【摘 要】 基于“双新”背景，以“基本不等式”为例，从课程意义、教学实践、育人价值等方面，按照“内容要求”“教学提示”“学业要求”和“例题、习题资源”维度对教材进行解读，对其设计与教学进行对比分析、理性考证，“用对、用活、用深”教材，进而提出自己的教学主张，为有效教学作指引.

【关键词】 教材解读；基本不等式；课程意义；实践路径；育人价值

教材是学科教学内容的重要载体，“教材解读”是最基本的教学准备工作，也是教师的一项教学基本功和核心的专业能力.教师在进行课堂教学之前首先要解读教材，弄清楚教材内容的来龙去脉、应用情境、问题策略及隐含内核等，抓住教材内容的要领，把握教材内容的精髓，进而以此为基础进行设计及教学，促进学生学科核心素养的培养.培养学生的学科核心素养是教材解读的起始点，同时也是教学落脚点.教师只有关注知识发生发展逻辑与学生认知发展逻辑之间的协调关系，以发展学生的核心素养为导向来解读教材，才能使自身的教学设计及教学最终能促进学生核心素养的发展，实现课程、单元与课时教学目标.

近期，笔者接受芜湖市教育科学研究所中学数学教研室的邀请，在“芜湖市高中数学教师‘教材解读及教学设计能力提升活动”中进行了一场讲座.开设本讲座目的就是想以“基本不等式”为例，阐述如何依据《课程标准》［1］，结合《教师教学用书》［2］，对教材进行合理通透的解读，对教学素材进行既恰当又有意义的解构与重构，做到“用对、用活、用深”教材，在此基础上进行有效设计，并提出自己的教学理解及主张.

1 基本不等式的课程意义

普通高中数学必修课程包括五个主题，分别是预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动.

“主题（一）预备知识”课程目标是：以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.“基本不等式”是预备知识第二章第2节的内容［3］，它是一种数学模型.通过把实际问题中的数量关系转化为数学模型，通过求得数学模型的解来使实际问题获得解决，以此进一步发展学生的模型思想，为用数学模型解决更复杂的问题打下基础.

1.1 基本不等式 “内容要求”“教学提示”“学业要求”

内容要求：掌握基本不等式ab≤a+b/2（a，b≥0）.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.

教学提示：在相等关系与不等关系的教学中，应引导学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异.帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡.（对“基本不等式”没有具体的教学提示）

学业要求：掌握不等式的性质，提升逻辑推理和数学运算素养.（对“基本不等式”没有提出具体的学业要求，笔者理解基本不等式也是以不等式性质拓展及运用的身份出现的）

1.2 教科书“例题、习题资源”相关分析及教学建议

教科书在“基本不等式”文本中设置了4道例题、9道练习题，分两个层次编排.第一层次是基本应用，第二层次是运用基本不等式解决实际问题.习题共有8道，分“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”三个板块，其中通过简单变形“凑正数”“凑定值”的题目有3道，提高学生应用模型意识，培养学生的数学建模素养；解决实际问题的有4道题，是直接应用基本不等式解决最大值或最小值问题，提升学生的数学抽象、数学建模核心素养.

“基本不等式”在高一数学起始阶段教学中，要准确把握好新课程、新教材对其定位.首先，相等关系和不相等关系是数学学科中最基本的关系，是构建方程、不等式的基础，也是构成数学中其他关系的基础，而“基本不等式”是典型的数量不相等关系，所以它是初、高中数学的衔接内容；其次，“基本不等式”是一种数学模型，用之可以解决特定结构的最大值或最小值问题.当然，基本不等式还有其他的意蕴和价值.因而教学中，要立足于教科书的习题资源组织教学，不宜深挖和拓展，对一些教辅资料（包括配套的安徽版练习册）上的习题进行取舍，摒弃技巧性强的问题，夯实运用的基础，引导学生体会“基本不等式”的基础性、经典性与发展性，构建数学中不相等关系的世界.

2 基本不等式教学实践

“基本不等式”教学是各级、各类展示课、汇报课、考评课的热门课题，对其研究从未停止，专业期刊上发表了诸多的学术论文，精选其中的5篇.

［1］《数学教育学报》2015年12月第24卷第6期：大学教师与中学教师关于《基本不等式》的“同课异构”评析.主要研究成果：大学老师和中学老师都非常注重教学过程的启发诱导，但是他们的启发方式却明显不同，反映大学老师与中学老师不同的教学理念.

［2］《中国数学教育》2021年第5期下半月（高中版）：促进学生认知发展的教材开发与重构.主要研究成果：基于學生的认知起点、认知规律、认知方式与知识经验，对教材进行开发与重构，真正发挥教材的教育教学价值，促进学生对知识本质的理解.

［3］《数学通报》2022年第6期：HPM视角下“基本不等式”的教学.主要研究成果：以HPM视角设计基本不等式教学课，采用借鉴历史、重构历史的方式，呈现基本不等式的发现、证明、应用等过程，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦.

［4］《福建基础教育研究》2023年第2期：基于多元表征的数学教学设计——以“基本不等式”教学为例.主要研究成果：“基本不等式”具有丰富的表征形式.教学中要充分利用基本不等式的多元表征，引导学生在不同的表征中建立联系，能够加深学生对基本不等式的理解，提高学生灵活解决数学问题的能力.

［5］《高中数学教与学》2023年第7期：整合教材资源 优化教学设计——以“基本不等式”（第一课时）教学为例.主要研究成果：整合不同版本教材，实现资源互补；整合初高中教材，体现自然衔接；整合教材文本内容，凸显逻辑贯通.

文献［1］—［5］都是从单元教学视角，多是将基本不等式放置于解决函数相关问题、证明不等式的环境当中，将其作为解决问题的一种工具、一项技能来研究基本不等式的情境引入、生成探究、基本应用以及变形拓展的.

基于“新课程”“新教材”背景，从“预备知识”的课时而非单元设计的视角出发，落实有效实施初、高中学段衔接的课程目标，融入学生已有的知识经验，嵌入学生对基本不等式简洁、优美结构的欣赏，对“基本不等式”的教学设计及实施做出与时俱进的创新思考.

2.1 准确把握教学目标

理解基本不等式ab≤a+b/2（a，b≥0），发展逻辑推理素养.结合具体问题，明确基本不等式的使用条件和注意事项；用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值.在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提高学生对模型思想的运用意识，提升逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.

准确把握“基本不等式”的教学目标，需要落实两点：（1）作为“相等关系和不相等关系”的总结和应用，体现知识衔接；（2）作为模型思想的运用和发展，体现技能衔接.通过知识与技能等维度的衔接，设置高中数学学习的“适应期”，在初、高中数学之间架起桥梁.

2.2 有效实施学段衔接

为了有效实施学段衔接，基本不等式的教学设计及实施需要特别关注两个环节.一是如何引入基本不等式，二是基本不等式的应用深度.

基本不等式的打开方式有多种.代数视角引入：x∈R，x2≥0；几何视角引入：赵爽弦图或帕斯卡半圆图；综合实践视角引入：用不等臂天平称量物体的质量.究竟用哪一种方式打开基本不等式，就要看学生的已有知识经验的储备，要看教师的教学立意与教学主张.从《课程标准》主题（一）预备知识的课程目标来看，从代数视角引入是一种好的方式，强调学段衔接.但是，从跨学科综合的视角出发，以“用不等臂天平称量物体的质量”引入，也是一种好的打开方式，苏教版高中数学教材即是如此.

基本不等式的应用主要是体现模型思想.初中数学学习，学生已经积累了一些数学模型，如：方程、函数、不等式等，作为模型思想的学段衔接与发展，又是作为经典不等式所折射出的数学精神与数学文化，在“预备知识”的教学中，要把握其应用的深度.解决简单的特定结构的最大值或最小值问题，只做简单的拓展应用，不能引申到高考的选拔要求.

2.3 合理挖掘教材资源

教材是教师教学和学生学习的基本素材，更是物化《课程标准》、落实教学目标的重要载体，教师要认真研习、深刻理解和把握.以课本的例题和习题为母题，通过简单的“配凑”，运用基本不等式解决相关问题.在问题解决的过程中让学生体会“一正二定三相等”的涵义与要求，而不是把这个原则当作“口诀”硬塞给学生.在问题解决过程中培养学生思维的深刻性和灵活性，防止学生由于机械套用基本不等式，导致思维固化定势，不利于学生数学核心素养的发展，与“预备知识”的课程目标相悖.如“已知－1≤x≤1，求1－x2的最大值”“求x（10－x）的最大值”的教学，学生首先想到的应该是利用二次函数来解决问题，而不是利用基本不等式，教师要借之培养学生解题思维的发散性，使学生自觉认识到借助基本不等式解决问题的简洁性，从而培养学生的模型思想，发展逻辑推理和数学运算等核心素养.

根据学情，有针对性地设计一些既能反映基本不等式的结构特征，又能体现其典型运用的多项选择题或结构不良题，以此提高学生对基本不等式的深刻理解、准确把握和灵活应用.至于“a2+b2/2，ab，a+b/2，1/a+1/b”之间关系的扩展版不等式链构建，结合学情可以作为不相等关系的拓展，在全章复习或单元整合教学中，以“数学探究活动”的形式实施.

2.4 適时开启数学欣赏

《课程标准》修订组组长史宁中教授指出：学习数学最重要的，一个是要有兴趣，因为兴趣是学习最根本的动力；还有一个是学习数学要会思考，尤其是理性思维.要对数学产生兴趣和情感，不惧怕数学，首先要引导学生学会数学欣赏，欣赏自己的学习成果.通过适时开启数学欣赏，发现和感悟数学的简洁美和形式美等，亲近数学、理解数学、享受数学.通过数学欣赏，让学生对自己和他人的学习行为进行自我观察、自我调节，对学习成果进行自我检查、自我评价.

数学美是具象与抽象相结合的美，是有序思维与对称思维相结合的美.“缤纷的方法和过程”不是数学追寻的目标，“至善最简”才是数学的真谛.利用基本不等式开启数学欣赏的方式有：（1）和积互化，欣赏形式美.基本不等式不仅实现了和积互化，体现放缩思想，而且蕴含不等式与等式的融合，取等条件实质上就是不等式的极致；（2）数形结合，欣赏智慧美.通过数形结合的打开方式，欣赏数学推理的智慧美，学会数学地思考问题，多视角理解基本不等式；（3）动静搭配，欣赏和谐美.运动与静止是辩证统一和谐相处的.“运动观”与“静止观”实际上既是人们认识客观世界的方法论，又是追求的价值观.通过如此行为，加深学生对基本不等式的本质把握，体验数学知识的美妙，激发学生学习数学的兴趣；（4）珠联璧合，欣赏经典美.中西合璧妙，生长是本质.勾股定理（毕达哥拉斯定理）、基本不等式、柯西不等式及排序不等式等，人们称之为经典不等式，它们都可以由中国古代文化图腾“赵爽弦图”推出.东西方数学文化交相辉映，有力推动数学向前发展.

3 基本不等式育人价值（思想方法以及哲学启示）

教育的本质不是教书，而是育人.结合学科教学，对学生进行正确的情感、态度与价值观教育，实施“课程思政”，是新时代意识形态领域对数学教育教学的必然要求.深入挖掘基本不等式的育人价值，“看见不可见，让数学教育更加平易近人”是当代素养课堂的永恒价值追求，也是数学教育的重要研究课题.

“概念”没有缘起，就漂成浮萍；“知识”没有探究，就沦为技能.探究基本不等式的思想方法有：比较法（分析法或综合法）、换元法，数形结合、转化与化归、模型思想.

通过基本不等式探究及应用，培养和发展学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等数学核心素养.其中，逻辑推理素养是一条主线.培养学生观察、猜想、推理等能力，特别是要提高学生代数证明能力，发展学生基于代数的逻辑推理能力.会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界［4］.

基本不等式体现的哲学原理有：客观世界是普遍联系的；矛盾的两个方面虽然是对立的，但在一定的条件下又能相互统一；事物有多元表征，它们都指向对象的本质属性.

基本不等式蕴含的生活哲理是：在一个团体内部，利益分配的差距不宜过大；个人处世之道，以中庸为上；凡事不可走极端.

教科书是《课程标准》的代言.准确深入地解读教材是教师的第一基本功，也是提高教育教学质量、提升学生学科核心素养以及促进教师专业成长重要的、关键性保障.学校教研组要举行专门的校本教研活动，开展有针对性的主题研修，提高教师依循《课程标准》、根据教学目标和学情来解构与重构教材的实践能力.

参考文献

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020：16-18.

［2］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中教科书教师教学用书·数学A版（必修第一册）［M］.北京：人民教育出版社，2019：65-68.

［3］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中教科书·数学A版（必修第一册）［M］.北京：人民教育出版社，2019：44-49.

［4］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：人民教育出版社，2022：62.

作者简介 胡浩（1968—），男，正高级教师，安徽省高中数学特级教师，中国数学会会员，“长三角教研联盟”教学专家;主要从事中学数学课程教材、课堂教学和解题教学研究；发表论文数十篇，多篇被中国人民大学报刊复印资料《高中数学教与学》全文转载．