倪森鹤

［摘 要］在小学数学的“图形与几何”领域，“三角形的三边关系”的教学难点在于学生难以通过实际操作来理解知识点，在学习过程中往往会产生许多疑惑。为了解决学生面临的困难，教师充分利用“尺规作图”来帮助学生探究和验证，使他们更深入地理解三角形三边关系的本质，并让几何直观能力得以发展。

［关键词］尺规作图；三角形；三边关系

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）26-0006-05

一、课前思考

1.教材分析

人教版教材将“三角形的三边关系”编排在四年级下册的第五单元。对于“三角形的三边关系”这一课程，理解其规律是一个难点，学生通常难以通过实际操作来领悟，因此会产生如“两边之和等于第三边时，为什么不能构成三角形”等疑惑。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）在小学数学的“图形与几何”领域新增了“尺规作图”板块。尽管人教版教材将使用圆规的学习编排在六年级，但在四年级的教学中，教师也要充分发挥尺规的优势，利用“尺规作图”来验证构成三角形的条件。学生在作图时要经历猜测、尝试、分析、思考、验证等一系列过程，充分发挥直观想象力和推理能力，以此更好地理解哪些三边关系能够构成三角形，感受“尺规作图”的趣味和魅力。

2.教学定位

根据前述思考，可以得出结论：在“图形与几何”领域中，三角形三边关系的本质在于三角形边的特性。因此，在教学这一课时，教师应巧妙运用“尺规作图”，充分利用圆规的特点来引导学生深入研究三角形的三边关系，使学生能够体验到构成三角形的核心条件是“两条短边之和必须大于第三边”，从而真正理解并掌握有关三角形的概念。通过学习这一内容，学生能够从边的关系维度更深入地探索三角形的本质，进而形成更全面的认知。同时，通过探索和应用三角形的性质，促使学生形成解决问题的能力。

二、教学过程

1.游戏情境，引发问题

师：今天我们将一起学习“三角形的三边关系”。一个三角形是由三条边围成的。现在，请两位同学用黑板上的这些边围一个三角形。

（男生成功围成了一个三角形，如图1-1；女生没有围成，如图1-2）

师：女生的算围成了吗？

生1：没有，因为三条边没有首尾相接。

師：为什么围不成？

生2（边指边说）：这两根小棒太短了，第三根小棒太长了，所以没能围成三角形。

师：同样是三根小棒，一位同学围得成三角形，一位同学围不成三角形，你有什么想法或者疑问吗？

生3：为何男生的三根小棒围得成？

生4：为何女生的三根小棒围不成？

生5：到底怎样的三根小棒才能围得成？

生6：到底怎样的三根小棒才会围不成？

生7：对能围成三角形的三根小棒有什么要求？

【思考：问题能够驱动学生主动学习，特别是在学习的初始阶段。这种三角形构建比赛的活动情境，可以激发学生的兴趣和好奇心，引导他们主动思考和探究问题。学生在实际操作和交流中亲身体验到并理解了不是所有的三条线段都能构成一个三角形。这种亲身经历有助于激发学生对三角形三边关系的探索兴趣，并让他们开始思考：什么样的三根小棒可以围成（或围不成）三角形？这样的问题能引导学生主动思考和学习，提高他们的学习动力和主动性，有助于他们更深入地理解这一概念，为进一步的探究活动奠定了坚实的基础。】

2.提出猜想，逐步验证

（1）提出猜想

师：到底怎样的三根小棒围得成三角形，怎样的三根小棒围不成三角形，围成三角形的三根小棒的关系到底是怎样的？

猜想1：较短两边的和小于第三边时，围不成三角形。

猜想2：较短两边的和大于第三边时，围得成三角形。

猜想3：较短两边的和等于第三边时，围不成三角形。（也有学生说围得成三角形）

猜想4：任意两边的和大于第三边时，围得成三角形。

……

（2）操作实验

师：要想验证猜想是否正确，可以怎么做呢？该如何来证明自己的想法？

生1：可以摆小棒证明。

生2：可以画图证明。

师：为方便研究，老师给大家准备了一个学具袋，里面有3、5、6、10厘米的小棒各一根，大家可以用小棒边摆边思考。

实验要求：

围一围：任选三根小棒围一围，看能不能围成三角形。

想一想：围三角形的过程中有什么发现。

议一议：在小组内交流自己的发现。

（3）交流辨析

反馈猜想1：较短两边的和小于第三边时，围不成三角形。

生1：我选择3、5、10厘米的小棒，围不成三角形。因为3厘米+5厘米=8厘米，另一条边是10厘米小棒，两根小棒的和还比它短了2厘米，当然无法围成三角形。

生2：我选择3、6、10厘米的小棒，也围不成三角形。一条短边是3厘米的小棒，另一条短边是6厘米的小棒，还有一条边是10厘米的小棒，因为3+6=9，9<10，所以围不成三角形。

生3：我选择用尺规画图。在一条10厘米线段的两端画5厘米线段与3厘米线段的运动轨迹，它们没有交点；在一条10厘米线段的两端画6厘米线段与3厘米线段的运动轨迹，它们没有交点（如图2）。因此，我们小组认为“较短两边的和小于第三边时，围不成三角形”。

反馈猜想2：较短两边的和大于第三边时，围得成三角形。

生1：我选择3、5、6厘米的小棒，因为3+5＞6，所以围得成三角形。

生2：我选择5、6、10厘米的小棒，因为5+6＞10，所以围得成三角形。

生3：我们用尺规画图时发现，较短两边的和大于第三边时，围得成三角形。因为在10厘米线段的两端同时画5厘米线段与6厘米线段的运动轨迹，会得到一个交点，所以就会围得成三角形。（如图3）

师：为何会有一个交点？

生3：因為5+6＞10，所以它们的运动轨迹肯定有重叠的地方。

生4：按照尺规作图，在10厘米线段的下方也有一个交点，上下两个交点都是固定的。这样，线段的端点与得到的两个交点分别围成一个三角形。

师：用5厘米、6厘米、10厘米三条线段画出的三角形都一样吗？

生5：一样，因为长度都确定好了。

师：那在杭州画和在美国画，得出的三角形大小一样吗？

生6：一样，因为长度确定了，三个顶点的唯一交点就确定了。因此，不管谁画，在哪里画，三角形的大小都是一样的。

师：通过刚才摆与画的研究，你得出了什么结论？

生7：我发现三角形中两条短边之和小于第三边时，围不成三角形；两条短边之和大于第三边时，可以围成三角形。

生8：当三条边确定了长度，围成的三角形大小就是唯一的，形状也是一样的。

【思考：学生在前一个环节的学习中很容易得出“两条短边之和大于第三边就能构成三角形”的结论，然而，这样的结论仅是形式上的。因此，通过动手操作、逻辑推理，并借助尺规作图，学生的理解就会逐渐深入——从图形的运动角度深刻理解构成三角形的数学原理，直观感受到不同几何图形之间的变化和联系。这种教学方法让学习过程变得生动有趣，有助于推动学生思维的发展，使他们能够更清晰地理解数学概念。这个环节为后续教学难点的突破提供了坚实的基础。】

反馈猜想3：较短两边的和等于第三边时，能否围成三角形。

生1：围不成。因为较短两边的和大于第三边时才围得成三角形，所以较短两边的和等于第三边时是围不成的。如3厘米+5厘米=8厘米，所以3、5、8厘米的小棒围不成三角形。

生2：我觉得3、5、8厘米的小棒能首尾相接，围得成三角形。

师：现在有两种“声音”，怎么办？让我们通过绘图来一探究竟。现在请闭上眼睛，用想象力在脑海中构思“一条较长的边和两条较短的边，这两条短边的长度之和正好等于那条长边。在这种情况下，这三条边是什么样的呢？”（稍作停顿）请不要睁开眼睛，继续思考“假设这两条短边向上转动，它们是否仍然能够围成一个三角形呢？”（再次稍作停顿）现在可以睁开眼睛了。请用清晰易懂的方式，将你在脑海中构想的情景画在纸上，以便让其他人一看就明白这三条边是能够围成三角形还是不能围成三角形。

生3（出示图4）：两根小棒同时往上转动，一动就分开，越往上分得越开，不可能围成三角形。

生4（出示图5）：两条短边和长边重叠在一起时，正好有一个交点，要是两条短边往下转动，它们就会分得越来越开。

生5（出示图6）：两条虚线就是两条短边运动的路线，这幅图说明它们往上转动后就没办法再相交，围不成三角形。

生6：我在一条长度为8厘米的线段的两端同时绘制了3厘米和5厘米的线段。我观察到，只有当这三条线段完全重叠时，3厘米和5厘米的线段才会出现交点。然而，如果将它们向上或向下转动，它们根本无法相交。因此，这个观察结果进一步验证了“两条短边之和等于第三边时，不能构成三角形”的原理。

师：分析三边关系，较短两边之和小于第三边时，围不成三角形；较短两边之和等于第三边时，也围不成三角形；只有较短两边之和大于第三边时，才围得成三角形。

【思考：教师面对这个知识点时，往往会采取让学生通过操作的办法来得出结论，但操作时总有学生能“围出”三角形。如何克服这一教学难点呢？一种方法是鼓励学生基于之前的经验进行想象。学生想象时，教师可以将非数学的干扰因素自然地排除（例如，小棒的粗细或精确度等），让学生个性化的思维得以展现，这包括不同的思考方式和表达方式。同时，学生的思维在这个过程中会互相碰撞、吸纳，最终形成一种共识。这种方法的好处在于，它能够自然而然地突破难点，同时也促进学生思维能力的发展。通过思维的碰撞和吸纳，学生可以更好地理解和掌握数学概念，而不仅仅是机械地完成操作。这样的教学方法在促进思维发展方面有着显著的潜力，能让学习变得更具深度和活力。】

（4）质疑思辨

师：我们通过探究得出了“三角形较短两边之和大于第三边”的结论，大家都做得非常出色！但是，我在查看教材时发现教材上的结论与我们的探究结果不太一样。（出示课堂探究结论与教材结论对比图，如图7）请大家小声读一下教材上的这句话。你们能理解教材上的这个结论吗？现在，请将教材上的结论与我们探究得出的结论进行对比，有什么新的疑问或思考吗？

生1：教材上为何写的是“三角形任意两边的和大于第三边”？

生2：这里的“任意”是什么意思？

生3：是“三角形较短两边的和大于第三边”的说法好，还是教材上的说法好？

……

师：“任意”到底是什么意思？

生4：在这个三角形中，3+5＞6，且3+6＞5，5+6＞3。

师：到底哪一种说法更好呢？请小组讨论。

生5：我们小组认为，第一种说法，也就是“三角形较短两边的和大于第三边”比较好。因为3+5＞6，那么3+6一定大于5，5+6也一定大于3。

生6：我们认为教材上的说法比较好，因为比较全面地反映了三种关系。

生7：我们小组认为“三角形较短两边的和大于第三边”的说法比较好，因为这样可以更快地判断能否围得成三角形。

生8：我们小组也认为教材上的“任意”比较好，因为这个说法除了全面，还比较严谨。如果是等边三角形，或者等腰三角形，就没有“较短两边的和”的说法，所以用“任意”会更加完善和严谨。

师：“公说公有理，婆说婆有理”，在快速判断不等边关系是否能够构成三角形时，确实可以使用我们刚才探究出的“较短两边的和”来做决策。然而，要更加准确和全面地表达三边关系，教材上的表述会更严谨。具体来说，“三角形的三边关系”可以表述为“三角形任意两边的和大于第三邊”，这正是我们今天学习的核心概念。这种表达方式更加全面，能够更好地涵盖各种情况，确保了对三边关系的准确理解。

【思考：教材上的结论与学生的探究结果不太一样，这个“不太一样”给了学生一个强烈的刺激，让学生关注到了“任意”这个词。随后的辨析和比较过程有助于学生更好地理解概念的同时，也激发了他们深入思考不同表述的差异。这样的课堂情景围绕学生的疑问展开，推动学生深入学习，促进学生对知识有更深刻的理解。这种积极的学习方式有助于培养学生的批判性思维和解决问题的能力。】

（5）推理应用

师（出示图8）：小白想去海洋动物表演馆，应该怎么走？

生1：小白可以直接走路线BA，也可以先走路线BC到小马家，再走路线CA。

师：如果你是小白，你会怎么走？为什么？

生2：走路线BA，因为两点之间的所有连线中，线段最短。

生3：走路线BA，因为三角形任意两边的和大于第三边。

师：如果用a、b、c来表示三条线段，可以得出怎样的结论？

生4：a+b＞c ， a+c＞b ， b+c＞a。

3.利用内化，解决问题

出示练习：图9中的每组小棒都能围成三角形吗？（单位：厘米）

出示变式练习：

师：如图10，在这组小棒里，如果把2厘米的小棒换掉，那么需要一根几厘米的小棒，它们才能围成三角形呢？

生1：5厘米的小棒，2+5＞6。

生2：6厘米的小棒，2+6＞6。

生3：7厘米的小棒，2+7＞7。

生4：只要是大于4厘米、小于8厘米的小棒都可以，有无数种答案。

师：大家表现得真棒。最后送大家一句话，想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象却能概括世界上的一切。

三、课后启示

《课程标准》中提出，数学课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”），发展学生运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态度和价值观。在“三角形的三边关系”这节课中，教师借助“尺规作图”促使学生深刻理解概念，真正实现了核心素养的课程目标。

1.在材料对比中发现问题

《课程标准》在“课程理念”中强调，“学生的学习应是一个主动的过程”。在课堂教学中，教师应善于引导学生发现问题、提出问题，善于在学生的困惑中提炼问题、设计问题。同时，在核心问题的指引下，教师要进一步设计密切相关、前后呼应的问题链，依靠问题驱动学生的学习活动，使学生在活动中学会分析问题，进而解决问题。在课堂引入环节，通过游戏操作情境和材料的对比，学生发现了问题，而“怎样的三根小棒围得成三角形？”“怎样的三根小棒围不成三角形？”这一系列问题激发了学生的探究欲望，并以此为核心问题驱动了整个课程的探究。在新的课程学习中，不论是在操作中观察、在探究中思考、在“尺规作图”中研究，还是在验证中推理，学生始终围绕着引入环节的几个问题进行思考。学生探究出“三角形较短两边的和大于第三边”时，又发现其与教材上定义的“三角形任意两边的和大于第三边”不一致，从而进行了深刻的思辨，明确了“任意”的全面性和严谨性。整个教学过程中，学生在分析问题时经历了由浅入深、由表及里、从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程。

2.在“尺规作图”中理解本质

在探究“三角形的三边关系”时，首先，通过使用小棒进行操作，学生初步感知能否围成三角形与三角形三条边的长度相关；接着，通过观察和讨论，学生开始思考“到底怎样的三根小棒才能围成三角形”；最后，通过“尺规作图”的学习活动，学生进一步探究了“作图痕迹”以及思考“这条弧表示什么意思”，并通过操作、观察、思考等方式真正认识和理解了三角形的三边关系。

在研究“较短两边的和等于第三边能否围成三角形”时，教师要求学生先通过想象和绘图来说明不能围成三角形的情况，再通过“尺规作图”直观可视地说明“这样的三条线段不能围成三角形”的原理。同时，引导学生使用直尺进行测量并绘制图形，使问题更加清晰明了。这一过程流畅自然，一气呵成，凸显了“尺规作图”的价值，有助于培养学生的几何直观、空间观念和推理能力。

3.在想象操作中发展思维

在“图形与几何”的教学中，教师不仅要培养学生的观察和操作能力，还要初步培养他们的空间想象力。在探究“较短两边的和等于第三边能否围成三角形”时，教师没有让学生通过动手摆放小棒来研究，而是要求学生闭上眼睛想象，最后再通过“尺规作图”来进行可视化验证。这个过程使学生逐步形成空间想象力，对空间观念有了更深的理解。

总之，本节课的教学目标不仅在于让学生理解三角形三边关系的本质，更在于让学生在游戏情境中发现问题，在操作和想象中探究问题，在“尺规作图”中深入理解本质。通过这样的教学方法，学生获得了丰富而广泛的数学活动经验，包括思考与表达、想象与推理、理解与应用等多个方面。从这个意义上说，学生获得知识的过程不应仅仅是被告知的过程，还应是他们自己发现、重新构建甚至“发明”的过程。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 顾志能.问题点燃课堂：小学数学“生问课堂”教学模式的实践研究[M].上海：上海教育出版社，2021.

[2] 夏青.操作体验，发展思维：基于新课标“三角形的三边关系”的教学实践与思考[J].山东教育， 2022（38）：23-26.

[3] 骆奇.我把旧瓶装新酒：与自己同课异构“三角形三边关系” [J].小学教学（数学版），2019（4）：53-55.

[4] 顾英杰.朱红伟.借助尺规作图培养推理意识：“三角形三边的关系”教学实录与评析[J].小学数学教育，2023（Z2）：57-60.

（责编 金 铃）