上海第二工业大学数理与统计学院 高美娜 刘晓梅 张宣昊

本课程根据“知识传授、能力培养、价值引领”的总体要求，进一步深化课程改革和创新力度，坚持以“立德树人”为根本任务，深入挖掘课程中蕴含的思政元素，从案例型教学出发，以实际问题为切入点，以数学建模思维为抓手，以知识迁移为目的，结合课程思政元素，构建一套“润物细无声”的课程思政教学体系。

一、课程思政设计体系

（一）教学目标

围绕“应用技术型大学”办学定位，结合本校学情和专业培养目标，设置了概率统计课程的知识目标、能力目标、价值目标，这三个目标相辅相成，根据知识目标，围绕知识的应用载体，深入挖掘课程思政元素，达成能力目标、价值目标，形成同向同行、协同效应，最终达到立德树人的总目标。

（二）课程思政体系

大学正是学生世界观、人生观、价值观形成的重要时期，但当今大学生缺乏合作精神、抗挫折能力弱、好高骛远、创新意识不足等，亟须教师给予指导。现行课程思政体系下的教学应充分延拓课程的数学内涵，让学生体会概率统计思维，还应凸显育人目标，培养学生形成正确的人生观和价值观，实现课程工具理性和价值理性的统一。因此结合本课程的知识特点、目标要求，提出了以“创新精神、工匠精神、社会主义核心价值观、四个自信、辩证唯物主义观”为抓手，以知识的“导入、内容、运用”为载体，以“实用性、实时性、推广性”为准则，全方位“润物细无声”地创设课程思政体系，从而实现课程内容与专业内容的同向同行，显性教育和隐性教育相统一，形成协同效应，构建全方位育人大框架。

二、课程思政实施案例

（一）以真、善、美为核心，助推社会主义核心价值观

以“社会主义核心价值观”为主的课程思政案例多以寓言、谚语引入，通过这类案例的分析，弘扬良好的做人美德，如诚信、向善、持之以恒，勿以善小而不为，勿以恶小而为之等。下面以《狼来了》的故事为例，说明此类型课程思政案例“建模—迁移”式模式如何构建。

Q：为什么村民第一、第二次上山打狼，而第三次不再上山打狼？

M：利用所学贝叶斯概率刻画在小孩说谎后村民们对其可信度的变化。

假设：（1）村民们看成一个整体；（2）根据村民们以往经验，认为可信的小孩说谎的概率为0.1，不可信的小孩说谎的概率为0.6。即A={小孩可信}，B=｛小孩说谎｝，则=0.6；（3）村民们愿意上山打狼时，对小孩可信度要求的临界值为0.5；（4）村民们对此小孩的初始可信度为0.9。

第一次喊“狼来了”，村民们对此小孩可信度的估计：P( A ) =0.9＞0.5，所以上山打狼。但结果是小孩说谎了，村民们对此小孩可信度的估计调整为：

村民对他的可信度下降了。

第二次喊“狼来了”，依据上述可信度P( A修正1) =P(A B) =0.6＞0.5，所以继续上山打狼。但结果是小孩再次说谎了，村民对此小孩可信度的估计：

村民对他的可信度又下降了。

第三次喊“狼来了”，依据上述可信度P( A修正2) =0.2＜0.5，所以村民没有上山打狼。但不幸的是，这次是狼真的来了，小孩后悔莫及。

E：通过贝叶斯公式不断对小孩的可信度进行修正，所获得的贝叶斯概率是基于已知信息（结果）对先验概率的修正，是决策时经常采用的一种方法。此案例强化了贝叶斯公式、全概率公式的理解和应用，并说明了诚信的重要性，教育学生做人做事都要讲诚信，正如古人所说“人无信，则不立”。

A：如果村民们最初对此小孩的可信度比较低，村民们上山打狼的次数会很少，当降至0.5以下时，小孩第一次喊“狼来了”，村民们也不会上山打狼，所以平时建立诚信非常重要。

反之，如果你是村民，通过观察到的结果会不断修正对小孩的信任度。现实生活中，大学生经常遇到电话诈骗等，当遇到时，可以通过问问题的方式逐渐修正对诈骗人员的判定，从而提高反诈能力。

T：在日常生活中，投资决策、天气预报的修正等经常会利用贝叶斯概率。

（二）以敬业、创新、精益、专注为核心，弘扬工匠精神

Q：2017年12月，央视《国家宝藏》节目播出了瓷器之最——“瓷母”，这是一尊乾隆年间烧制的釉彩大瓶，在故宫文华殿的瓷器馆内展出。瓷母，得此名号并不因为它是中国瓷器审美的巅峰，也不是因为它的器物形状超凡脱俗，而是因为它集各种高温、低温釉彩于一身，烧制工艺极其复杂。光釉彩，从宋到清就有十七种不同的高温釉、低温釉、仿汝釉、仿哥釉等，每一种釉彩烧制的温度都不相同，每种釉彩烧制成功的温度区间差也很小，有的只有几十度，稍有不慎就毁于一旦。因此，所有的工匠都对乾隆皇帝说烧制成功太难了！

Q：为什么所有人都说这种瓷瓶烧制成功太难了？经过工匠们不懈的努力，最后烧制成功了。

M：利用伯努利概型计算这尊“瓷母”烧制成功的概率。

假设：（1）烧制每一种釉彩成功的概率是均等的；（2）各种釉彩成功与否之间没有关系；（3）设Ai={第i种釉彩烧制成功}，P( Ai) =0.7。

此问题可以看作n重伯努利概型，则“瓷母”烧制成功的概率为：

其概率非常低。通常称概率小于0.05的事件为小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生。所以所有人都说“瓷母”烧制太难了。

但“瓷母”经过工匠们一次又一次的试验，终于烧制成功了，同样可以用伯努利概型来解释。

假设每次“瓷母”烧制成功的概率均等，每次烧制成功与否没有关系，则烧制m次中至少能成功一次的概率为：

如果至少以99%的概率才能发生上述事件，则：

可得：

说明经过上千次试验，工匠们以99%的概率一定会烧制成功“瓷母”。

E：“瓷母”烧制成功概率的计算加深了对伯努利概型的理解，强调了此模型应用的假设条件，同时也解释了小概率事件。“瓷母”集各种釉彩烧造技艺于一身，稍不留神，就会毁于一旦，“瓷母”的诞生绝非易事，用巧夺天工、鬼斧神工来形容都不为过。瓷母的成功充分体现了工匠们精细、专注的“工匠精神”。

A：如果每种釉彩烧制成功的概率变低，烧制“瓷母”成功的概率就会变得更低了，可能需要上万次的试验才可能烧制成功一尊“瓷母”，充分体现了“瓷母”的来之不易，体现了工匠们锲而不舍的精神；反之，只有将各种釉彩烧制成功的概率提高，才能降低试验次数。也就是说，只有每一种釉彩都做到精益求精，才能提升整体的水平，这也充分说明了团队的重要性。

T：课下学生们可以利用伯努利概型讨论“有百分之一的希望，就要做百分之百的努力”，彩票中奖率、原子弹发明过程的艰辛、航天卫星发射的艰辛、诺奖获得者屠呦呦提炼青蒿素的试验次数，“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”等。

（三）以团队合作为核心，增强四个意识

Q：“皮匠”实际上是“裨将”的谐音，在古代指副将。为什么三个副将的智慧合起来能顶诸葛亮的智慧呢？

M：假设三个副将解决同一个问题的能力是一致的，设P( Ai) =p（p≠0），诸葛亮解决问题的概率为P( B) =q。

假设三个副将解决此问题是独立的，则三人中至少有一人能解决此问题的概率为：

E：三个副将解决问题的概率即为和事件的概率，在独立性的前提下，此概率转化为积事件的概率，巩固了和事件概率的求法。如果将这三个副将看成一个整体，他们之间相互讨论相互启发，势必使得解决问题的概率增加，更加说明“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，也说明了人多力量大，互助合作、团队的重要性。

A：假设三个副将与诸葛亮的差别为δ，即q=p+δ，图1横坐标为诸葛亮解决问题的概率，纵坐标为三个副将解决问题的概率1-（1-p）3。对角线代表上述两个概率相等。从图1中可以看出，从趋势来看，当δ＞0.4时，差异性太大，三个副将顶不上诸葛亮。古语中“三”是“多”的含义，n个副将解决问题的概率为1-（1-p）n，随着n增大，概率也增大，即limn→∞1-（1-p）n[] =1，故多个臭皮匠一定可以顶个诸葛亮。当δ=0时，曲线（五角形）表示了多个人解决问题的能力要强于一个人，即。差异很大的情况下，则需要整个团队一起解决问题。这也就是说，我们需要不断培养高精尖人才，树立团队意识与合作精神，团队的力量大于个人，合作精神是成功的必要条件。

图1 三个臭皮匠和诸葛亮解决问题的概率

T：课下学生们讨论如下关于独立性应用的问题，串并联电路的稳定性、水桶原理、摆烂问题等。

（四）以对立统一等为核心，加强唯物主义教育

Q：投掷硬币试验，记录了“硬币正面朝上”的次数，请分析下列数据，能否找到规律？

表1 投掷硬币试验

M：从数据中可以看出，随着投掷次数增多，正面朝上的次数增多，可采用正面朝上的频率刻画这组数据。

表2 投掷硬币试验指标

E：从上述试验结果可以看出，当试验次数增加时，硬币正面朝上的频率逐渐稳定在数值0.5附近，而且随着试验次数的增加而越来越小。频率的这种性质称为“频率的稳定性”，同时也说明概率客观存在，进而引出概率的统计学定义。通过这个试验，体现了科学家的探索精神；还说明了频率是试验值，具有偶然性，可能取多个不同的数值，概率是客观存在的，具有必然性，是唯一值。当试验次数较少时，频率与概率偏差大，体现偶然性；当试验次数较多时，频率稳定在概率附近，体现必然性，反映了唯物主义辩证法中偶然性与必然性的统一。

A：可计算出反面朝上的频率，通过这个例证获得概率的有限可加性、对偶性。

T：概率的定义比较简单，课上可以就手机中天气预报下雨的概率进行解读。

三、结语

通过“建模—迁移”式课程思政案例教学的融入调动了学生学习积极性，培养了学生解决实际问题的能力，倡导积极正确的人生观、价值观和世界观，提高学习效果，对其他数学类公共基础课程以及理科类专业课程的课程思政建设起到一定的借鉴作用和较强的推广价值。