郝勤秀

【摘 要】体现课程内容的一致性、整体性是《义务教育数学课程标准（2022年版）》的基本要求。新课标在课程理念部分明确提出要“关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化”。新课程理念下基于HPM视角的计算教学，注重让算理具有丰富的意义，让学生真正经历算法的形成过程，实现“再创造”，让数学文化充满课堂。

【关键词】新课标 HPM视角 计算教学 实践与思考

计算是所有数学活动的基础，计算教学在小学数学教学中有着举足轻重的地位。多年来，许多教师对计算教学的探索形成了许多宝贵的经验：让学生更好地在理解算理的基础上掌握算法（来源于教材），从而能正确计算并灵活运用。事实上，如果坚持“唯教材”论，那么学生对算理的理解、算法的掌握，可能会浮于表面，导致学生的知识不成系统，这有违新课标“体现课程内容的一致性、整体性”这一基本要求。基于此，本文拟从HPM（数学史与数学教育）角度研究计算教学。

一、问题的提出——为什么一定要“从高位算起”

学校一位青年教师执教“两、三位数除以一位数”这节课后，学生问她一个问题：“列竖式计算除法时，为什么一定要从高位算起？你看我从低位算起也可以（如图1）。”这位青年教师当时被问蒙了，简单回答道：“除法竖式计算一般都从高位算起。”

针对这个问题，笔者在一定范围内做了调查，绝大部分学生没有想过这个问题，觉得书上就是这样的。几乎所有的教师在课上也没有引导学生思考过这个问题，一般都是结合问题情境引导学生理解算理，然后很顺当地形成算法。为什么从高位算起呢？教师们大致有这几种想法：一是认为除法从高位算起，简便；二是结合分物品的现实经验出发，先分多的，再分少的；三是认为这是除法竖式计算的法则。学校的这位青年教师就是第三种想法。这引起了笔者的思考，我们究竟应该怎样进行计算教学？

每一种运算法则的形成都有其历史过程，只有了解人类是如何发明计算方法的，才能对如何让学生真正“理解算理、掌握算法”做出更好的判断。数学史和数学教学的结合已是国际数学课程改革的趋势，HPM视域下的计算教学是《义务教育数学课程标准（2022年版）》理念下的新样态。

二、教改措施——HPM视域下的计算教学

“两、三位数除以一位数”这个内容很重要，它是后续学习“除数是两位数的笔算除法”的基础。以苏教版数学为例，教学时，教师一般会利用教材提供的情境进行教学；通过学习让学生理解算理、掌握算法：从高位算起，一位位地算，哪一位上不够商1要商0……看似是非常完整、有深度的教学，实际上没有真正揭示计算方法的本质。

加减法和乘法都是从低位开始算起的，为什么列竖式笔算除法时要从高位算起呢？克莱因指出，历史是教学的指南。追本溯源，与现在比较接近的是出现于公元980年的Gerbert方法。以“880÷7”为例，现在是这样写的：

Gerbert方法是这样的，除数7写成“10 3”，商写在被除数的右边：

该过程的第一步，880除以10商88，但实际除以7，显然多“分掉”264（3×88=264），实际剩下264需要继续分，第二步商26，“分掉”260，剩下4，再加上這里多“分掉”的78（3×26=78），实际剩下82……像这样一直分下去，最后把每次的“过程商”加起来就是最后的商。

Gerbert方法经过历史演变，变成下面的除法竖式（如图2）。变化后的过程将标准算法中隐藏的位值原理凸显出来，表面上看起来复杂，实则更直观也更易理解。

竖式的演变过程证明了一点：除法竖式是为了计算简便，这为我们探究“笔算除法为什么从高位算起”提供了思路。

从除法模型角度分析：除法计算是平均分的数学模型。比如48÷3，可以理解为把48根小棒平均分成3份，每份是多少根？平均分的时候可以先分“捆”，每10根小棒1捆，还剩下1捆和8根小棒合起来再平均分，每份6根，最后结果为每份1捆带6根，也就是16根；也可以先分“根”，每份2根，剩下2根不够分，接着分4捆，每份1捆，最后把剩下的1捆和2根合起来再平均分，每份4根，所以最终结果是2+10+4=16（根）。通过上述分小棒的过程，我们发现，从“根”开始分比从“捆”开始分的过程更复杂。结合实际，在平均分的时候，人们更愿意从大单位开始分，这与列竖式计算除法时从高位算起相对应。

从计算过程来看：除法竖式的计算和其他运算一样，也是一位一位地算，如果被除数每一位上的数都正好被除数整除，那么从高位算起与从低位算起几乎无差别。实际上，一般情况下各数位上的数平均分后会出现“盈”“亏”情况，在这种情况下，从高位算起就占优势。比如：计算41÷2，从个位算起，个位上的1除以2不够除，要从十位“借一当十”，再和个位上的1合起来除以2，11÷2=5……1，接着十位上剩余的3和个位上的余数1合起来是31再除以2，这时又遇到个位上的1不够除的情况，需要再从十位上“借一当十”……一直这样操作下去，最后还要把若干次“过程商”加起来。被除数越大，从低位算起时需要向较高位“借一当十”的步骤越多，过程越烦琐。

从除法竖式的书写形式来看：在二年级第一次接触“有余数的除法”时，除法竖式完整记录了每一步的计算过程。为了保证知识的系统性和连续性，在“两、三位数除以一位数”的竖式计算中，也要从高位算起，这样才能和“有余数的除法”一样，完整展现每一步的思考与计算过程。如果从低位算起，计算过程中有时会因为不够除而要向较高位“借一当十”，而且余数也经常会出来“调皮捣蛋”，过程显得“混乱”，一道竖式无法展示思维的全过程。

通过以上分析可知，除法竖式计算从低位算起也可以，只是从高位算起更合理。对比加减法和乘法，它们本质一样。加、减法和乘法在列竖式计算时从高位算起也是可以的，只是遇到进位或退位时不方便罢了。所以，四则运算中不管哪种运算，强调从低位算起和高位算起的本质都是相同的，都是为凸显计算程序的优化、简便。

结合本文开始那个学生产生的疑问及以上分析，笔者在设计“两、三位数除以一位数”的教学时，把除法竖式的“历史”作为知识背景，整合教材内容，将教材例题3和4放在一节课中尝试教学，力求让学生经历“再创造”除法竖式的历程。

层次一：出示例题情境图让学生读懂题目，尝试列式并组内交流。分小棒，可以先分“捆”，再分“根”；也可以先分“根”，再分“捆”。

40÷2=20   6÷2=3

6÷2=3      40÷2=20

20+3=23    3+20=23

设计意图：分的过程可以从两个不同的角度去思考，为之后尝试列竖式笔算除法提供思维方向。

层次二：尝试列竖式计算46÷2，讨论到底从高位算起，还是从低位算起。

设计意图：除法竖式书写过程和“现实分”的过程是一致的。教师引导学生初步体会从高位算起和从低位算起都可以。

层次三：改编例题，将46个羽毛球改成36个。现在你还能尝试列竖式计算吗？学生独立计算，交流体会。

设计意图：让学生充分讨论，体会“从高位算起和从低位算起都行，但从高位算起更简便”。

层次四：综合运用（略）。

三、实践效果及反思

心理学研究表明，计算教学要借助充分的感性材料，让学生通过操作感知并形成相关活动经验，在此基础上建立起清晰的表象，再抽象、概括出计算方法，并通过概括实现具体化，即进一步理解、巩固具体问题的解决。笔者认为HPM视域下计算教学的样态应该如下：

（一）让计算教学具有生命力

有意义的计算教学才有生命力。有意义的计算教学需具备两点：一是对于计算本身而言的，在计算教学中，算理必须厘清；一是计算教学必须揭示算法最本质、最原始的内涵。计算方法在经过动态演化形成静态的结构后，从某种程度上来说掩盖了其深层次、最本质的东西。除法算式虽是程序性规则的教学，忌直接告知，要让学生看看数学规律背后的故事，学生一定有这样的期待。

（二）让学生真正经历过程

让学生真正经历过程，这里的过程，一是指已经形成的知识结构过程，二是指知識的历史形成过程。让学生充分感受、重演数学知识的历史，尽管他们的发现可能是零碎的、初步的，甚至是错误的，但恰恰是这样的过程让学生与数学家感同身受，让学生感受到数学知识的趣味和内在美。同时，为了让学生能真正经历过程，教师要为他们创设良好的探究环境，激发学生探求数学真知的兴趣和动力。另外，教师要为学生“经历计算”创造良好的、适切的条件，从而帮助学生建立起现实知识与历史文化之间的联系。

（三）让计算教学充满文化味

纯粹为了训练计算技能而学习，通过不停地机械训练，学生算得“又对又快”，计算能力也能逐渐提高，但他们对数学知识的学习热情会逐渐降低，甚至产生厌恶感。所以，让计算教学充满文化味显得尤为重要，教师要让学生在学习计算的过程中通过不断探索、相互交流来理解和感悟其历史文化的积淀。

或许，学生在这样的环境中学习，计算速度不及普通课堂，从表面来看效率甚至会降低，但事实上，我们进行数学教学的目的不仅仅是让学生拥有知识层面的东西，更重要的是培养学生“具有能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”从这个意义上讲，HPM视域下的教学方式是最有效、最长效、最智慧的，符合新课标的基本要求，体现了新课标的课程理念

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022 .

[2]刘超，代瑞香，陆书环，等.数学史与数学教育[M].杭州：浙江大学出版社，2013.

[3]郑玮，郑毓信.HPM与数学教学中的“再创造”[J].数学教育学报，2013（3）.

[4]赵伟，李小强.除法缘何要从高位算起[J].小学教学（数学版），2017（12）.

[5]高敏.规范，都曾经不规范——浅谈小学数学教学中的竖式计算教学[J].中小学数学（小学版），2016（6）.