■崔永红，徐小良

一、数学课程思政的内涵解析

（一）问题的提出

思政课程是思想教育的主干、关键课程，非思政课程要发挥协同育人的作用，与思政课程同频共振。但不少人认为“思政、德育与数学教学关联度不大”，因为数学课程中的逻辑推理、数学运算、数学抽象与数学建模等主要活动似乎与人的道德、品行等没有直接关联，数学课程的思政、德育功能似乎不如人文类课程德育功能明显。其实，这是对数学课程的错误认识，数学课程的特征决定了数学课程有其独特的思政内容[1]。

（二）数学的育人价值

数学源于对现实世界的抽象，因此数学具有“内容的抽象性、逻辑的严谨性、应用的广泛性”等特征。其中，逻辑的严谨性是数学最本质特征，严谨性表现在做出任何结论都必须有理有据，来不得半点虚假，因此数学的严谨性有助于学生养成“实事求是、一丝不苟、严谨求实、以理服人、诚实守信”的品格；数学的逻辑推理规范有助于学生养成“重证据、讲规则”的行为习惯；数学抽象有助于学生透过现象看到问题的本质，形成勇于探索的科学精神与批判质疑的品格；数学运算是数学精确性的基本保证，有助于学生养成精益求精、一丝不苟的工匠精神； 数据分析有助于学生形成坚持原则、求真务实的职业素养；数学建模需要选择恰当的模型，有助于培养学生勇于探索、勇于创新的品格；直观想象不是凭空想象，而是要合理、大胆想象，借助直观想象，探究解决问题的方法，有助于培养学生的创新精神；数学文化能够启智增慧，体会数学家的科学精神，特别是中国古代数学成就有助于提高学生的民族自豪感，增强责任担当意识等[2]。

（三）数学课程思政的内涵

数学课程重在培养学生对数学学习的兴趣、信心、毅力，重在培养诚实守信、责任担当、创新意识以及欣赏数学的美学价值；重在培养学生吃苦耐劳的意志品质、遵规守纪的法制意识、实事求是的理性精神。初步具备工匠精神、敬业精神、爱国精神、科学精神、创新精神，养成良好的道德品质和职业道德，形成正确的价值观、人生观、世界观，这些正是数学课程思政的内涵所在。

二、课程思政融入数学教学的方法

数学课程思政是数学教学的必选项，不是可选项。必须让“课程+思政”，但“课程思政≠课程+鸡汤”，需要在融入方法上加强研究，数学课程思政应侧重于隐性教育，注重顺其自然、潜移默化、润物无声。数学课程思政不是以牺牲数学知识教学为代价，课程思政不在于多与少，要克服“贴标签、硬融入、两张皮、表层化、形式化”等现象。数学教学中有机融入课程思政是有效实施数学课程思政的关键[3]。

（一）画龙点睛，渗透价值引领

画龙点睛式课程思政，画龙是指知识的学习，点睛是指在学习数学知识的同时，对其蕴含的思政元素进行直接和简洁的阐明，顺势而为、不失时机进行价值引领。

例如，在学习圆的方程时，用古希腊数学家、哲学家芝诺的名言引入：“如果用小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一点，但两圆之外的空白都是我们的无知面。圆越大其圆周接触的无知面就越多。”教师引导：随着科学技术的发展，知识呈爆炸性增长，作为青年学生，我们要努力学习，立志成为有理想、有本领、有担当的时代新人，为实现中华民族伟大复兴贡献自己的力量！

教学中，教师用名言警句语重心长地进行价值引领：“做‘三有’时代新人，为中华崛起而读书！”名言警句一般比较精炼，蕴含丰富的哲理，给人以启发，为此在平时的教学中，有意识地花10 到20 秒送给同学们一句与数学、与教学内容相关的名言警句，必要时加以点评，虽然用时不多，但传递了正能量，有助于提升学生的人文素养，对引导学生树立正确的价值观具有重要意义。

又如，定积分的概念蕴含着丰富的思政元素，包括量变到质变等辩证唯物主义观点，化整为零、以直代曲、积零为整、无限逼近等思想，定积分蕴含的思想，也是生活的缩影，渗透着“做一件事，就像做定积分一样，要持之以恒、点滴积累，方能取得成功”的价值观。正面的事多做“积分”，负面的事多做“微分”！勿以恶小而为之，勿以善小而不为！千里之行，始于足下！通过“点睛”，帮助学生用辩证的眼光看待事物，用辩证思维分析和解决问题的习惯，形成正确的世界观，掌握科学的方法论。

（二）专题嵌入，强化价值认同

专题嵌入课程思政就是教师不打破原来的教学结构，精心将思政的某个专题有机嵌入数学教学内容中，在加深学生对课程内容的理解的同时强化学生的价值认同。在数学教学中，可以聚焦国家重点战略需求，引导学生关注社会热点，培育精益求精的工匠精神，培育爱国爱党的家国情怀，激发责任担当意识，增强学生的职业素养，树立科技兴国的远大抱负[4]。

案例1 函数单调性教学

（1）创设情境

1978 年底，中国共产党召开了具有转折意义的十一届三中全会，吹响了改革开放的号角。至今，改革开放40 多年来，中国成功走完西方发达国家几百年才完成的工业化道路，经济持续增长，综合国力位于世界前列，人民生活走向全面小康。2022 年2 月，国家统计局在我国国民经济和社会发展统计公报中，给出了2017—2021 年国内生产总值及其增长速度，如图1 所示（来源于国家统计局网站）。

图1

（2）提出问题

从这张图中你能获得哪些信息？

生1：2017 到2021 年国内生产总值每年都在增长。

生2：尽管受新冠疫情影响，2020 年仍实现了正增长。

生3：2020 年首次突破百万亿大关，达101.6 万亿元，比上年增长2.3%。

师：（补充）2020 年，中国是全球唯一实现经济正增长的主要经济体。按年平均汇率折算，2020 年我国经济总量占世界经济的比重预计超过17%。经济恢复走在世界前列，走出了一条令世界惊叹的V型曲线，成为推动全球经济复苏的主要力量。

师：如果年份为x，产量为y，你能用自然语言描述x 与y 之间的变化关系吗？

生：随x 增大，y 也在增大……

在本案例中，一是让学生从变化中直观感知随着时间的变化函数值的上升，体会增函数的含义，二是进入新时代，中国经济高质量发展，这些数据具有重要的教育意义，让学生了解我国综合国力的增强，是中国共产党正确领导的结果，是中国人民勤劳勇敢、不畏艰辛、诚实劳动的结果，增强同学们爱国爱党的家国情怀，增强政治认同，内化于心，外化于行。

（三）隐性渗透，培育科学态度

隐性渗透课程思政就是在数学学习中，一是用数学的严谨性、逻辑性培养学生实事求是的科学精神、理性精神，培养学生正直、诚实为人的品格；二是用教师严谨求实的敬业精神、高尚的人格道德，潜移默化地影响学生、感召学生，达到润物无声的育人效果。

1.潜移默化式

数学教学是在抽象、推理、运算与建模等活动过程中进行的，在这个过程中，培养学生思维的严谨性，让学生形成注重证据、坚守规则、依照逻辑的理性思维习惯。迁移到人和事物上，应使人们形成对社会公德、秩序、法律等内在的约束力。

案例2 f（x）=log3x+2，x∈[1，9]则函数[f（x）]2+f（x2）的最大值是_______。

A.13 B.16 C.18 D.22

错解：y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x+2）2+log3x2+2

=（log3x+2）2+6log3x+6

令t=log3x，则t∈[0，2]

则y=（t+3）2-3，t∈[0，2]

所以，当t=2 时，即x=9 时，ymax=22

分析：学生原以为这样的解法无懈可击，可结果却是错误的。在不平衡的心理状态下，反复审视上述解法，才知由于目标函数中[f（x）]2、f（x2），必须有意义，即x 应满足1≤x≤9 且1≤x2≤9，即0≤t≤1，故当t=1 时，即x=3 时，ymax=13。

学生在进行计算的过程中，常常会忽略相关的条件，导致错误，教师有的放矢地编一些颇具迷惑性的题目，布设“陷阱”，让他们落入“陷阱”，造成适度的矛盾，调动学生的思维，再引导学生在“自查自纠”中认真审题，深入挖掘、仔细推敲条件和解题过程，不失为培养学生思维的严谨性、深刻性的有效途径，当学生在解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待灵感的到来，学会了当灵感到来后的全力以赴。如果在学校里有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方成功了（波利亚）。这些成功的经历能够培养学生的科学态度、科学精神、科学方法、科学探究能力和逻辑思维能力，促使学生树立勇于创新、求真求实的思想品质。

2.言传身教式

教师的一言一行，都是课程思政的载体，教师自身深厚的理论功底、严谨的教学风格，尊重学生、理解学生、关爱学生的优良品格，耐心细致的工作作风，高尚的人格魅力，都在潜移默化地影响、滋养着学生，进而得到学生的认同，学生“亲其师”，才能“信其道”，教师才能真正发挥言传身教的作用。教师良好的行为示范对净化学生心灵、感化学生心灵、陶冶学生情操、启迪学生思想，培养学生严谨、认真、理性的科学精神具有重要的作用。

（四）动手实践，培养工匠精神

动手实践式课程思政是指创设有效活动，让学生做中学、做中悟、做中用，体验知识的生成过程，也可以让学生用数学方法解决生产生活中的问题，在知识生成、应用过程中，培养学生严谨认真、实事求是的科学态度和一丝不苟的工匠精神。

案例3 用数学模型解决生活问题

（1）问题情境

近年来，国家出台了相关法律法规，严查酒后驾驶机动车行为。某市发生一起交通事故，在事故发生3 小时后, 测得司机血液中酒精含量为30mg/100ml，又过两个小时后,测得其酒精含量为12mg/100ml。假设人饮酒后，血液中的酒精含量的变化率与该时刻酒精含量成正比，那么事故发生时司机血液中的酒精含量是多少?

（2）合作探究

根据题意，可以建立怎样的数学模型？ 如何求解这个模型？

（3）问题解决

第一步，建立模型

设该司机时刻t 血液中酒精的浓度为y=f（t），则时间[t，t+Δt]内，酒精浓度的改变量f（t+Δt）－f（t），变化率

其中k 是小于0 的常数，表示血液中酒精浓度随时间的推移递减。

长期以来，学校的中心工作都集中在教学和科研上。忽视了高层次人才的思想政治工作，基层党组织在做高层次人才工作时，重心集中在如何服务好高层次人才，在生活环境、硬件设施、办公环境等方面，认为只要他们能够进行教学和科学研究，申请大项目，写出质量高的学术论文，最终为基层单位拉成绩、拉绩效，思想政治毕竟是虚的、看不见的，无关紧要，甚至对存在“问题”的个别高层次人才睁一只眼闭一只眼，久而久之不能妥善处理好高层次人才的教研与思想政治工作的关系[6]，因此导致了一些高层次人才具有较强的业务能力，但思想政治素质并不好，甚至出现了严重的违反师德师风的案例。

其中f（0）=y0为事故发生时（时刻t=0）司机体内的酒精含量。

第二步，模型求解

再由y0e3×（-0.458）＝30 得y0＝118.5＞80。

因此，发生事故时，司机血液中酒精含量约为118.5mg/100ml。

（4）问题拓展

①酒后驾车或醉酒驾车酒精含量标准，国家法律是怎么规定的？

③问题情境1 中的司机将会面临怎样的处罚？

④请你就行车安全提出几点建议。

（5）总结归纳

每100ml 血液中，酒精含量达到20mg-79mg，属于酒后开车；酒精含量达到80mg 及以上，属于醉酒驾车。饮酒或醉酒驾驶将面临的处罚主要有：

①因饮酒后驾驶机动车被处罚，暂扣6 个月驾驶证并处1000 元以上2000 元以下罚款。再次饮酒后驾驶机动车的，处10 日以下拘留，并处1000 元以上2000 元以下罚款，吊销机动车驾驶证。

②醉酒驾驶机动车，不管情节是否恶劣，是否造成后果，都将按照“危险驾驶”定罪，处以拘役，并处罚金。

③醉酒驾驶机动车的，由公安机关交通管理部门约束至酒醒，吊销机动车驾驶证，依法追究刑事责任；五年内不得重新取得机动车驾驶证。

④酒后或醉酒驾驶，发生重大交通事故，构成犯罪的，依法追究刑事责任。吊销驾驶证，终生不得重新取得驾驶证。

问题情境1 中的司机属于醉酒驾驶并发生交通事故，将会被依法按照“危险驾驶”定罪，并视交通事故情节追究刑事责任。

本案例中，用数学方法解决生活问题，学以致用，体会数学学习的价值，增强了学生的法律意识，有效地培养学生实事求是的数学理性精神、严谨的科学精神。“喝酒不开车，开车不喝酒”应成为每个驾驶者的基本素养，做任何事件不能抱着侥幸心理，必须脚踏实地，诚实守信，做一名遵纪守法的好公民，否则，数学知识的力量将让违法行为原形毕露，并使之接受法律的制裁。

（五）文化浸润，增强爱国情怀

英国科学史家丹皮尔说：“再没有什么故事能比科学发展的故事更有魅力了。”数学是人类文化的重要组成部分，数学的每一次重大发现，往往伴随着科学认识论的突破和新思想新方法的产生，其中蕴含了大量的与数学相关的人文活动。我们可以通过下列方式将数学人文价值与数学科学价值相融合，一是可以让学生通过上网等方式查阅有关数学史料，二是可以让学生通过写数学史学习报告、数学文化论文、数学专题讲座等，并进行交流，共享学习成果，三是可以进行数学文化演讲、数学史竞赛，通过课内课外形式多样的数学文化主题活动承载课程思政，以文育人，让学生体会数学家勇于探索的科学精神，增强学生的家国情怀，培养学生的研究能力和创新意识，弘扬正能量，提升学生的品德修养。

案例4 函数概念的发展历程

在函数概念的发展历程中，形成了大量的人文资源，但由于函数的人文资源不是数学的核心内容，如果在课堂教学中过多地融合函数发展史，必然占用大量的课堂教学时间，冲淡函数概念这一教学主题。为此，教师可以利用课余时间举办数学文化主题活动。

（1）活动目的：学生围绕“函数”这一主题，通过自主活动，了解函数的发展史与应用，体会数学家勇于探索、坚持不懈、敢于创新、严谨求实的科学精神，激励学生为实现中华民族伟大复兴而勤奋学习。

（2）活动任务：撰写函数概念的发展历程文献综述。

（3）活动内容：明确函数的发展历程和广泛应用价值。

（4）团队组建：组建小组并明确分工。

（5）选定主题：教师与各组学生共同确定本组选题。

可选主题主要有：①函数概念产生和发展的实际背景；②术语“function”和“函数”的使用及含义；③数学家莱布尼茨、约翰和欧拉对于函数的最初认识；④数学家狄利克雷给出的函数定义及狄利克雷函数；⑤现代函数概念。⑥李善兰、莱布尼茨、约翰、欧拉、狄利克雷等数学家的个人成长经历和对数学发展做出的卓越贡献，等等。

（6）收集资料：各组学生搜集资料，教师提供指导与协助。

（7）整理素材：各组汇总搜集到的资料，归类素材，教师提供指导。

（8）撰写综述：以小组为单位撰写综述，组内交流、补充、修改、完善。教师围绕“标题、提要或者前言、正文、参考文献”四个部分，指导学生撰写文献综述。

（9）交流总结：利用集中时间，每组介绍本组的文献综述，并交流阅读文献内容的心得与体会。

（10）活动要求：以小组为单位，组内合作，组间互助，两周内完成任务。

通过数学文化主题活动，体验感悟数学家严谨求实的理性精神、不畏艰辛的奉献精神、追求真理的科学精神。通过活动，促进学生自主阅读文献，合作交流学习成果，体验文献综述的写作过程和方法，在完成任务的过程中，树立团队意识，增强集体观念和主人翁责任感，组内交流、组间介绍文献综述，相互取长补短，增长知识和见识；在交流心得体会的过程，汲取营养和正能量，提升个人品德修养，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。

（六）练习测试，融入课程思政

在数学教学中，练习与测试必不可少，是数学教学的“标准配置”，我们要充分利用练习与测试，渗透课程思政。练习与测试的过程是学生完成一个具体的且有思维含量的学习任务的过程，或是做一个完整且有挑战性任务的过程，应适当减少单纯考查知识的现象，为此在研制习题、试题的过程中不妨让我们的练习与测试也有课程思政的味道。一是在题干中融入党史知识，二是在题干中植入新时代元素，三是在题干中融入国情史教育，四是在题干中植入中华优秀传统文化，五是在题干中植入生态文明教育，六是在题干中植入社会主义核心价值观教育，等等。

这种练习与测试可以让学生在阅读题意的过程中潜移默化地接受思政教育，测试不仅可以更深入全面有效地考查学生的认知、探究、做事能力，而且可以考查学生在应对陌生、复杂情境时所表现出来的态度、立场与价值，有效发挥习题的价值引领作用。

案例5 在习题或试卷中渗透课程思政

（1）在题干中融入党史知识

在学习了圆的标准方程后，用中国共产党党徽中的圆弧来设置习题： 如图2 是中国共产党党徽，图案由镰刀和锤头组成，中国共产党党徽是中国共产党的象征和标志。锤头是工人的劳动工具，象征着工人阶级；镰刀是农民的劳动工具，象征着农民阶级。在中国共产党的领导下，经过中国人民百年奋斗，中华民族实现了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃！ 你能根据图3 设计的图纸，写出党徽中圆弧所在的圆K、圆R、圆M 及圆X 的方程吗？

图2

本案例中，用党徽创设习题情境，党徽的图形设计中包含了许多圆的要素，既巩固了所学知识，又巧妙地融入了数学课程思政，潜移默化地增强学生爱党爱国感情，也感受到数学的应用价值及数学美。学生兴趣盎然，学得轻松，印象深刻！

（2）在题干中植入新时代元素

2023 年5 月30 日，我国神舟十六号载人飞船顺利升空并与中国空间站对接，我国载人航天事业又迈出了可喜的一步。按照神舟飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，神舟飞船返回舱的温度为21℃±4℃，该返回舱的温度控制范围用绝对值不等式可表示为（）

A.|x-21|≤4 B.|x-4|≤21

C.|x-21|≥4 D.|x-4|≥21

（3）在题干中融入国情史教育

我国是水资源短缺非常严重的国家，节水是根本出路，我们每个人都应做到科学用水、自觉节水，珍惜水资源，养成节约水资源和保护水资源的良好风尚。为增强市民的节水意识，某市制订了每户每月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：

水费种类用水量不超过10m3 部分 用水量超过10m3 部分用水费（元/m3）24污水处理费（元/m3）0.300.80

①某户本月用水12m3，该户需交水费多少元？

②试写出每户用水量x 与应交水费y 之间的函数解析式。

③若某户本月应交水费71 元，则该户本月用水量x 是多少m3？

（4）在题干中植入中华优秀传统文化

中华文化博大精深，源远流长。“做”“好”“事”这三个字无论以何种顺序排列在一起，都有其具体的含义，那么，这三个字组成“做好事”的概率是______。

（5）在题干中植入生态文明教育

为增强学生绿色环保意识，某学校组织了一次活动，要求全校50 个班级统计一周内班级使用塑料袋的数量，现从中随机抽取5 个班级使用塑料袋的数量：41，53，60，62，69，若一学期按20 周计算，试估算全校一学期大约要使用多少个塑料袋。

（6）在题干中植入社会主义核心价值观教育

为加强爱国主义教育，某单位计划组织员工到上海参观中共一大会址，人数估计在10 到25 人，甲、乙两个旅行社报价均为每人200 元，且服务质量相同，甲旅行社表示可给予每位参观员工75 折优惠，乙旅行社表示先免一位参观员工的费用，其他参观员工按8 折优惠。

①写出甲旅行社所需收费y1（元）与参观人数x（人）之间的关系式。

②写出乙旅行社所需收费y2（元）与参观人数x（人）之间的关系式。

③该单位选择哪一家旅行社支付的费用较少？

三、结语

课程思政理念下的数学教学，思政像盐，知识像水，盐溶于水，看似无形却无处不在。要达到这样的效果，一是需要教师对数学知识改良，使之更易接受，而且需要将知识改造得更有“营养”价值，更富有“思想”内涵，二是在教学方式上切忌空谈大道理和单向的“满堂灌”，让学生在活动中亲历知识的生成过程，体验感悟其中蕴含的价值观念，严谨求实的科学精神，一丝不苟的工匠精神，守规范、讲道理的理性精神，三是在数学练习与测试中，适度植入课程思政，既巩固了知识、训练了思维、培养了能力，更塑造了价值。

总之，我们要将数学教学与课程思政相融相通，充分发挥数学课程的协同育人功能，让学生通过数学学习逐步形成正确的价值观念、必备品格和关键能力。