范 凯，赵和明

（1.上海空间推进研究所，上海 201112； 2.上海空间发动机工程技术研究中心，上海 201112）

1 引言

推进剂贮箱作为航天器推进系统中关键的承压容器部件，其核心功能是贮存和供给满足使用要求的推进剂［1］。其中，推进剂的供给主要由贮箱内部的管理装置实现。作为重要的推进剂管理装置之一，金属隔膜因可靠性高、工艺简单、相容性好等特点被广泛使用。

金属隔膜在内外侧压差作用下通过翻转变形将液体推进剂排出，完成推进剂供给。因此，隔膜的可靠翻转对贮箱性能至关重要。同时，受限于上述工作原理，现有的金属隔膜结构主要为球形、椭球形及锥球形。其中球形隔膜结构最为简单，主要翻转区呈半球形，但其几何尺寸（半径）由贮箱液腔容积直接确定，进而贮箱外包络尺寸也随之确定，因此该类型隔膜应用场景受限。椭球形隔膜和锥球形隔膜是在球形隔膜的基础上对型面进行调整，可实现在确定贮箱外包络尺寸下根据液腔容积要求进行适应性设计，应用场景更为广泛。近些年针对球形和锥球形隔膜翻转行为及影响因素开展了较多研究。结果表明隔膜翻边半径［2-3］、隔膜锥角［4］、隔膜壁厚［5］和径厚比［6］等几何参数对隔膜翻转行为影响显著，需要在隔膜设计中加以考虑。为拓展金属隔膜的应用场景，作者对新型柱形金属隔膜的结构设计优化和变形行为进行了研究［7］。然而，对于椭球形隔膜的翻转行为及影响因素研究较少。黄韬等［8］通过有限元方法研究分析了厚度梯度对钛制椭球形隔膜翻转行为的影响。作为椭球形隔膜的另一个重要几何参数，母线椭圆率ρ的影响尚未见研究报道。目前的金属隔膜采用板材冲／旋压后机加壁厚得到，这就意味着不同母线椭圆率的隔膜需要不同的冲／旋压工装，试验研究时间和经济成本巨大。有限元仿真模拟技术为开展这一研究提供了更为合适的手段。

本文以椭球形金属隔膜为研究对象，基于弧长（Riks）法的有限元仿真，研究母线椭圆率ρ对隔膜翻转行为的影响，重点分析其对翻转压力、径向失稳和最终翻转型面的影响机理。

2 有限元模拟

2.1 隔膜结构和几何

椭球形金属隔膜为轴对称结构，其结构及几何尺寸如图1 所示。其母线由椭圆段、翻边段和直线段3 部分构成。其中椭圆段方程如式（1）所示。

上述3 段经旋转后分别形成隔膜结构的3 个组成区域：构成翻转主体区域的椭球区、诱发隔膜启动翻转的翻边区和用于与壳体密封连接的直筒区。

椭球形隔膜几何参数包括：隔膜高度H、翻边半径r、竖直柱段高度h、翻边段圆心到隔膜中心轴的距离L和隔膜壁厚t。为了研究母线椭圆率ρ对椭球形隔膜翻转行为的影响，保持其他几何参数不变，仅通过改变母线椭圆的长半轴a和短半轴b实现椭圆率ρ的改变。本文共选取6 组不同ρ的隔膜（D-1～D-6），其具体型面如图2 所示，对应的几何参数如表1 所示。

表1 椭球形金属隔膜几何参数Table 1 Geometry datas of ellipsoidal metal diaphragms mm

图2 不同ρ 值的椭球形隔膜初始型面Fig.2 Initial profiles of ellipsoidal diaphragms with different ρ values

2.2 隔膜材料

根据隔膜的工作特点，一方面，要求其容易变形，具有良好的柔韧性、延展性、不易破裂失效；另一方面，能与推进剂长期贮存。目前常用的隔膜材料为纯铝、纯钛和不锈钢。本文选用工业纯铝椭球形隔膜为研究对象，其在室温下的真应力-应变曲线如图3 所示。

图3 室温下工业纯铝的真应力-应变曲线Fig.3 True stress-strain curve of commercial pure aluminium at room temperature

2.3 隔膜有限元模型

采用ABAQUS 有限元软件对不同母线椭圆率ρ的椭球形隔膜进行三维（3D）建模。综合考虑结果准确性和计算成本，将所有隔膜结构简化为1／4 模型。在隔膜直筒区顶端和2 个对称面上分别设置固定约束和对称约束，同时在隔膜外表面上施加均布载荷。所有隔膜均采用壳单元（S4R）进行计算分析。通过网格无关性验证得到较为合理的网格尺寸2 mm×2 mm。图4 为典型椭球形隔膜（ρ＝1.1）的整体网格，其共包含65 968 个网格和66 235 个节点。

图4 ρ＝1.1 椭球形金属隔膜有限元模型Fig.4 Finite element model of ellipsoidal metal diaphragm with ρ＝1.1

Riks 弧长法作为目前结构非线性分析中计算稳定、计算效率高且可靠性高的迭代控制方法之一，被广泛应用于推进剂贮箱金属隔膜的非线性前后屈曲分析，其合理性和有效性得到了验证。本文仍采用Riks 弧长法模拟不同母线椭圆率的椭球形隔膜翻转变形过程。

3 结果与讨论

3.1 母线椭圆率对隔膜翻转压力的影响

通过模拟得到6 组不同母线椭圆率ρ的椭球形隔膜在翻转过程中的压力变化，如图5 所示。从图中可以观察到，在隔膜翻转初期（隔膜顶点轴向位移D＝0 ～6 mm），不同母线椭圆率ρ的隔膜对应的翻转压力p曲线基本相同，如图中A区域局部曲线所示；在隔膜翻转前期（隔膜顶点轴向位移D＝6～280 mm），母线椭圆率ρ越大的隔膜对应的翻转压力p曲线越低，如图中B区域局部 曲 线 所 示； 在 隔 膜 翻 转 后 期（D＝280 ～620 mm），母线椭圆率ρ越大的隔膜对应的翻转压力p曲线越高，如图中C区域局部曲线所示；在隔膜翻转末期（D＝620 ～630 mm），不同母线椭圆率ρ的隔膜对应的翻转压力p曲线基本相同，如图中D区域局部曲线所示。因此，母线椭圆率的增加对椭球形隔膜翻转压力的影响与翻转阶段有关。在隔膜翻转初期和末期，母线椭圆率对翻转压力基本无影响；在翻转前期，母线椭圆率的增加对翻转压力产生负向影响；在翻转后期，母线椭圆率增加对翻转压力产生正向影响。

图5 不同母线椭圆率的椭球形隔膜翻转压力曲线Fig.5 Overturing pressure curves of ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

3.2 母线椭圆率对隔膜翻转径向失稳的影响

图6 展示了6 组母线椭圆率的椭球形隔膜在翻转相同顶点轴向距离（D＝50 mm）时的应力云图。从图中可以观察到，当母线椭圆率ρ较小（ρ＝1、1.05、1.1 和1.2）时，隔膜翻转过程中均未出现径向失稳现象；当母线椭圆率ρ较大（ρ＝1.3和1.4）时，隔膜翻转过程中在出现了径向失稳现象，并且随着ρ的增大，失稳程度增加。因此，母线椭圆率的增加对椭球形隔膜在翻转过程中的径向失稳具有一定的负向影响。

3.3 母线椭圆率对隔膜翻转最终型面的影响

在目前隔膜的设计中，为保证隔膜可靠性，通常不允许隔膜产生较大的塑性变形。因此，将隔膜刚完成翻转作为其整个工作过程结束的标志，此时对应的型面为翻转最终型面。

根据模拟得到的6 组不同母线椭圆率ρ隔膜的翻转最终型面绘制了其最终母线，如图7 所示。从图中可以观察到，在最终隔膜型面赤道位置（y＝-2 ～12 mm） 和下极端位置（y＝-305 ～-295 mm）内，不同母线椭圆率ρ的隔膜翻转最终型面基本相同，如图中的A区域和D区域所示；在隔膜最终型面中上位置（y＝-140 ～-2 mm）内，相同轴向位移Δy下母线椭圆率ρ越大对应的径向位移Δx越大，如图中的B区域所示；在隔膜最终型面中下位置（y＝-295 ～-140 mm）内，相同轴向位移Δy下母线椭圆率ρ越大对应的径向位移Δx越小，如图中的C区域所示；因此，母线椭圆率对隔膜翻转最终型面的影响与型面位置有关，其中中间位置的影响显著，赤道和下极端位置几乎无影响。

图7 不同母线椭圆率的椭球形隔膜翻转最终型面母线Fig.7 Overturing final profile generatrixes of ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

此外，对上述各最终母线进行了非线性拟合。图7 中的2 组散点曲线（黑色方形散点曲线和绿色圆形散点曲线）为2 个典型隔膜（ρ＝1 和1.2）的拟合曲线，拟合结果较好。汇总所有隔膜对应的拟合曲线形状及方程如表2 所示。从表中可以观察到，母线椭圆率ρ较小的3 个隔膜（D-1、D-2和D-3）的翻转最终型面母线约为1／4 椭圆，并且椭圆中心点纵坐标和短半轴长度随着ρ的增大而增大；母线椭圆率ρ较大的3 个隔膜（D-4、D-5 和D-6）的最终型面约为1／4 圆，并且圆心纵坐标随着ρ的增大而增大。

表2 不同母线椭圆率的椭球形隔膜翻转最终型面拟合形状与方程Table 2 Fitting Shapes and equations of overturning final profiles for the ellipsoidal diaphragms with different generatrix ellipticities

3.4 讨论与分析

根据金属隔膜的工作原理，任一时刻向由翻转过渡区、翻边区和待翻转椭球区所形成的第n个主动翻转区内施加一定压力时，在该区域壳体上形成一定的翻转力矩促使上述3 区发生不同程度的翻转，并最终依次形成翻转完成区、新的翻转过渡区和新的翻边区，同时后2 区与新的待翻转椭球区构成第n+1 个主动翻转区。该过程如图8所示。连续经历若干个上述过程即完成隔膜的整个翻转过程。因此，主动翻转区的翻转行为决定了隔膜的翻转行为，同时其受到该区域局部型面几何的影响。通常来说，当该区域内的椭球区切线斜率k（＝-tan（90-β））绝对值较小时，该区域的张开夹角β较大，此时驱动其发生翻转所需的弯矩较小，进而形成了较低的翻转压力p曲线；同时较低的翻转压力p曲线导致翻转过渡区转变为翻转完成区的变化程度较弱，进而导致最终型面中相同轴向位移Δy对应的径向位移Δx较大。

图8 隔膜主动翻转区翻转过程Fig.8 Overturning process of diaphragm active overturning area

此外，隔膜主动翻转区内的待翻转椭球区壳体承受外压，并进入塑性阶段，此时该区域壳体的抗径向失稳能力较差［9］。当主动翻转区内的翻转压力pr大于椭球区壳体的临界失稳压力ppb时，待翻转椭球区壳体会发生径向失稳。

首先，对各隔膜初始型面母线斜率进行了计算。基于式（1）求导可得到式（2）：

联合式（1）可得隔膜初始型面母线斜率与隔膜轴向坐标y的关系如式（3）所示。

计算得到6 组隔膜初始型面母线斜率k随轴向坐标y的变化，如图9（a）所示。从图中可以观察到，不同隔膜的初始型面母线斜率k差异与隔膜轴向坐标y有关。

图9 隔膜初始型面母线切线斜率变化曲线Fig.9 Change curves of slope of the tangent line for the diaphragm initial profile generatrixes

在隔膜轴向坐标y＝0～6 mm 范围内（初始型面翻边区），不同母线椭圆率ρ的隔膜所对应的切线斜率变化曲线基本重合，即任一相同轴向位置的切线斜率k绝对值相同，如图9（b）中的A区域局部曲线所示。相同的切线斜率k绝对值导致不同ρ的隔膜在此区域内任一时刻的主动翻转区所需的翻转力矩相同，进而形成相同的翻转压力p曲线（图5 中A区域曲线）和相同的最终型面（图7 中A区域型面）。

在隔膜轴向坐标y＝6～205 mm 范围内（初始型面椭球区底部），母线椭圆率ρ越大的隔膜所对应的切线斜率曲线越高，即任一相同轴向位置的切线斜率k绝对值越小，如图9（b）中的B区域局部曲线所示。越小的切线斜率k绝对值导致ρ越大的隔膜在此区域内任一时刻的主动翻转区所需的翻转力矩越小，进而形成越低的翻转压力p曲线（图5 中B区域曲线）。同时，越低的翻转压力p曲线导致翻转过渡区转变为翻转完成区的变化程度较弱，进而导致ρ越大的隔膜最终型面中相同轴向位移Δy产生的径向位移Δx较大（图7 中B区域轮廓）。

在隔膜轴向坐标y＝205～317 mm 范围内（初始型面椭球区中部），母线椭圆率ρ越大的隔膜所对应的切线斜率曲线越低，即任一相同轴向位置的切线斜率k绝对值越大，如图9（c）中的C区域局部曲线所示。越大的切线斜率k绝对值导致ρ越大的隔膜在此区域任一时刻的主动翻转区所需的翻转力矩越大，进而形成越高的翻转压力p曲线（图5 中C区域曲线）。同时，越高的翻转压力p曲线导致翻转过渡区转变为翻转完成区的变化程度较强，进而导致ρ越大的隔膜最终型面中相同轴向位移Δy产生的径向位移Δx较小（图7 中C区域轮廓）。

在隔膜轴向坐标y＝317～324 mm 范围内（初始型面椭球区顶部），不同母线椭圆率ρ的隔膜所对应的切线斜率变化曲线基本重合，即任一相同轴向位置的切线斜率k绝对值相同，如图9（c）中的D区域局部曲线所示。相同的切线斜率k绝对值导致不同ρ的隔膜在此区域内任一时刻的主动翻转区所需的翻转力矩相同，进而形成相同的翻转压力曲线（图5 中D区域曲线）和相同的最终型面（图7 中D区域轮廓）。

随后，对隔膜主动翻转区内待翻转椭球区壳体的塑性失稳压力进行计算。基于式（1）可得其第一主曲率半径和第二主曲率半径分别为式（4）和式（5）［10］：

按线性范围内的薄壳屈曲理论公式［11］，椭球壳塑性失稳临界压力为式（6）：

联合式（4）～（6），分别对6 组不同母线椭圆率ρ的隔膜在翻转压力首次达到最大值prmax时对应的塑性失稳临界压力ppb进行计算，如表3所示。

表3 隔膜椭球区壳体塑性失稳临界压力Table 3 Critical pressure of plastic instability for ellipsoidal shell of diaphragm MPa

从表中可以观察到，母线椭圆率ρ较小的4组隔膜（D-1、D-2、D-3 和D-4），待翻转椭球区壳体的塑性失稳临界压力ppb均高于隔膜翻转最大压力prmax，因此隔膜不会发生径向失稳（图6（a）～（d））；母线椭圆率ρ较大的2 组隔膜（D-5和D-6），待翻转椭球区塑性失稳临界压力ppb均低于隔膜翻转最大压力prmax，因此隔膜发生径向失稳（图6（e）和（f））。此外由于D-6 隔膜的ppb低于prmax的程度较D-5 隔膜更大，进而造成其径向失稳更为明显。

综上所示，母线椭圆率对椭球形隔膜的翻转行为影响显著，应在其设计过程中加以考虑。

4 结论

1）母线椭圆率对椭球形隔膜翻转压力的影响与翻转阶段有关。在隔膜翻转初期和末期，其对翻转压力基本无影响；在翻转前期，其对翻转压力产生负向影响；在翻转后期，其对翻转压力产生正向影响。

2）母线椭圆率的增加对椭球形隔膜在翻转过程中的径向失稳具有一定的负向影响。

3）母线椭圆率对隔膜翻转最终型面的影响与型面位置有关，其中中间位置的影响显著，赤道和下极端位置几乎无影响。母线椭圆率ρ较小的隔膜的翻转最终型面母线约为1／4 椭圆；母线椭圆率ρ较大的隔膜最终型面母线约为1／4 椭圆。

4）当该区域内的椭球区切线斜率k绝对值较小时，该区域的张开夹角β较大，此时驱动其发生翻转所需的弯矩较小，进而形成了较低的翻转压力p曲线；同时较低的翻转压力p曲线导致翻转过渡区转变为翻转完成区的变化程度较弱，进而导致最终型面中相同轴向位移Δy对应的径向位移Δx较大。

5）隔膜主动翻转区内的待翻转椭球区壳体承受外压，并进入塑性阶段，此时该区域壳体的抗径向失稳能力较差。当主动翻转区内的翻转压力pr大于椭球区壳体的临界失稳压力ppb时，待翻转椭球区壳体会发生径向失稳。