不依赖剩余飞行时间的数据驱动攻击时间控制导引律

2023-09-07黄嘉常思江陈琦张海洋

兵工学报 2023年8期

黄嘉, 常思江*, 陈琦, 张海洋

(1.南京理工大学能源与动力工程学院, 江苏南京 210094;2.中国兵器工业导航与控制技术研究所, 北京 100089)

0 引言

现代战争的特点之一是高技术武器装备的直接对抗。随着先进反导防御系统的发展,单枚导弹突破反导系统命中目标的可能性大大降低。若能使多枚导弹同时攻击目标,将有利于提高导弹的战场生存率,并对目标产生实质性威胁,这就需要发展能够控制导弹攻击时间的导引律[1]。

由于比例导引法的有效性、易实现性及能量最优性等特点,基于比例导引法设计导弹攻击时间控制导引律,成为学术界的研究热点之一。如文献[1]根据剩余的期望攻击时间和估计的剩余飞行时间之差设计偏置项来实现攻击时间的控制;文献[2]通过数值求解剩余飞行时间,提出了一种三维攻击时间控制导引律;文献[3]基于精确的剩余飞行时间估计,提出了一种两阶段攻击时间导引律;文献[4]利用比例导引原理,设计了一种非线性时变制导增益的攻击时间控制导引律;文献[5]基于比例导引法和非线性模型,提出了一种前馈控制方法来调节攻击时间。

除了通过改进比例导引法来实现攻击时间控制外,文献[6]将攻击时间误差作为跟踪误差,采用最优误差动力学方法设计了攻击时间控制导引律;文献[7-8]通过设计基于攻击时间误差的滑模面,分别提出无奇点的攻击时间控制导引律。

上述文献设计的攻击时间控制导引律有一个共同特点,即都依赖于剩余飞行时间信息的输入。现有文献对剩余飞行时间的估计,一般都是基于小角度假设,这使得导引律的有效实施受到限制,且导引精度易受到剩余飞行时间估计精度的影响。因此,近年来人们针对无需剩余飞行时间的攻击时间控制导引律,开展了较多研究[9-17]。如文献[9]通过将距离构造成关于时间的4次多项式避免了对剩余飞行时间的估计;文献[10]在文献[9]的基础上,通过数学归纳法将这一思想推广到任意阶多项式;文献[11]通过构造线性变化的前置角,设计出两阶段攻击时间控制导引律;文献[12]提出一种基于时间多项式的前置角轮廓跟踪技术,实现了攻击时间控制;文献[13]设计了一个带时变制导增益的比例导引法来控制攻击时间;文献[14]在文献[12]的基础上,提出了一种基于制导增益更新的自适应导引方案。此外,滑模理论的应用也日趋广泛。如文献[15]通过设计关于前置角误差的滑模切换面,提出了一个攻击时间控制导引律;文献[16]构造了关于前置角跟踪误差的滑模切换面,设计出一种无奇点的攻击时间控制导引律;文献[17]则基于终端滑模理论,通过跟踪一个时变的视线角剖面,实现了攻击时间控制。

综上所述,虽然比例导引法有其优势,但应用于攻击时间控制导引律时,却依赖剩余飞行时间信息的输入,而上述不依赖剩余飞行时间的攻击时间控制导引律[9-17],主要是通过将弹目距离构造成关于时间的多项式、构造理想前置角轮廓、改变制导增益等方法来设计,未能利用比例导引法的原理性优点。因此,如何降低甚至消除比例导引法对剩余飞行时间估计的依赖性,是提高现有攻击时间控制导引律工程适用性的关键技术之一。文献[18]基于非线性公式提出一种非奇异攻击时间控制导引律,通过推导一种新的比例导引附加加速度指令,有效降低了导引律对剩余飞行时间估计的依赖性。为进一步消除此种依赖性,本文拟将目前应用广泛的数据驱动方法与比例导引法相结合,提出新的设计思路。

数据驱动是一种利用模型数据逼近待求函数的方法,它通过对模型输入和输出数据的分析,寻找模型变量之间的关系来代替复杂的解析关系式,从而简化对模型的求解。目前,数据驱动在制导控制领域的应用也日益增多。如文献[19]针对攻击时间控制问题,利用数据驱动方法求解攻击时间误差,在比例导引法基础上通过设计偏置项来控制飞行时间;文献[20]基于比例导引法,提出了一种基于数据驱动方法的攻击角度控制导引律;文献[21]利用数据驱动方法,通过将观测交战状态映射到导引指令,成功实现制导精度、能量消耗和拦截时间之间的平衡;文献[22-23]基于深度Q-学习网络,针对高超声速飞行器分别提出了满足飞行时间约束的再入制导律;文献[24]基于深度学习,提出一种针对故障条件下的预测校正容错制导算法;文献[25]设计了一种深度神经网络来学习飞行状态与距离之间的映射关系,据此提出一种实时弹道修正、多约束预测-校正的算法。

基于上述分析,本文在比例导引法框架下,设计出一种两阶段攻击时间控制导引律。第1阶段充分利用比例导引法的原理性优势,先通过数据驱动技术解决导弹理想弹道倾角的实时获取问题,再通过设计导引指令实现理想弹道倾角跟踪;在此基础上,第2阶段直接采用比例导引法实现导弹的攻击时间控制,全程无需剩余飞行时间信息。值得说明的是,上述设计原理亦可方便地推广应用至攻击角度控制导引律设计。

1 导弹-目标运动关系模型

假设导弹和目标均为质点,考虑图1所示的二维平面内导弹攻击固定目标的运动几何关系,并建立导弹攻击固定目标的运动学方程。

图1 导弹与目标运动关系

如图1所示,R为导弹与目标之间的距离,vm为导弹速度,大小恒定,θ为弹目视线角,γ为导弹弹道倾角,φ为导弹速度矢量前置角(后文简称前置角),am为导弹的加速度,其方向垂直于导弹速度方向,θf为终端攻击角度。

弹目运动学方程为

(1)

(2)

(3)

φ=γ-θ

(4)

为使导弹在满足脱靶量指标的同时满足攻击时间要求,导弹在命中目标时,需满足以下约束方程:

R(tf)=0

(5)

tf=td

(6)

式中:tf表示导弹命中目标时的真实时间;td表示期望的攻击时间。

2 关于攻击时间的理论分析

2.1 攻击时间的影响因素分析

在二维情形下,纯比例导引法的导引指令为

(7)

式中:N为制导增益,一般取N=3。

将式(7)代入式(2)～式(4),有

(8)

将式(1)除以式(8),得到

(9)

从式(9)中解出弹目距离R,为

(10)

式中:R0为初始弹目距离;φ0为初始前置角。

将式(10)代入式(8),得到纯比例导引法下前置角与时间的微分关系,为

(11)

式中:t为时间变量。

对式(11)积分,可以得到纯比例导引法框架下攻击时间与初始条件的关系:

(12)

在纯比例导引法下,当导弹的初始条件确定时,导弹命中目标需要的时间也是确定的。由式(12)可知,对于初始时刻,当初始弹目距离R0确定的情况下,不同初始前置角会引起攻击时间的变化;对于给定的期望攻击时间td,存在理想的初始前置角φd0,使得以下方程成立:

(13)

进一步,对于纯比例导引法下的任意飞行状态,此时的飞行时刻、弹目距离分别为ts、Rs,对于给定的期望攻击时间td,存在这一状态下的理想前置角φds,使得导弹以这一条件飞行能够满足攻击时间要求,即

(14)

故在导弹命中目标前,若导弹前置角在某时刻飞行状态下等于此状态下的理想前置角,则此时以纯比例导引法进行导引,导弹能够在期望的攻击时间命中目标。

2.2 攻击时间边界分析

对于纯比例导引法,由式(12)可知,导弹的攻击时间和初始前置角有关。在满足φ∈[0 rad,π rad)的条件下,式(11)表明前置角在飞行过程中单调减小。因此,初始前置角越大,导弹所需的飞行时间越长。在比例导引法下,导弹最短飞行时长对应着初始前置角为0 rad,而当初始前置角趋近于 π rad 时,导弹有最长的飞行时长。

当φ0=0 rad时,由式(2)～式(4)及式(7)可知,前置角在整个飞行过程都为0 rad,加速度也为 0 m/s2,导弹的最短飞行时长tmin可表示为

(15)

当φ0→π rad时,由式(2)～式(4)及式(7)可知,前置角在整个飞行过程都不会发生变化,导弹离目标越来越远,此时的攻击时长将趋于无穷,则导弹的最长飞行时长tmax可表示为

(16)

综上所述,在任意飞行状态下,理想前置角的范围为φds∈[0 rad,π rad),因此,对于所设计的攻击时间控制导引律,其攻击时间控制范围也是确定的,即

(17)

3 攻击时间控制导引律

3.1 导引律的设计思路

本文将攻击时间控制导引律分为2个阶段:第1阶段为攻击时间控制阶段,在该阶段,导引指令将控制导弹前置角收敛至理想前置角;第2阶段为纯比例导引阶段,由第2.1节分析可知,实现第1阶段就能够实现攻击时间控制。因此,如何使前置角收敛至理想前置角是实现攻击时间控制的关键。

由式(4)可知,前置角是弹道倾角与视线角之间的差值,即前置角的变化与弹道倾角、视线角的变化有关。而式(3)表明,导引指令直接影响弹道倾角的变化,因此,考虑通过控制弹道倾角来实现前置角的收敛。对于理想前置角,其与当前视线角θs之和为理想弹道倾角γds:

γds=φds+θs

(18)

由于实际弹道倾角为γs,因此,在第1阶段控制实际弹道倾角收敛至理想弹道倾角,便能使实际前置角也收敛至理想前置角。

3.2 理想弹道倾角的获取

要使实际弹道倾角收敛至理想弹道倾角,首先需要知道任意时刻的理想弹道倾角,而理想弹道倾角等于比例导引法在该时刻满足攻击时间条件的弹道倾角。对于比例导引法,弹道倾角与飞行状态变量(R,θ)共同影响飞行时间,则飞行时间与飞行状态变量、弹道倾角存在映射关系Ft:

tf=Ft(R,θ,γ)

(19)

若弹道倾角为理想弹道倾角,则满足期望攻击时间要求

td=Ft(R,θ,γd)

(20)

由式(20)可知,理想弹道倾角与期望攻击时间也存在隐含的映射关系Fγ:

γd=Fγ(R,θ,td)

(21)

对于式(21)的映射关系Fγ,直接求解较为困难,本文采用数据驱动的方法求解。首先,对R、θ、γ三个变量在各自范围内取值并组合成仿真初始条件数据库,在该数据库的每个初始条件下采用N=3的纯比例导引法仿真计算飞行时间;其次,由数据库的每个初始条件和对应的飞行时间构建训练数据集S1(R,θ,t)和S2(γ),其中S1为输入数据集,S2为输出数据集;最后,利用S1、S2训练反向传播(BP)神经网络得到理想弹道倾角与飞行状态(R,θ,t)之间的映射网络:

γ=Nett(R,θ,t)

(22)

式中:Nett表示攻击时间控制条件下的弹道倾角映射网络。

式(22)映射网络与式(21)映射关系是等效的,因此,对于任意时刻ts,剩余的期望攻击时间为td-ts,对应此时刻的理想弹道倾角γds可由式(23)计算得到:

γds=Nett(Rs,θs,td-ts)

(23)

3.3 导引指令设计

在获得理想弹道倾角后,其与当前时刻的实际弹道倾角存在误差Δγ,即

Δγ=γds-γs

(24)

为使弹道倾角误差收敛到0 rad,需要控制实际弹道倾角朝着理想弹道倾角的方向变化。由式(3)可知,导引指令为弹道倾角变化率与速度的乘积,因此,考虑将弹道倾角误差变化率的相反数作为弹道倾角变化率,则有

(25)

若弹道倾角误差Δγ变化太快,导引指令产生的过载有可能超过导弹许可范围;反之,变化太慢则不能在期望时间内收敛到0 rad。在导引过程中,初始时刻的弹道倾角误差最大,随着导引指令的作用,弹道倾角误差逐渐减小并收敛到0 rad。为此,考虑将弹道倾角误差变化率沿某一曲线变化。经反复研究发现,选取弹道倾角误差变化率沿二次函数曲线缓慢变化较为合适,其满足的表达式为

(26)

式中:k为大于0的实数。

下面将证明,弹道倾角误差变化率沿该曲线变化,弹道倾角误差能够在期望的攻击时间内收敛到零。

由于弹道倾角误差是时变的,将其定义为

(27)

式中:f(t)为弹道倾角误差随时间变化的函数;Δγ0是初始时刻的弹道倾角误差。

弹道倾角误差与弹道倾角误差变化率存在以下关系:

(28)

求解式(28),有

(29)

由式(29)可求出td时刻的弹道倾角误差:

(30)

由于td>R0/vm,Δγ0<π rad,因此

(31)

由式(31)可知,当k的取值大于31vm/R0时,f(td)<1×10-5≈0,由此可见,当k取值合适时,弹道倾角误差能够在有限时间内收敛到0 rad。

因此,导引指令am可表示为

(32)

注意,当第1阶段转为第2阶段时,攻击时间控制导引指令与纯比例导引指令之间可能存在突变,为了使导引指令转换时更加平滑,对上述导引指令进行改进,可得

(33)

进一步,当弹道倾角误差收敛到0 rad时,导弹转为纯比例导引。综上,本文设计的攻击时间控制导引指令为

(34)

式中:ε为一个较小的正实数(如可取ε=0.01)。

4 推广至攻击角度控制导引律设计

上述攻击时间控制导引律的设计思路,完全也可推广至攻击角度控制导引律设计,其核心是将攻击时间约束条件下的映射网络替换为攻击角度约束条件下的理想弹道倾角映射网络。

为使导弹在满足脱靶量指标的同时满足攻击角度要求,导弹在命中目标时,除了满足式(5),还应满足:

θf=θd

(35)

式中:θd为期望的攻击角度。

在纯比例导引法下,影响末端攻击角度的变量仍为(R,θ,γ),终端攻击角度与飞行状态变量的映射关系Gθ可表示为

θf=Gθ(R,θ,γ)

(36)

在满足期望攻击角度要求时,有

θd=Gθ(R,θ,γd)

(37)

相应地,理想弹道倾角与期望攻击角度存在如下映射关系Gγ:

γd=Gγ(R,θ,θd)

(38)

对于式(38)的映射关系Gγ,同样采用训练BP神经网络进行求解,其中训练神经网络的数据仍由N=3的比例导引法仿真得到。在纯比例导引法下,对(R,θ,γ)3个变量在各自范围内分别取值计算末端攻击角度θf,由此构建数据集S1(R,θ,θf)和S2(γ),利用S1、S2训练BP神经网络得到理想弹道倾角与飞行状态(R,θ,θf)之间的映射网络,记为

γ=Netθ(R,θ,θf)

(39)

Netθ表示攻击角度控制条件下的弹道倾角映射网络。

对于任意时刻ts,期望的攻击角度都为θd,则理想弹道倾角γds为

γds=Netθ(Rs,θs,θd)

(40)

对于攻击角度控制的导引指令,其设计思想也与攻击时间控制导引指令相同,所不同的是攻击角度控制没有要求特定的攻击时间。由式(28)可知,f(t)在t∈[0,4td]内单调递减,为保证导弹弹道倾角误差在其飞行阶段处于减少的状态,将td设置为50,则二次函数曲线式(26)可表示为

(41)

相应地,攻击角度控制导引指令可表示为

(42)

对于式(42)中的参数k,其取值越大,弹道倾角误差收敛越快,产生的加速度也更大;相反,k取值太小,则弹道倾角误差在短时间内不能收敛到 0 rad。由于导弹的最短飞行时间为R0/vm,因此,k值应满足弹道倾角误差在实际飞行时间接近最短飞行时间时也能收敛到0,即k值应满足f(R0/vm)<1×10-5。

5 仿真及结果分析

为验证所设计的导引律,本节将在不同期望攻击时间条件下进行仿真分析,并将本文导引律与文献[10]进行对比。文献[10]与本文使用相同的弹目运动模型,所设计的攻击时间控制导引律也不依赖于剩余飞行时间。此外,在不同期望攻击角度下,对攻击角度控制导引律也进行了仿真。

本节的仿真条件设置为:目标处于静止状态,导弹速度恒定为250 m/s,导弹初始坐标为(0 m,0 m),目标坐标为(10 000 m,0 m),式(34)和式(42)中的参数取值为N=3、ε=0.01。对于参数k,第3.3节证明了当k的取值大于31vm/R0时,实际弹道倾角能够在期望攻击时间内收敛至理想弹道倾角,当实际弹道倾角等于理想弹道倾角时,导弹即能满足期望的攻击时间要求,攻击时间控制阶段便转为纯比例导引阶段。此外,参数k的大小可以控制弹道倾角的收敛速度,k值越大,弹道倾角收敛至理想弹道倾角的速度越快,攻击时间控制阶段所需的时间越少。这里取k值等于1,平衡了弹道倾角收敛速度与导引指令的大小。

5.1 映射网络的建立

对于攻击时间控制或攻击角度控制下理想弹道倾角映射网络的建立,在运用纯比例导引法仿真构建训练数据集时,所用弹目运动模型与第1节相同,导弹速度也作为常数。若导弹速度为其他数值时,只需针对该速度构建相应的训练数据集,便可训练出相应的映射网络。

对于攻击时间控制,首先建立理想弹道倾角的映射网络,该映射网络建立方式如下:飞行状态变量的取值范围为R∈[0 m,10 000 m]、θ∈[-π rad,π rad]、γ∈[-π rad,π rad],三维飞行状态变量在各区间内取值组合构成139 775组初始仿真条件,利用比例导引法在每组初始条件下进行仿真,由仿真结果建立包含139 775个数值的数据集S1(R,θ,t)和S2(γ),利用该数据集训练BP神经网络得到理想弹道倾角与飞行时间的映射网络Nett(R,θ,t)。

对于攻击角度控制,理想弹道倾角的映射网络建立方式如下:在R∈[0 m,10 000 m]、θ∈[-π rad,π rad]、γ∈[-π rad,π rad]的各区间内取值组合构成405 000组初始仿真条件,利用比例导引法在每组初始条件下进行仿真,由仿真结果建立包含405 000个数值的数据集S1(R,θ,θf)和S2(γ),利用该数据集训练BP神经网络得到理想弹道倾角与攻击角度的映射网络Netθ(R,θ,θf)。

上述两个映射网络的结构与训练方式都采用如下方案:该BP神经网络采用图2网络结构,包含输入层、隐藏层和输出层3层,其中,输入层包含3个神经元,隐藏层包含25个神经元,输出层为1个神经元;该网络的目标函数为均方误差函数,并采用Levenberg-Marquardt反向传播算法进行训练;训练前,将数据集中的数据全部作归一化处理,其中70%用于训练,15%用于验证,15%用于测试,最大训练次数为1 000次,图3为训练过程中的验证误差变化曲线图。

图2 神经网络结构图

图3 训练过程中的误差变化

图3(a)和图3(b)分别展示了Nett(R,θ,t)和Netθ(R,θ,θf)两个网络的验证误差随训练次数的变化过程。如图3所示:两个网络在训练结束后,其验证误差都非常小,Nett(R,θ,t)网络共训练了1 000次,最小验证误差为8.64×10-5;Netθ(R,θ,θf)共训练了893次,最小验证误差为1.27×10-6。由于本文训练数据集中的数据样本点是通过纯比例导引法仿真得到的,这些样本数据是准确的,且由误差结果分析可知这两个神经网络模型训练的效果都比较理想,因此,对应飞行状态下利用Nett(R,θ,t)和Netθ(R,θ,θf)获取到的理想弹道倾角也是准确的。

5.2 对于不同期望攻击时间的仿真

设置初始前置角φ0=30°,选取期望攻击时间分别为45 s、50 s、55 s和60 s这4种情形,对本文所设计的攻击时间控制导引律进行仿真,仿真结果如图4所示。图4(a)可以看出导弹沿不同轨迹命中目标,且期望攻击时间越长,导弹的飞行轨迹越弯曲;图4(b)中的弹目距离在期望的攻击时间收敛到0 m;图4(c)展示了实际弹道倾角和理想弹道倾角的变化过程,弹道倾角重合点为实际弹道倾角收敛至理想弹道倾角,其时间分别为29.301 s、32.653 s、35.683 s和39.916 s,由此可见,实际弹道倾角都能在攻击时间范围内收敛至理想弹道倾角,从而实现了攻击时间控制;图4(d)为指令加速度变化曲线,本文所提导引律在4种不同攻击时间条件下,产生的加速度都比较小,最大加速度绝对值小于25 m/s2,这对于实际工程应用是非常有利的。

图4 不同期望攻击时间仿真结果

为进一步考察导引过程中飞行状态变量误差对攻击时间控制的影响,图5针对攻击时间为65 s的情形,在攻击时间控制阶段,每隔100 ms,采用均匀分布地随机抽样原则,对弹目距离施加10～100 m范围内的误差,同时对弹道倾角施加0～5°范围内的误差。由图5可知,当弹目距离和弹道倾角存在误差时,导弹依然可以沿轨迹准确命中目标,且对导引指令的影响不大。

图5 飞行状态变量存在误差的仿真结果

表1所示为各期望攻击时间条件下导弹命中目标时的攻击时间误差。由表1中数据可知,在各期望攻击时间条件下,导弹都能以较高的精度实现攻击时间控制,且飞行状态变量误差对攻击时间控制精度的影响较小,表明所设计导引律具有较好的鲁棒性。

表1 不同期望攻击时间对应的攻击时间误差

5.3 对比仿真分析

为进一步验证本文所设计导引律的优势,下面与文献[10]在期望攻击时间为65 s、初始前置角φ0=15°,45°的条件下进行仿真,结果如图6和表2所示。表2所列为导弹命中目标时的性能数据。其中,总控制能量J根据式(43)计算:

表2 本文导引律和文献[10]导引律的性能对比

图6 与文献[10]对比仿真结果

(43)

如图6所示,虽然导弹在两种攻击时间控制导引律作用下都能沿各自轨迹命中目标,但文献[10]导引律在初始时刻的加速度相对较大,特别是在初始前置角为15°的条件下,文献[10]导引律产生的加速度超过98 m/s2,出现过载饱和现象,这对导弹中末段制导的平滑交接过程是极为不利的,而本文所设计的导引律需用过载较小,留有较大的控制裕量,从而可很好地保证较高的时间控制精度。

表2给出了两种导引律的性能数据,由表2可知,在不同初始条件下,本文导引律对于攻击时间的控制精度都要比文献[10]高,且本文导引律对应的加速度极值的绝对值比文献[10]小很多。由于本文的训练数据集是基于能量最优导引律(N=3的纯比例导引律)获得的,在消耗的总控制能量方面,本文所提导引律对应的总控制能量也较少,在初始前置角为15°时,本文导引律的总控制能量比文献[10]少近30%;初始前置角为45°时,本文导引律的总控制能量比文献[10]少约5%。这在一定程度上也体现出本文导引律的优势。

5.4 协同攻击仿真

本小节验证了所设计攻击时间控制导引律应用于协同攻击问题时的性能。假设期望攻击时间都为60 s,3枚导弹以相同的速度、不同的初始条件参与协同制导。图7所示为仿真结果,图7(a)展示了导弹从不同位置沿各自弹道轨迹命中目标;图7(b)的加速度变化显示3枚导弹的加速度都较小且变化较为平缓。表3为各枚导弹的仿真参数及结果。

表3 协同攻击的仿真参数及结果

图7 协同攻击仿真结果

表3给出了协同攻击的仿真参数及仿真结果,如表所示,3枚导弹的初始位置和初始前置角都不相同,但是都能在规定的时间命中目标,且命中目标时的攻击时间误差都较小,表明其在不同发射条件下都能有较好的应用。

5.5 对于不同期望攻击角度的仿真

为验证第4节中设计的攻击角度控制导引律,考虑在初始前置角为30°的条件下,选取期望攻击角度分别为-60°、-30°、0°、30°、60°进行仿真,结果如图8所示。

图8 不同期望攻击角度仿真结果

图8(a)展示了导弹沿不同轨迹以期望的攻击角度命中目标;图8(b)展示了弹目距离随时间变化过程;图8(c)中的视线角在各条件下都能收敛到期望的攻击角度;图8(d)所示为不同条件下的加速度仿真结果,图中加速度的整体变化处于比较小的范围内,且较为平滑。上述结果表明,将本文所提设计思路应用于攻击角度控制导引律的设计,也是可行、有效的。