曾炳文

义务教育阶段的《数学课程标准》明确规定学生在数学学习中的各种目标，其中之一是要求学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。下面以本人课堂教学中的一道探索题为例加以阐述。以折射出同学们的发散思维能力和创新能力，从而发映我们要追求的课堂教学景观。

例：观察下列正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S。

n=2，S=4n=3，S=8n=4，S=12……

按此规律推断出S与n的关系式。

此问题一在课堂上展现，立即引起同学广泛的兴趣。同学们跃跃欲试，纷纷想发表自己的见解。在经过小组合作、思考、讨论后，各小组选派一位同学发言。同学A说，S=4n-4，理由是：正方形每条边上的圆点个数有n个，那么4条边上共有4n个圆点，扣除4个顶点重复计算各一次，结果有(4n-4)个。他的敏捷思维和流畅的表达得到大家的一致赞许。紧接着同学B说，S=4(n-1)。随后她自信地走上讲台，在黑板上刷刷地把每个正方形的圆点分成四个部分(如图(1)所示)。

她发现每部分的圆点数比每条边的圆点数少1个且数目相同，结果总数为S=4(n-1)。在同学B的启示下，学生的思维火花得到充分绽放。紧接着，同学C也上台说，S=2n+2(n-2)，并在黑板上画出示意图(如图(2)所示)。

他的理由是：上、下两条边中每条边各有n个圆点，共2n个。中间每行有2个点，且行数比n少2，结果有2(n-2)个，所以总数S=2n+2(n-2)个。同学D说，正方形是中心对称图形，被图中虚线分开的两部分的圆点数一样(如图(3)所示)，且每部分均为n+(n-2)，所以总数为S=2[n(n-2)]。

同学E说，正方形也是一个轴对称图形，能否从轴对称角度来考虑，经过几分钟的思考，他说，S=2[1+2(n-2)]+2(如图(4)所示)

理由是：被图中虚线分开的每部分圆点数是1+2(n-2)，根据图形对称性，再加上虚线上的两个点，所得总点数S=2[1+2(n-2)]+2。至此，同学的积极性已发挥得淋漓尽致，大家都在积极思考与众不同的解法。忽然同学F说，老师我还有一种想法，如果把正方形里面的空洞按规律放上圆点，让行、列的圆点数一样，则每个正方形的圆点个数为n²个，而放上的中间正方形的圆点个数为(n-2)²个，所以结果S=n²-(n-2)²。这时，全班同学报以热烈的掌声。这位同学脸上也露出了自豪的微笑。

正当大家为同学F叫好的时候，也许是受课堂热烈气氛的感染，班上一位平时比较腼腆的同学举了手说，老师，我发现S是4的倍数，只要把数据分析一下可以看出，当n=2时，S=4=4×2-4；

当n=3时，S=8=4×3-4；

当n=4时，S=12=4×4-4；

不难发现，S=4n-4。

由此可见，课堂良好的氛围对同学潜移默化的影响是多么大啊!

这时有的同学说，老师，怎么它们的结果的书写表达式不一样呢?在老师的适当引导下，同学们明白经过适当的化简、整理，结果都可以写成S=4n-4，正好验证一句成语一殊途同归。

本节探讨的是“归纳—猜想”型题目。这种题目的命题形式是：结合几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。它的解题基本思路是：从特殊向一般的转化。它的具体做法是：(1)归纳：通过对几个特例的分析，寻找规律并加以归纳；(2)猜想：猜想符合规律的一般性结论；(3)验证：验证或证明结论是正确的。

通过本节课的教学，我深深地体会到，只要课堂上尽可能多地提供学生自主、宽松的学习时空和合作交流的学习机会，课堂必然会焕发出生机勃勃的活力。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动中，使学生享有广阔的思维空间，从而迸发出创新的火花。