■江苏省张家港中等专业学校 龚 瑜 韩文美

圆锥曲线中的直线或曲线的定点问题,是圆锥曲线考题的一个重要内容,也是每年高考数学试卷中的一个热点与难点,常考常新,数学运算量大,逻辑推理复杂,难度往往比较高,有比较好的选拔性与区分度,备受命题者关注。

此类定点问题,以动点、动直线等“动”态变化为问题场景,从“动”中寻找“静”的状态,围绕定点加以运动与变化,命题新颖,知识交汇性强,思想方法融合度高,解题思路变化多端,给同学们以更多层次的思维视角与机会,充分考查同学们的数学基础知识与数学基本能力。

1.真题呈现

高考真题:(2023 年高考数学全国乙卷理科第20 题)已知椭圆b>0)的离心率为,点A(-2,0)在椭圆C上。

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点。

分析:这道平面解析几何问题,设问比较常规,虽然说是在极点、极线背景下的问题,却没有落入套路,需要踏踏实实地进行逻辑推理与数学运算。它考查了平面解析几何的基本思想和基本方法,对同学们的逻辑推理与数学运算等方面能力要求很高。

这道题目可以很好地区分学生,选拔性强。特别涉及平面解析几何中的定点问题,作为高考考查的一个热点,有很多好的技巧方法和基本性质等值得探究、推广与拓展。

2.真题破解

所以椭圆C的方程为

(2)方法1(设线法——设而不求)

要使过点(-2,3)的直线交椭圆C于P,Q两点,则直线PQ的斜率存在且小于0。

设直线PQ的方程为y=k(x+2)+3,k<0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)。

则Δ=(16k2+24k)2-4(4k2+9)·(16k2+48k)=-1 728k>0。

而直线AP的方程为

所以线段MN的中点为(0,3),是定点。

解后反思:设线法是解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中最为常用的一种方法,借助直线斜率这一参数的引入,构建相应的直线方程,直线与圆锥曲线方程的联立,消参转化为方程问题,再结合韦达定理确定两交点的坐标之间的关系式,为进一步的分析与求解奠定基础。设线法往往可以达到设而不求的效果,优化数学运算与逻辑推理过程,关键是正确的数学运算与关系式变形。

方法2(设点法——优化过程)

设M(0,m),N(0,n),B(-2,3)。

整理得(m+n)(m-n)=6(m-n)。

由于P,Q两点不重合,即m≠n,所以m+n=6。

所以线段MN的中点为(0,3),是定点。

解后反思:设点法往往也是解决此类直线与圆锥曲线的位置关系问题的一种常用技巧方法,而这里引入直线在y轴上的截距,利用直线的截距式方程,处理问题时简单快捷。设点法要抓住问题的本质,从一些关键点坐标的设置来合理贯穿整个解题过程,使得设点的用处更加合理巧妙,对优化解题过程往往起到至关重要的作用。

方法3(平移法——简化运算)

要使过点(-2,3)的直线交椭圆C于P,Q两点,则直线PQ的斜率存在且小于0。

设直线PQ的方程为y=k(x+2)+3,k<0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)。

则Δ=(24k-36)2-4(4k2+9)×36=-1 728k>0。

所以线段MN的中点为(0,3),是定点。

解后反思:借助设线法的应用,合理进行平移法的平移处理,巧妙将x+2作为一个整体来看待,可以很好地优化解题过程,简化数学运算,这也是处理平面解析几何繁杂运算问题中比较常见的技巧方法与思维方式。平移法对于整体化思维要求比较高,同时要注意整体的选取,以及数学运算过程中的变形与应用。

方法4(方程法——参数同构)

题中直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,可设直线AP的方程为y=k(x+2),k≠0。此时令x=0,可得M(0,2k)。

则Δ=(16k2)2-4(4k2+9)(16k2-36)=1 296>0,

由xA=-2,可得

因此,P点坐标为

又设直线PQ的方程为y=t(x+2)+3,将点P的坐标代入并化简可得12k2-36k+36t+27=0。

设直线AQ的方程为y=m(x+2),m≠0。此时令x=0,可得N(0,2m)。

同理可得12m2-36m+36t+27=0。

那么k与m是方程12x2-36x+36t+27=0的两个根,故k+m=3。

所以2k+2m=6,即线段MN的中点为(0,3),是定点。

解后反思:方程法的解题目标是同构对应的点M,N,利用两者所在直线的斜率之和为定值,巧妙利用直线的设置以及类比思维,转化为两条直线的斜率均满足对应的二次方程,思维巧妙,在竞赛及一些相关的应用中经常用到。方程法的处理可以方便问题的进一步推广与拓展,能起到事半功倍的良好效果。

方法5(特殊点法——先猜后证)

设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN),R(-2,3)。

选取特殊情况,当直线PQ过原点时,PQ的方程为

则线段MN的中点为定点(0,3)。

如果线段MN的中点为定点,那么只能是定点(0,3)。

下面证明:当线段MN的中点为定点(0,3)时,R,P,Q三点共线。

因此kRP=kRQ,则知R,P,Q三点共线。

所以线段MN的中点为(0,3),是定点。

解后反思:特殊点法是逆推思维中通过先猜定点再证明的解题思维来分析与解决问题。这种解题思维在一定程度上比较吻合思维过程,从思路上更加容易一点,先由特殊情况探寻定点的存在性,再加以相应的推理与证明,保证解答的严谨性。当然如果此类问题出现在选择题或填空题中,往往只要确定了相应的定点后,证明就可以不去考虑。

3.推广归纳

通过以上高考真题的解析与应用,可以将问题推广到更为一般性的结果,加以合理地归纳与应用。

该结论的证明与推理过程,可参照以上高考真题的解析过程加以一般性证明,这里不多加以叙述。

4.学习总结

4.1平面解析几何中定点问题的解法归纳

(1)直接法——一般推理,特殊求解。

抓住题设条件,合理引参,主要是通过设点或设线等,通过直线方程与圆锥曲线方程的联立,构建相应的关系式,结合题设条件进行合理的逻辑推理或数学运算,合理消参并结合参数的任意性来确定对应的定点问题,从而确定定点。

(2)逆推法——特殊探路,一般证明。

抓住题设条件,先从特殊情境、特殊位置入手,探寻定点坐标,逆向思维,将定点已知化,结合其他的题设条件加以合理推理与运算。这里“特殊探路”是探寻目标所在,“一般证明”是完备证明过程,这是数学严谨性的根本所在,在解答题中两者缺一不可,在选择题或填空题中可不必去证明。

4.2“动”与“静”结合,“几何”与“代数”融合

圆锥曲线的定值(或定点、定直线等)与最值(或取值范围等)问题,是高考中的基本题型与热点问题之一,其实质充分体现了平面解析几何中“动”与“静”的完美统一,“几何”与“代数”的深度融合,是知识的交汇与融合,很好地考查同学们的“四基”与数学基本能力等,也是备受命题者、与同学们关注的热点与焦点之一,在学习中要多加重视与应用。