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§3.3 一次函数

2008-07-07

中学生数理化·中考版 2008年1期
关键词:正比例关系式方程组

刘 红

第1课时一次函数知识点解读

一、一次函数、正比例函数的概念

如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.

如果y=kx(k是常数,k≠0),那么y叫做x的正比例函数.

由此可见,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,当b=0时,就成了正比例函数.所以正比例函数是一次函数的特例.

注意:1. 一次函数中自变量x的指数必须是1,且一次项系数k≠0.

2. 正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.

二、一次函数、正比例函数的图象、性质

2. 一次函数的性质是:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.

3. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过原点(0,0)的一条直线.

4. 正比例函数的性质是:当k>0时,y随x的增大而增大,图象在第一、三象限内;当k<0时,y随x的增大而减小,图象在第二、四象限内.

注意:(1) 一次函数与正比例函数的共同性质是:当k>0时,y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小.

(2) k的符号决定直线的倾斜方向,k的绝对值决定倾斜的程度,|k|越大,直线越靠近y轴.

(3) b决定直线与y轴的交点(0,b),也就是决定了直线的位置.

(4) 对于直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2(k1,k2,b1,b2为常数,且k1·k2≠0),当k1=k2,b1≠b2时,两直线平行;当k1≠k2时,两直线相交于一点.

三、一次函数和正比例函数关系式的确定

待定系数法确定:根据题目中的条件,先设函数为y=kx+b或y=kx.由于一次函数y=kx+b中有两个未知字母(待定系数)k,b,所以需要列出两个关于k,b的方程,将k,b的值求出,再代入关系式即可.如果是正比例函数y=kx,则只需列一个关于k的方程,求出k的值.

第2课时一次函数与方程(组)及不等式的关系及应用

一、一次函数与方程组、不等式的关系

1. 一次函数与一元一次方程

函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,当函数值等于0时,相应的自变量x的值就是一元一次方程kx+b=0(k,b是常数,k≠0)的解,所对应的坐标是直线y=kx+b与x轴的交点坐标.

2. 一次函数与一元一次不等式

直线y=kx+b在x轴的上方,也就是使函数的值大于0的x的值是不等式kx+b>0(k≠0)的解;在x轴的下方,也就是使函数的值小于0的x的值是不等式kx+b<0(k≠0)的解.

3 .一次函数与二元一次方程

(1) 由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线.

(2) 以二元一次方程的解为坐标的点,都在相应的一次函数的图象上;一次函数图象上任意点的坐标都适合与之相应的二元一次方程.

4. 一次函数与二元一次方程组

同一直角坐标系中,两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解;反过来,以二元一次方程组的解为坐标的点,一定是相应的两个一次函数图象的交点.

注意:每个一次函数问题都可以转化为方程或方程组问题,求函数图象与坐标轴的交点或与另一个函数图象的交点,都是解方程或解方程组问题,求x或y的取值范围就可以转化为解不等式或不等式组问题.

二、一次函数与方程(组)及不等式相结合的实际应用题

一次函数与方程(组)及不等式相结合能解决许多实际应用问题,中考中通常以综合题的形式出现.解这类综合题时,一定要审清题意,找出等量关系或不等关系,列出方程、不等式或确定函数的关系式,进而解决问题.

点评:容易想到,由已知A,B两点的坐标求出一次函数的解析式,然后再解一元一次不等式,这是解此类题的常规方法.但是在这道题中,我们应该注意从图象中捕捉信息,利用数形结合思想解题.

例 2 已知一次函数y=3x+b和y=ax-3的图象交于点P(-2,-5),求不等式ax+b>0的解集.

解析:求不等式ax+b>0的解集,就必须知道a,b的值.已知两个函数图象的交点坐标,分别将x=-2,y=-5代入两个解析式,即可求出a,b的值.

将x=-2,y=-5分别代入y=3x+b和y=ax-3中,可得b=1,a=1.所以不等式为x+1>0,解得x>-1.

第3课时一次函数实际的应用常见题型

1. 一次函数的图象信息题

在一次函数应用题中,把反映数量关系的图象作为已知条件,进行分析解答的中考试题不断增多, 成为中考命题的又一新趋势.这类题考查从图象中获取信息的能力,考查综合运用一次函数的性质与图象解决实际问题的能力.

2. 一次函数的最值问题

在一次函数应用题中,关于最值问题一般有两种类型.

(1) 求分配方案中的最值.可以把几种方案的相关数据都求出来,比较最值即可.

(2) 列出函数关系式,利用一次函数的增减性确定最值.要特别注意准确求出自变量的取值范围.

3. 一次函数的方案设计问题

在日常生活中,我们经常遇到一些问题需要找出全部可能方案,经过对比,然后作出决策.这些方案的设计当然少不了要建立一次函数模型,然后确定自变量可取的特殊值(一般为取值范围内的正整数),进而求出几种方案.

练习题

1. 某县在实施“村村通”工程中,决定在A,B两村之间修筑一条公路,甲、乙两个工程队分别从A,B两村同时相向开始修筑.施工期间,乙队因另有任务提前离开,余下的任务由甲队单独完成,直到道路修通.图5是甲、乙两个工程队所修道路的长度y(m)与修筑时间x(天)之间的函数图象,请根据图象所提供的信息,求出该公路的总长度.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”

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