于新钟

一、选择题（每小题3分，共24分）

1． 有下列方程：

① x2－x=0；② 2x2+3x+1=0；③ x2+5x－6=0；④x2－x+3=0.

其中1是方程的解的是（）.

A． ①②B． ①③C． ②③D． ①④

2． 下列方程中，没有实数根的是（）.

A． x2+5=2 xB．x2－ = x

C．x2－2x+1=0 D． 2x= x2+

3． 设x1，x2是方程3x2+6x+2=0的两个实数根，则 + 的值是（）.

A． 16 B． 10 C． 4 D． 8

4． 已知3是关于x的方程 x2－2ax+1=0的一个根，则a的值是（）.

A． 1 B． 3 C． D． 13

5． 如果2n是方程x2－mx+n=0的一个实数根，则m－2n的值是（）.

A． 4 B． 2 C． 1 D．

6． 如果关于x的方程x2－2 x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）.

A． m≥0 B． m＞－1

C． m≤0 D． m＜－1

7． 若一元二次方程x2+bx+c=0（a≠0）存在两个不等的负实数根，则应具备的条件是（）.

A． b2＞4c B． b>0且c>0

C． b＜0且c＞0 D． c＞0

8． 已知方程3x2－6x+m=0的两个实数根为x1，x2，且3x1+x2=0，则m的值为（）.

A． －3 B． 3 C． －9 D． 9

二、填空题（每小题4分，共24分）

9． 方程（x－3）2=3-x的实数根是 .

10． 某商品连续两次降价10％后的价格为81元，则该商品的原价为 .

11． 已知一元二次方程x2+px+1=0的一个根为2+ ，则另一根为 .

12． 若方程（m－4）x2－（2m－1）x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 .

13． 方程组x2+y2=5，2x2-3xy-2y2=0的实数解的组数是 .

14． 若x1，x2是方程x2+2x+m2=0的两个实数根，且 - =2，那么m的值为 .

三、解下列方程（组）（每小题5分，共20分）

15． （x+2）（x-2）=2 x. 16．+ = .

17． 2x+y-3=0，（x-2y）2-1=0.18． 14（x2+3）2-69（x2+3）-5=0.

四、解答题（每小题8分，共32分）

19． △ABC的三个内角之比为1∶2∶3，最大边为c，且关于x的方程cx2+8x+c-6=0有两个相等的实数根，求这个三角形的另两边a，b的值.

20． 小明开了一家超市，经过长期对某种商品进行调查统计，发现将进货价为40元的商品按50元出售时，能卖出500个，若该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，如要达到8 000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

21． 如右图，矩形ABCD中，AD=9 cm，AB=3 cm，将其折叠使点D与点B重合，求折叠后DE的长.

22． 已知关于x的方程5x2-2 px+5q=0（p≠0）有两个相等的实数根.

（1） 求证：方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.

（2） 设方程x2+px+q=0的两个实数根为x1，x2，且|x1|<|x2|，求证x1∶x2=2∶3.

参考答案

1． B 2． C 3． C 4． C 5． D 6． A 7． B 8． C

9． 2或3 10． 100 11． 2－12． m≥- 且m≠4 13． 4 14． ±

15． x1= - ，x2= + .

16． 设m= ，原方程变为m+ = .解得m=2或m= .

当m=2时， =2，解得x=2或x=- ；

当m= 时， = .解得x=3- 或x=3+ .

经检验，它们都是原方程的根.

17． 由（x-2y）2-1=0，可得x1=2y+1，x2=2y-1.

得两个方程组2x+y-3=0，x=2y+1； 2x+y-3=0，x=2y-1. 解为x1=1，y1=1， x2= ，y2= .

18． 原方程分解因式，得［14（x2+3）+1］［（x2+3）-5］=0.解为x=± .

19． 易得C=90°，其余两个角为30°和60°.故三边之比为1∶ ∶2.

显然64-4c（c-6）=0，即c2-6c-16=0.解得c=8或c=-2（舍去）.

∴a，b的值分别为4和4 或为4 和4.

20． 设涨价x元，则售价为（50+x）元，进货为（500－10x）个，获得利润为（10+x）（500-10x）.

可列方程（10+x）（500-10x）=8 000.解得x=10或x=30（舍去）.

故售价定为60元时，进货400个.

21． 设DE的长为x cm，则AE=（9－x） cm，BE=DE=x cm.

在直角三角形ABE中，AE2+AB2=BE2，即（9-x）2+32=x2.解得x=5.

22． （1） 由Δ=（-2 p）2-4×5×5q=0，解得q= p2.

在方程x2+px+q=0中，Δ′=p2-4q=p2-4× p2= p2.

因p≠0，故Δ′＞0，所以x2+px+q=0有两个不相等的实数根.

（2） 解方程x2+px+q=0，得x= = .

由｜x1｜＜｜x2｜，可得x1=- |p|，x2=－ |p|，且p≠0.故x1∶x2=2∶3.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”