■安徽省安庆市洪汪宝名师工作室 洪汪宝

一、试题呈现

双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为离心率为。

(1)求双曲线C的方程。

(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A1、A2,过点(-4,0)的直线与双曲线C的左支交于M、N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上。

本题是2023 年全国新课标Ⅱ卷第21题,主要考查双曲线的几何性质、双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系等几个知识点。(1)小题是常见的方程问题,可以直接利用待定系数法即可求出双曲线的标准方程,大部分同学都可以得分;(2)小题是一道定直线问题,也是本题的难点所在,计算量稍大,还带有一定的技巧性,对同学们的运算求解能力和逻辑推理能力要求较高,体现了基础性、综合性、创新性、应用性的考查要求。

二、解法赏析

1.(1)小题的求解过程

2.(2)小题的解法赏析

解法1:由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),设M(x1,y1),N(x2,y2)。

显然直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my-4,且

(4m2-1)y2-32my+48=0。(*)

于是Δ=64(4m2+3)>0,y1+y2=

解法2:前同解法1得到:

解法3:前同解法1,联立直线MA1与NA2的方程,消去y得到:

又x1=my1-4,y2=my2-4,代入上式整理得

设kNA2=k,则kMA1=-3k。

所以直线NA2:y=k(x-2),直线MA1:y=-3k(x+2)。

联立上述两个方程,消去y得x=-1。

所以点P在定直线x=-1上。

解法6:设直线MN:m(x+2)+ny=1。①

展开整理得y2+16(x+2)-4(x+2)2=0。②

联立①②,得y2+16(x+2)[m(x+2)+ny]-4(x+2)2=0。

展开得y2+16n(x+2)y+(16m-4)·(x+2)2=0。-1。

于是点P在定直线x=-1上。

解法1 与解法2 在求两直线交点的横坐标时,整体消元,得到含y1,y2的非对称式。处理这样的非对称式,解法1 采用直接将根代入;解法2 构造对称式再利用韦达定理整体代入即可约分;解法3 利用2my1y2=3(y1+y2)整体代入,达到约分的目的;解法4 将消元后的式子两边同时平方,并借助双曲线的标准方程将其化为对称式,于是可利用韦达定理求解;解法5采用了定比点差法,避免了使用韦达定理,找到直线MA1与NA2斜率之间的关系是其破解的关键所在;解法6 借助齐次化得到斜率间的关系,注意齐次化技巧的总结,对同学们的灵活分析问题和解决问题的能力要求比较高。

三、试题溯源

已知A、B分别为椭圆E(a>1)的左、右顶点,G为椭圆E的上顶点,。P为直线x=6上的动点,PA与椭圆E的另一交点为C,PB与椭圆E的另一交点为D。

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明:直线CD过定点。

本题是2020 年全国高考数学Ⅰ卷理科第20 题,文科第21 题。将这两题进行对比,不难发现,今年的双曲线试题来源于本题,只不过将椭圆换成了双曲线,将直线过定点改为证明两条直线的交点在定直线上。实际上,这两题都涉及极点与极线。极点与极线问题是近年来高考中的热点和难点,不仅上述两题涉及该问题,在2021年全国高考数学乙卷理科第21 题、2022年全国高考数学乙卷理科第21 题都涉及此问题,在今后的学习中同学们要引起足够的重视。

四、试题推广

将上述问题一般化,从椭圆和双曲线两个方面进行推广,可以得到以下结论,有兴趣的同学可以证明一下。

结论1:设点A,B分别为椭圆的左,右顶点,过x轴上一定点T(t,0)(-a