毋桂萍

中学教材中在推导多边形的内角和及外角和的计算公式时，一般采用下列步骤：

首先将一个n边形分成（n-2）个三角形，从而得到n边形的内角和为（n-2）180°。

再由相邻外角与内角的互补关系得到n边形的外角和恒为360°的结论，从而也间接地证明了多边形的外角和与其边数多少无关的这一重要性质。

但是，由上述方法得到的外角和性质，主要是通过代数演算而得到的，致使学生甚至一部分教师很难从几何意义上彻底理解。为了向学生说明其几何意义，老师们也绞尽脑汁地进行了多种探索，但终是没能揭示其实质。下面举两种常见的解释方法：

（1）外角变小说：如果一个多边形的边数增加，则一些内角便会增大，对应的外角就会随之变小。这时虽然外角的个数增加，但由于一些外角变小，使得外角和保持不变。这种说法不能说明外角个数增加与外角度数变小之间的数量关系，因此缺乏说服力。

（2）绕圈说：以图1为例：将铅笔尖作为指向，铅笔的另一端作为始点，先将铅笔置于图中多边形的CD边上，并沿线段CD指向D点。然后将铅笔沿线段CD向D点滑移，使始点置于D点，再将铅笔按逆时针方向旋转到DE边上并指向E点，此时铅笔转过的角度就是∠D的外角。用同样的操作方法，将铅笔的始点依次滑移到E、A、B、C各点并旋转后会发现，铅笔转过的总的角度正好是多边形的各个外角之和，而同时铅笔也正好旋转了一整周，即360°。于是得到多边形的外角和恒为360°而与其边数无关的结论。这一解释方法，虽然形象直观地直接得到了多边形外角和的值，但丝毫没有提及外角和与边数之间的变化过程及其相互关联，因此也不理想。

不过，值得一提的是，上述“绕圈法”的一个独特作用是颠覆本文开头提到的传统教材中的“由内角和求外角和”的编排顺序，改为由外角和求内角和：

设n边形的各个内角分别为A1，A2，…An，由上面的绕圈法可知n边形的外角和恒为360°，又由相邻外角与内角的互补关系，便可以得到计算n边形外角和的表达式为：

于是，得到n边形的内角和的公式：

这便是由多边形的外角和推得的熟知的多边形的内角和公式。

特别地，当n=3时，就可以得到三角形的内角和为180°。

上述有趣的推证方法，还可以作为学生数学课外活动的内容。

下面给出笔者关于这一问题的纯几何证明方法。

定理：多边形的外角和与其边数无关。

证明：需要说明的是，中学教材中所说的多边形，都是指简单的凸多边形，即各个内角均小于180°的简单的多边形。

首先看一种最简单情况：假设多边形只增加了一条边，为保证增加一条边后，多边形仍是凸多边形，我们可以过原多边形的相鄰的两个顶点，例如A、B两点，画一条外凸的弧线（不一定是圆弧），如图2所示。在弧线上取一点P，连接PA、PB，此时若将P点作为多边形的一个新顶点，则这个新的多边形便比原多边形多了一个顶点和一条边，从而也就多了一个外角∠MPB。同时，原多边形在顶点A和点B处的外角也由原来的∠RAB和∠SBA，分别变成∠RAP和∠SBP，分别减小了∠PAB和∠PBA的度数。

又由于∠MPB同时也是△PAB的外角，由三角形的外角定理可知：

∠MPB=∠PAB+∠PBA。

这个等式说明：新多边形增加的那个外角∠MPB的度数，与原来多边形的两个外角∠RAB和∠SBA变成新多边形的外角后减少的度数（即∠PAB+∠PBA）正好相等，两者抵消后，使得新旧两个多边形的外角和相等。这就证明了当多边形增加一条边后，多边形的外角和保持不变。

若再增加一条边，证明的方法相同。就是说，不论多边形增加多少条边，其外角之和恒保持不变。（反之，若边数减少，证明方法类似，只是顺序相反。）

由于中学数学材中研究的是边数有限的多边形，所以，以上步骤就完成了定理的证明。（外角和的值恒为360°的推导，仍可用教材中的方法。）

以上证法的特点是，彻底揭示了问题的本质，即：当一个多边形的边数增加（或减少）时，新增（或减少）的那个外角的度数恰同与它相邻的两个外角减少（或增加）的度数之和相等而互相抵消，使得多边形边数的改变不会影响其外角和的值（只会影响其内角和的值）。此外，本证法还能从几何图形的直观上看清楚外角之间随着多边形边数改变的变化情况，使得这一长期困扰师生的难题得到彻底解决。

编辑 李博宁