郑俊哲

计数问题，就是数数问题,当数目很小时,数的仔细些就能数对;数目不是很大时,找对规则也一定数不错;但当数目很大时,就要有一定的技巧才能做到又快又对. 常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理、列表法、归纳猜想法、分类讨论法等．

对于计数问题,常用到高斯求和公式：1+2+3＋…+n= （n+1）n.

一、枚举法

例1如图1，ABCD是一个正方形，边长为2 ｃｍ，沿着图中线段从A到C的最短长度为4 ｃｍ.这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.

解：将各种路线一一列出，可知共6条，见图2.

二、利用加法原理和乘法原理

加法原理做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中有m1种方法，第二类中有m2种方法，…，第n类办法中有mｎ种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mｎ种不同的方法.

例2从甲地到乙地可乘火车，也可乘汽车或轮船.一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

解：完成由甲地到乙地这件事有三类办法：第一类办法坐火车，一天中有4种不同走法.第二类办法坐汽车，一天中有2种不同走法.第三类办法坐轮船，一天中有3种不同走法.由加法原理得：4+2+3=9（种）．

乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一个步骤有m1种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法，…，第n个步骤有mｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mｎ种不同的方法.

例3由数字1、2、3、4、5可组成多少个允许有重复数字的三位数？

解：组成允许有重复数字的三位数这件事可分三个步骤……