【摘 要】2023年高考数学北京卷简洁基础、回归本质、锐意创新，“考查素养、引导教学”是其鲜明特色.文章给出了多道试题的多种解法及部分创新试题的解法，还对高中数学教学及高考复习备考提出了合理化建议.

【关键词】高考；数学；北京卷；回归本质；数学运算；复习备考

1 “考查素养、引导教学”是2023年高考数学北京卷的鲜明特色

我们先以表格的形式展示2023年高考数学北京卷试题中各题的考查情况：

由表1可以看出2023年高考数学北京卷（下简称北京卷）有以下特点：

（1）北京卷全面考查了高中数学六大主干知识（函数、导数与不等式，三角函数与解三角形，平面解析几何，立体几何，统计概率，数列）中的基本概念与基础知识，充分体现了对数学知识考查的基础性和全面性.

（2）北京卷通过多题、多角度出发，从数学学科整体意义和思想价值的高度立意，坚持对数学基本思想方法的考查.

（3）北京卷延续已有的命题理念，守正创新，坚持以素养立意.通过设计现实性和综合性问题，实现对六大数学核心素养的综合考查.针对逻辑推理，北京卷通过宽入口，多思路设计了多道试题进行考查，特别是對逻辑推理及数学运算考查深入，比如第9，10，19，20题.

（4）北京卷坚持“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，坚持“有利于高校选拔人才、有利于高中数学教学、有利于考生展示才华”的命题方向［5］.一是试题的设计紧扣课标［1］和教材，回归课堂、回归学科本质，突出“简洁、基础、本质、创新”的北京卷特色［6］，为中学生“减负”创建良好的教育生态，促进新高考与新课程、新课标和新教材的协调联动；二是试题的设计深入浅出，设问层层递进，形式灵活多元，比如第20题（用导数研究函数的性质）通过三层设问环环相扣，又依次递进，对能力素养要求连续升级，通过“多问把关”“多题把关”，将难度设置在对学生思维层级的考查上，对引导教学起到了积极作用.北京卷试题共21道，其中基础题13道共74分，题量约占62%，分值约占49%；中档题4道共48分，题量约占19%，分值约占32%；较难题4道共28分，题量约占19%，分值约占19%.基础题较多且绝大部分是“不动笔墨、一望而解”的；第20题是用导数研究函数的性质且该问题本质上是不含参数的.笔者认为，这些都是正确的导向：高中数学教学应当回归基础、回归本原.前些年高考压轴题多是求不出来通项公式的递推数列问题，线性规划问题多是含参数的“非线性”规划问题.而后，这两者均得到了纠正：通常不再把求不出来通项公式的递推数列问题作为压轴题，线性规划问题也只考查不含参数的简单线性规划问题.这些都是回归基础、回归本原的体现，并且与“高考选拔”不矛盾.

（5）北京卷试题的一大特色是高质量“数学文化”试题的出现.北京卷突出对数学应用和复杂情境中问题的考查，试题关注生活，关注现实的情景，引导学生运用所学数学知识解决生活和社会中的问题.比如第9题以坡屋顶为背景，考查五面体中的棱长之和问题，引导学生关注劳动，积极参与社会实践，渗透美育与劳育；第14题以战国时期的“环权”为背景，考查数列基本知识，渗透德育教育，厚植爱国情怀，增强民族自信；第18题以农产品的价格作为背景，考查统计学中预测方法应用的全过程，使学生体会数学与现实的结合，能够“真懂会用”，引导学生关注社会民生问题，成为有责任感的公民.

总之，“考查素养、引导教学”是2023年高考数学北京卷的鲜明特色.

2 对部分试题的分析

2.1 一题多解第3，7［7］，16，19题属于一题多解的题目，下面以19题为例作阐述.

3 六条建议

（1）第7题的题干“在△ABC中，若（a+c）（sinA－sinC）=b（sinA－sinB），则∠C=”应改为“在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若（a+c）（sinA－sinC）=b（sinA－sinB），则C=”.

实际上，普通高中教科书《数学·必修·第二册·A版》（人民教育出版社，2019）（下简称《数学·必修·第二册》）第43-61页中有关解三角形的例题、练习题、习题及复习参考题也多有这种不严谨的表述，比如第53页第15题开头的叙述“△ABC的三边分别为a，b，c”应改为第54页第20题开头的叙述“已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c”，否则，前者的结论是错误的.（2）建议把第8题的选项“C.充分必要条件”改为“C.充要条件”.理由是［5］：①普通高中教科书《数学·必修·第一册·A版》（人民教育出版社，2019）第20页写的是“1.4.2 充要条件”，第21页写的是“……我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件”；②数学的表述应当遵循简洁原则，比如数“+3”应当写成数“3”，代数式“－1a”“0a”“1a”应当分别写成“－a”“0”“a”.

（3）第16题中的“四面体P-ABC”应改为“四面体PABC”或改为“三棱锥P-ABC”.

实际上，《数学·必修·第二册》第170页第11题中的“四面体A-BCD”也应这样改动.

（4）第9题与第16题都是对二面角的考查，属于重复考查，建议将其中之一改为对“异面直线所成的角”或“斜线与平面所成的角”的考查.（5）文［10］末对第21题提出了商榷.

（6）较2022年高考数学北京卷［5］，2023年高考数学北京卷中的基础题（比如，第1-8，11，12，16，17题）要简单太多，而部分创新题（比如，第9，10，15，21题）的难度又增加了不少；作为倒数第二题（即第20题）用导数研究函数性质的问题，较去年的同类问题也容易了很多.而这作为高考试题的“保持稳定”及“有效选拔”，还是有些不妥的.

4 对高中数学教学及高考复习备考的建议

关于高中数学教学及高考复习备考，笔者在发表的文献［5，13-16］中已阐述了一些有益的建议，下面再强调六点：

（1）第一轮复习要夯实基础，坚决丢掉“偏、难、怪”.老师的教学（包括解题教学），不可“深一脚浅一脚”，这样会导致“学生很怕数学”.

（2）老师复习备考要让学生感到心里有底，这是高效复习和减轻学生学习负担的重要途径之一及必由之路.

比如，对于试卷第19题，老师要尽可能地引导学生揭示其背景，提升学生的学习兴趣.

（3）注重主干知识、聚焦核心考点、重视高频考点；适当加大运算能力的培养，要知道梨子的味道一定要亲口尝一尝；这道题难不难、会不会做，一定要亲自动笔认真做.

（4）关注北京特色的试题，比如对三道压轴题，平时要有针对性地训练，即使第21题也不可全然放弃，要做到分分必争；多关注新高考劣构题、数学文化试题、全国卷中的多选题等，并尽可能地做到学以致用、欣赏数学，还要尽可能地做到见多识广，并关注三道压轴题的变化，不可“刻舟求剑”.

（5）高中数学教学要永远做好四个关键词：夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高.考生要尽可能地学习数学课本之外的方法、知识，比如数学归纳法、反证法、同一法、合情推理、极限概念、极端化原理、容斥原理、抽屉原理等等.

（5）高中数学教学要永远做好四个关键词：夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高［16］.考生要尽可能地学习数学课本之外的方法、知识，比如数学归纳法、反证法、同一法、合情推理、极限概念、极端化原理、容斥原理、抽屉原理等等.

（6）高中基础年级（高一、高二）的数学教学务必重视基本概念的教学，并且要重视概念的情境引入.老师先匆忙介绍概念再用盲目刷题的“简单粗暴概念教学”可以休矣，因为这样的教学，学生不可能掌握概念的来龙去脉，除了会“套题型”的机械解题之外根本不会“用理解概念来解创新题目”.

通过老师的概念教学，争取使学生达到“真懂、彻悟”的状态；对数学的理论、方法或定理能洞查其直观背景，并看清楚它是如何从具体特例过渡到一般（抽象）形式的，要弄明白整个思路的来龙去脉.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］甘志国.数学文化与高考研究［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2018.

［3］甘志国.鳖臑的形状［J］.数理化解题研究，2020（04）：2-3.

［4］甘志国.2023年高考數学北京卷平面解析几何解答题的多解探究［J］.高中数理化，2023（13）：5-6.

［5］甘志国.立德树人 服务选才 引导教学——赏析2022年高考数学北京卷［J］.中学数学杂志，2022（09）：42-47.

［6］甘志国.“简洁、基础、本质、创新”是高考数学北京卷的鲜明特色［J］.中学数学杂志，2016（07）：45-48.

［7］甘志国.用正弦平方差公式解答一道WMTC竞赛题［J］.数理化学习（高中版），2018（07）：6-7.

［8］甘志国.刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式［J］.新高考·高二数学（必修2），2017（09）：33-36.

［9］《中学数学杂志》编辑部.第一届美国数学邀请赛试题及答案［J］.中学数学杂志，1983（05）：21-22.

［10］甘志国.2023年高考数学北京卷压轴题的详解及推广［J］.中学数学杂志，2023（07）：64-65.

［11］甘志国.两边夹，夹出美丽的答案来［J］.中学生理科应试，2018（5-6）：11-14.

［12］甘超一.再谈“两边夹 夹出美丽的答案来”［J］.数理化解题研究，2021（16）：61-67.

［13］甘志国.教育者也要关注另一个1%——谈数学特困生的成长［J］.中国数学教育（高中），2011（1～2）：16-19.

［14］甘志国.从解题教学谈高效课堂［J］.数学教学通讯（下旬），2018（01）：6-12.

［15］甘志国.别让参考答案禁锢了解题者的思维［J］.数学教学研究，2012（07）：37-42.

［16］甘志国.谈谈高中数学教学的四个关键词：夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高［J］.中学数学杂志，2019（09）：16-21.

作者简介 甘志国（1971—），男，笔名甘喆，湖北竹溪人，研究生学历；民进会员，中国数学会会员，中国初等数学研究会常务理事，正高级教师、特级教师、湖北名师、政府专项津贴专家；对高考数学试题及重点高校强基计划数学试题研究较深，钻研教法与学法，提倡并关注学生运算能力的培养，总结提出并践行“懂、会、熟、巧、通”五步解题学习法，“思、探、练、变、提”五步解题教学法，“知、懂、熟、用、赏”五种解题境界及高中数学教学的四个关键词“夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高”，倡导教师要做明师——明白的教师;出版著作多部，发表文章多篇.

基金项目 北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（FT2017GD003）.