孙琪斌

一、主要学习目标

1. 认识多边形的内角和外角.

学习“多边形及其内角和”这节内容，首先要知道三角形是最简单的多边形.可根据图1所示的结构图领会三角形的角与多边形的角之间的联系.

2. 体会“化未知为已知”的数学思想，掌握多边形的内角和公式.

三角形的内角和是180°，那么求四边形的内角和问题（未知），是否可以使用“化未知为已知”的思想，将求四边形的内角和问题（未知）转化为计算三角形的内角和问题（已知）呢？下面给出了将四边形划分为三角形的几种方法，如图5、图6、图7，你能借助这些图形计算出四边形的内角和吗？

如图5，过四边形ABCD的顶点A，可以作出对角线AC，将四边形ABCD划分为2个三角形：△ABC、△ADC.四边形ABCD的内角和为

∠BAD+∠B+∠BCD+∠D

=（∠BAC+∠DAC） +∠B+（∠BCA+∠DCA）+∠D

=（∠BAC+∠B+∠BCA）+（∠DAC+∠DCA+∠D）

=180°+180°=360°.

类似地，我们可以过五边形的一个顶点引出2条对角线，将五边形划分为3个三角形（如图8）；过六边形的一个顶点引出3条对角线，将六边形划分为4个三角形（如图9）……由此可以得出五边形、六边形……的内角和（如表1）.

表1

在六边形ABCDEF的每个顶点处各取一个外角，将这些外角的和称为六边形的外角和.如图10中的∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6. 每个外角与其相邻内角的和都为180°，于是有6×180°-（6-2）×180°=360°.故六边形的外角和等于360°.

同理，对于n边形，可以得到n边形的外角和：n×180°-（n-2）×180°=360°.

二、典型例题与学习建议

例1如果一个多边形的每个内角都是144°，则这个多边形是边形.

解法1：（从内角的角度思考）设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和公式（n-2）×180°，可得方程（n-2）×180=144n. 解这个方程，得n=10.

所以这个多边形是十边形.

解法2：（从外角的角度思考）这个多边形的每个内角都是144°，因此这个多边形的每个外角都等于180°-144°=36°.

因此，这个多边形的边数是=10.

【学习建议】要学会从不同的角度思考问题，能巧妙运用转化思想，同时要有建立方程解决问题的意识.

例22008年奥运会在北京举办，李明同学想设计一个内角和是2 008°的多边形图案.他的想法能实现吗？试说明理由.

解：假如李明同学所设计的这个内角和是2 008°的多边形的边数为n，依据多边形的内角和公式，可得方程（n-2）×180=2 008.

解这个方程：n-2=，n-2=11，n=13.

因为所求得的n的值13不是正整数，所以，我们可以知道李明同学想设计的这个内角和为2 008°的多边形不存在.

【学习建议】类似这样的存在性问题，可以先假设其存在，然后构造方程，根据所求得的值来确定问题的答案.