邢成云　李秀珍

【摘 要】大单元教学顺应新课标的定位。本文立足基于课程整合的整体化教学课题研究，从对三角形大单元的认识，三角形内容在现行人教版教材中的分布，统合后的三角形大单元结构图，三角形大单元教学设计的外在结构（m个“1+n”）等四个方面对三角形大单元教学进行阐释，尤其是基于对m个“1+n”的解读，从大概念的确定、厘定大单元内容及学习路径、大单元教学整体规划等三个视角，统筹教学布局，指向学科育人，促进数学核心素养的发展。

【关键词】三角形；大概念；大单元教学

新课标明确提出了大单元教学，但在现实课堂中，一线教师对大单元的认识以及大单元教学的具体实践等仍颇感困惑，如何让大单元教学真正落地成为关键问题。笔者带领的教育部名师领航团队作为“整体统摄·快慢相谐：初中数学整体化教学”（获国家教学成果二等奖）的推广群体，对大单元整体化教学有较深入的研究，本文就以三角形大单元为例，探索大单元教学的有效路径，为一线教师更好地落实新课标理念提供参考与借鉴。

一、对三角形大单元的认识

要认识三角形大单元，首先应界定清楚大单元的概念。关于大单元，学界至今没有统一的界定，但大都认同崔允漷教授的说法，即大单元是指向素养的、相对独立的、体现完整教学过程的课程细胞。大单元之“大”，表现在以大概念为统领，整合课程目标、内容、实施和评价，使之成为一个完整的学习事件［1］。通过不断学习，笔者研究团队达成如下共识：大单元不同于传统的教材单元，而是课程意义上的单元，是基于学生终身学习、持续发展的需求，通过大概念引领，把一章或几章内具有内在关联的知识和问题进行结构整合优化后的，具有相对独立性、综合性的重构单元。也就是说，大单元之大，不是单纯“量”的意义上的大，而是整体性、系统性、生长性课程思维的形象化表现。大单元具有大概念统领、结构化关联、大局观统筹的大格局、大学习观的典型特征。

三角形作为最简单的封闭图形，既顺承前面学过的线段、角、平行线及相交线，又为后续四边形等图形的学习提供思路、方法的支持。显而易见，三角形处于前衔后联的核心地位，其重要性正如项武义所言：“三角形是仅次于线段和直线的基本几何图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现。三角形之所以成为古希腊几何学所研究的主角，其原因也就是：三角形既简单而又能充分反映空间的本质。”［2］张景中等则指出：“欧几里得给我们的基本解题工具，主要是全等三角形和相似三角形。”［3］这都足以说明掌握好三角形知识意味着理解了几何图形的大部分基本性质。同时，三角形的知识是研究其他几何图形不可或缺的基础，它的研究路径、过程和方法可以迁移到四边形等较复杂图形的研究中，具有统领性、一贯性，所以三角形的学习对整个几何系统的学习具有举足轻重的作用。

三角形在初中学段若作为大单元呈现，自然囊括了三角形的基本内容、特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）、全等三角形和相似三角形、解直角三角形等内容，因此要依据对大单元的认识，立足三角形的核心素养功能，把这些内容重构为结构化的课程组织。单元大小其实是相对的，不可一概而论，对于数学而言，一个章可以看作一个中单元，几个关联密切的章可以重构成一个大单元，或者突出一个主题，将相关内容结合在一起，形成一个大单元。

二、三角形内容在现行人教版教材中的分布

为了更好地把握三角形大单元，更好地厘清学习脉络，更好地发挥这一大单元的教学作用，彰显其前构性和统领性的价值，现通过线型分布图的形式展现三角形内容在现行人教版教材中的分布（图1）。

从现行人教版教材来看，三角形内容的各个章节安排在了八年级和九年级，如此安排是依据学生年龄段的思维特点，顺应了学生的认知规律，把思维能力发展的主线嵌入其中。但这些知识毕竟以章的形式分散在两个学年内，有一定的时段相隔且衔接不紧密，因此为了凝聚三角形知识所承载的发展学生核心素养之力，就需要把它们重新组合起来，形成一个统合的、统筹思考的课程组织，即三角形大单元。利用大单元发挥好“大”的统摄作用，形成全景式的整体认知和对几何本质的深度理解，进而落实好用数學的思维表达世界的课程理念。

三、统合后的三角形大单元结构图

读懂教材（包括读懂章前语、章头图等），是基于大概念进行大单元教学设计的前提。教师应多角度、高站位地解读教材中的教学内容，统合各版本教材和各种资源，厘清教材中数学知识的结构和方法的脉络，解构并重构教材，确定好大单元统摄下的教学内容，在大单元统摄下调节好中单元知识的内在秩序，形成内在结构，聚合成育人的力量，有效发展学生的数学核心素养。

基于以上认识，利用“三镜”思维透视三角形大单元：用“放大镜”看，三角形的研究路径与角的研究路径具有一致性（同构），形成类比性大结构（如图2）；用“显微镜”看三角形的边、角、线等各个元素及其关联，特殊三角形的基于边、角、线的特征，形成局部网络结构；用“望远镜”看三角形的生长发展，从三角形之间的关系（全等变换、相似变换）以及从质性到量化（解三角形）进阶的角度，形成统领性结构（如图3）。如此三角形大单元的路径就清晰了。

四、三角形大单元教学设计的外在结构：m个“1+n”

大单元教学设计是指以大主题或大任务为中心，对学习内容进行分析、整合、重组和开发，形成具有明确的主题（或专题、话题、大问题）、目标、任务、情境、活动、评价等要素的结构化的具有多种课型的统筹规划和科学设计。笔者认为章起始课教学是落实大单元教学的抓手，而大单元教学又是落实学生核心素养的抓手，如此一来，发展学生核心素养就和章起始课教学密切关联在一起，学生数学核心素养的落地就有了可操作、能行动的路径。为避免“单元—课时”两张皮的现象，课节的教学要通过单元大概念和课时大概念的关联形成一体化。大单元教学设计是对大单元整体构想的多元复合，不可能一蹴而就，它需要后继的一个个小单元、一节节课去递次进阶完成。

基于课程统整的大单元，是在“大单元大概念—单元大概念—课时大概念”的执行链条上，通过外在的结构形式，即m个“1+n”来实现的。“m”是指三角形大单元可分解成逻辑连贯、前后一致的m个章单元，而每一个章单元是通过“单元（呈现）—课时（表达）”设计来展开的；“1”即为章单元起始课，通过起始课把单元以终为始进行整体布局、先行组织、统筹安排；依大单元的总体目标（课标设定）确定好单元目标，在单元目标之下，根据上下位关联等一脉贯通关系，把单元的内容进行合理划分形成“n”。这里的n不是简单的课节叠加，即形如“n=1+1+1+…+1”的简单化累计，而是每一个“1”之间是前衔后联、一脉相承的链式发展，是共同服务于章单元的系列化、系统化的课程细胞。需要说明的是，这是一个完整的立体推进的一体化系统，相互依托，相辅相成，共同指向（大）单元目标，体现出单元的整体性、完整性、连贯性。

（一）大概念的确定

三角形大单元教学的有效实施需要确定好三角形的大概念，通过大概念去统领大单元。大单元是基于大概念、服务大概念的，围绕学科大概念进行教学设计成为变革学科教学实践和引领教学改革的核心理念之一［4］。

何为大概念？大概念是指能反映学科本质，能够联结和统领零散知识点，处于更高层次、居于中心地位、藏于更深层次，能长久保留和广泛迁移的原理、思想、方法等［5］。大概念是摆脱了知识立意桎梏走向素养立意的中间介质，是实现知识学习与核心素养发展有效对接的应然选择。几何学的本质是研究空间的图形，研究图形的性质以及图形之间的关系［6］。这是几何学的课程大观念，也就是大概念。三角形是初中学段平面几何的核心内容，根据几何学课程大概念的上位统摄，依据几何的研究对象——图形的形状、大小和位置，对于三角形大单元，笔者从系统思维出发，站在课程统合的高度，从思想层面和素养层面两个维度确立其大概念。

1.思想层面

用变换的观点［（几何）模型思想、图形变换思想］看待几何图形，使静态的几何图形灵动起来。即立足几何直观，利用几何思维，在公理化思想等一般观念的统领下，遵循几何研究的“一般套路”展开研究，形成具有迁移性的几何知识系统，指向几何抽象与逻辑推理，这是一以贯之的大概念。

2.素养层面

三角形大单元集中体现了数学抽象、几何直观、逻辑推理、数学模型等数学核心素养。三角形是整个初中几何系统的核心地带，因而凝聚了几何图形内容蕴含的核心素养。因此，只有把三角形的小（中）单元汇聚起来，统筹安排、集体发力，聚焦以上数学核心素养，才便于形成学生的必备品格和关键能力。从素养层面确立大概念，使单课节走向单元化，形成单元呈现与课时表达的高通路，实现单元与课时之间的强联结，实现知识之间的意义联结，才能更好地把发展学生核心素养落地。

（二）厘定大单元内容及学习路径

笔者将三角形大单元的内容及学习路径设计为“三角形→全等三角形→特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）→相似三角形→解三角形”。这条学习链基本能立体展现几何图形学习的三条路径：一般到特殊，一个到两个（多个），质性到量化。

（三）大单元教学整体规划

（1）基于以上整体定位与综合分析，依据对应的课标内容和人教版教材内容，对三角形单元的顶层设计与统筹规划如表1所示。

（2）从研究一个三角形升级为研究两个三角形（关系）。在这一单元的章起始课中，需要依据几何图形的研究对象（形状、大小）把两个或多个三角形的关系揭示出来，以呈现研究问题的整体性，识得两个三角形关系的全貌（全等关系、相似关系、等积关系等），构建起两个图形关系的结构图，然后从最特殊、最重要的图形关系——全等三角形入手研究。通过章起始课先把这一单元的整体概貌描绘出来，接着后续的课节先整体建构全等三角形的判定方法，然后跟进练习提升课，践行好“有全等模型找出来，无全等模型造出来”的思维路径，加强几何直观与逻辑推理的教学，并渗透平移、翻折、旋转等全等变换思想，用变换的观点看图形、识图形、找联系。

（3）有了前两章的研究基础，就可以对特殊三角形进行探索了。首先是在边这一元素上特殊的等腰三角形单元，课时设计如下。

这一单元依附于轴对称，通过章起始课（第1课时）规划好研究线路，在唤醒学生小学形成的基本认识的基础上，从理性的角度再次认识轴对称（图形）（含性质与判定），并勾勒出这一单元的概貌，厘清学习的脉络，接着就在章起始课的规划下依次研究基本的轴对称图形。

界定好了轴对称图形后，接着就是研究具体的轴对称图形，从最简单的轴对称图形（即线段）开始。既然是轴对称图形，那它的对称轴在哪里？一条线段将端点重合进行对折，折痕即为对称轴，如此一来对称轴在折叠的操作中露出水面。这条线段具备哪些特质？这是研究的又一重点和关键点。教师可以引导学生根据已有经验发现并证明。研究完一个命题后，还需要研究它的逆命题，即通过反证研究获得线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。此为等腰三角形单元的第2课时。

接著的第3课时要研究哪种图形呢？学生自然想到角，然后仿照线段垂直平分线的思路进行研究，获取角的对称轴。

接下来的第4、第5课时就应该到封闭图形了，最简单的封闭图形即为三角形，于是提出问题：所有三角形都是轴对称图形吗？若不是，哪些三角形是轴对称图形？由此引出等腰三角形、等边三角形，并依次研究（各1个课时，等腰三角形相当于节起始，要教好这个节的“结构”，而等边三角形则是用“结构”，即用等腰三角形研究的基本路径，如此形成自洽）。继续思考，再向前研究自然是四边形（n边形）了，在此埋下伏笔，说明在后面单独确立单元进行研究。整个过程由简到繁，除了获得基本轴对称图形的性质及判定外，还给学生进一步了解全等三角形的性质与判定的机会。在这个过程中，几何直观、模型思想、逻辑推理等核心素养获得进一步的发展。

（4）完成了在边这一元素上特殊的等腰三角形的学习，接下来就是在角元素上特殊的直角三角形的学习。鉴于直角三角形研究工具的暂时不足，教学可分两个单元先后展开：一是基于三边关系的勾股定理的学习，二是脱胎于相似三角形的三角函数的学习。紧跟等腰三角形学习的是勾股定理，这一单元的核心知识就是勾股定理及其逆定理，通过对“直角三角形两锐角互余”及“两锐角互余的三角形是直角三角形”的研究学习，全景展现勾股定理及其逆定理的学习架构，形成单元起始课的概貌。然后在章起始课基础上深度探究勾股定理逆定理，进而跟进对定理、逆定理的演练，加固学生对两个基本定理的理解并深化应用，使这一对定理成为解决三角形问题的利器（工具）。

（5）几经学习，整体化学习的链条发展到了相似三角形，至此学生已经学习过图形的全等、全等三角形等相关知识，也研究了几种图形的全等变换。全等是图形间的一种相互依存关系，而相似比全等更具有一般性，研究相似图形是研究全等图形的延续和深化。由全等进入相似，可使认识扩大到新的领域，所以本单元的研究内容即为在已学习的图形全等和全等变换知识的基础上进行拓展。基于此，在类比全等三角形的基础上展开对三角形相似的判定与性质的学习，这是初中学段的难点所在，自然也是整个三角形大单元的难点，因此也是培养学生逻辑思维的良好契机。具体教学时，通过章起始课让学生直观感受相似形（一般化）的特点，体会研究相似形的必要性与价值，类比全等的知识结构，建构整个单元的知识结构和研究框架，对本单元内容形成一个全景认识。

本单元把三角形大概念推至一个新的高度，可谓之几何图形本质性认识以及几何意义上定性研究的升华。通过本单元学习，学生能体会特殊到一般、具体到抽象、数形结合等数学思想方法，再次经历研究几何图形的过程，进一步感知研究几何图形及其关系的一般思路——“定义—判定—性质—应用”，体会几何知识内在的联系与发展。本单元把抽象概括、几何直观与逻辑推理等贯通整个教学过程，力图实现数学核心素养在课堂中切实落地。

（6）最后即为锐角三角函数。锐角三角函数是对直角三角形研究的进一步完善。通过对直角三角形构成元素关系的分类，学生不难发现元素间的空缺。为打通其各元素之间的关系，自然会引动空缺填补，从而实现直角三角形的角、边、边角三个维度研究的延伸与完善，为解直角三角形提供了工具，进一步深化学生对全等三角形的认识。本单元是直角三角形的终端，也是整个三角形大单元的终端，故本单元既要融通直角三角形，又要终结三角形，是一个大收口，同时也实现了几何的质性研究到量化研究的转变，为高中学段的学习蓄势蓄能。因此在章起始课中要通过师生互动生成渐成性板书，将前后关联结构图呈现出来，如图4［8］。

以大单元教学为纲开展教学，能够整合单元内容，打通单元脉络，理顺单元逻辑，相对于教材中的自然单元教学，更具结构性、序列性和完整性，更有利于知识的内化迁移和网状建构。如此的大单元教学，能实现从课节到单元、大单元的层级进阶，为发展数学核心素养和为数学学科德化育人提供借鉴。

参考文献：

［1］崔允漷.如何开展指向学科核心素养的大单元设计［J］.北京教育（普教版），2019（2）：11-15.

［2］项武义.基础几何学［M］.北京：人民教育出版社，2004：8.

［3］张景中，曹培生.从数学教育到教育数学：典藏版［M］．北京：中国少年儿童出版社，2011：12.

［4］哈伦.以大概念理念进行科学教育［M］.韦钰，译.北京：科学普及出版社，2016：3.

［5］马睿，黄敏.用大概念引領教学变革［J］.中国教育学刊，2021（8）：105.

［6］史宁中.数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016：88.

［7］邢成云.顺承已有知识，厘定研究路径：《三角形》章起始课教学设计与思考［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2022（7）：53-58.

［8］邢成云.基于补缺 瞻前望远：“锐角三角函数”章起始课的教学设计与思考［J］.中小学课堂教学研究，2020（4）：28-33.

（责任编辑：潘安）