腰三角形.

∵∠EBO=∠DCO，BE=CD，∠EOB=∠DOC，

∴△EOB≌△DOC.故OB=OC，∠OBC=∠OCB.

∴∠EBC=∠DCB.所以△ABC是等腰三角形.

2. 结论探索型

例2 如图2，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D.若∠A＝36°，则下列结论中成立的有，并且证明结论的正确性．

① ∠C＝72°；② BD是∠ABC的平分线；③ △BCD∽△ABC；④ △ABD是等腰三角形；⑤ △BCD的周长为AC+BC.

解：正确的结论有①②③④⑤.详细证明请同学们自己完成．

3. 实验操作型

例3 如图3，在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形.你能找到几个这样的点？画图描述它们的位置．

解：如图3，△ABC三条边的垂直平分线的交点P1满足条件.分别以点A、点B为圆心，AB为半径画圆弧，交AC的垂直平分线于P2，P3两点，则△P2 AB，△P2BC，△P2 AC，△P3 AB，△P3BC，△P3 AC也是等腰三角形.同样可以在AB，BC的垂直平分线上再找到4个点P，使△PAB，△PBC，△PAC是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图3．

说明： 此题容易只确定在△ABC内一的点.关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点，又是考生易错点.克服差错的方法是解题时常提醒自己：“还有其他情况吗？”

4. 方案设计型

例4 图4（1），图4（2），图4（3）这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把与正三角形接近的程度称为“正度”.在研究正度时，应保证相似三角形的正度相等.

设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β.要求正度的值是非负数.

同学甲认为：可用式子|a-b|来表示正度，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；

同学乙认为：可用式子|α-β|来表示正度，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形.

探究：（1） 他们的方案哪个较合理？为什么？

（2） 对你认为不够合理的方案，请加以改进.（给出式子即可）

（3） 请再给出一种衡量等腰三角形正度的表达式.

解：（1） 同学乙的方案较为合理.因为|α-β|的值越小，α与β越接近60°，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的正度相等.同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的正度相等.如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形与正三角形的接近程度相同，但|2-4|=2≠|4-8|=4.

（2） 对同学甲的方案，可改为用 或 （k为正数）等来表示正度，它的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形.仍以边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形为例.取k=10，用 来计算正度，则边长为4，4，2的等腰三角形的正度为 =0.1；边长为8，8，4的等腰三角形的正度为 =0.1.二者相等，表明它们与正三角形的接近程度相同.

（3） 通过对同学乙的方案分析，我们发现还可以从角度入手，用｜α-60°｜，

｜β-60°｜，｜α+β-120°｜， ［2（α-60°）2+（β-60°）2］等来表示正度.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”