徐杰霞 黄如炎

【摘要】本文通过“考查的重点与趋势”和“知识点与试题”两个方面，展示三角函数的核心知识与方法，编拟了部分试题，供复习选用.

【关键词】三角函数；考查的重点与趋势；知识点与试题

1 考查的重点与趋势

2022年全国新高考三角函数试题新颖灵活，规避套路与机械刷题，突出了理性思维和核心素养的考查，对2023年新高考有积极的导向作用. 结合教育部制定的《普通高中课程标准》［1］《中国高考报告2023》［2］，并参考前几年高考数学试卷的命制规律，2023年新高考三角函数考查的重点依然是三角函数概念、三角函数图象与性质、三角函数恒等变换、解三角形.题量一般是“两小一大”，题型可能有单选题、多选题、填空题、开放题、解答题、结构不良试题等．选择题、填空题一般以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式、降幂扩角公式、asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ）等为基点，考查三角函数的恒等变换和求值问题；以三角函数图象为载体，考查三角函数的解析式、单调性、周期性、对称性、最值等性质．解答题常以平面几何图形为依托，通过三角恒等变换，运用正、余弦定理求三角形边、角、面积和最值等问题．教学中要跳出套路和刷题，贵在启发学生如何根据问题情境与数式结构特征，灵活选择三角公式解决问题.

2知识点与试题

2.1选择题（1—5为单选题，6—10为多选题）

试题1（考查三角函数的定义、二倍角正余弦公式、两角和正切公式）

已知角θ的大小如图1所示，则1+sin2θcos2θ=（）.

A．－5 B．5

C．－15D．15

答案：A.

提示：由三角函數定义tanθ+π4=－5.由于1+sin2θ=（sinθ+cosθ）2，根据该式特征，余弦二倍角公式应选择cos2θ=cos2θ－sin2θ.从而1+sin2θcos2θ=sinθ+cosθcosθ－sinθ=tanθ+11－tanθ=tanθ+π4=－5.

三角变换要注意三看分析法：“看角、看函数、看式子特征”.

试题2（考查诱导公式、两角差与二倍角三角函数公式、同角三角函数关系式）

若α∈π2，π，2cos2α-sinπ4－α=0，则tan2α=（）.

A．377B．74C．±377D．±74

答案：A. 提示：由sinπ4－α=22（cosα－sinα），选择公式cos2α=cos2α－sin2α求得cosα+sinα=12，由此求得sin2α，cos2α，进而求得tan2α.

试题3（考查三角函数的诱导公式、余弦二倍角公式；考查化归与转化思想及逻辑推理、数学运算等核心素养）

已知cosθ－π12=33，则sin2θ+π3=（）.

A．－29B．－13C．29D．13

答案：B. 提示：2θ+π3=2θ－π12+π2.

试题4（考查差角公式、降幂扩角公式、同角正余弦和公式及三角函数图象对称性等问题）

函数f（x）=sinx·cosx－π6图象的一个对称中心为（）.

A．π12，0 B．π3，0

C．π12，14D．π6，14

答案：C.

试题5（考查两角和差的正弦公式、同角三角函数关系式；考查函数与方程思想及逻辑推理、数学运算等素养）

已知α，β∈（0，π），sin（α－β）=56，tanαtanβ=-14，则α+β=（）.

A．56πB．πC．76πD．116π

答案：C.

提示：先求sinαcosβ和cosαsinβ，sin（α+β）=－12.

试题6（考查三角函数的图象与周期性、单调性、对称性、最值等性质；考查推理论证能力、运算求解能力）

函数f（x）=Acos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图2所示，给出以下结论，则其中正确的是（）.

A．f（x）的最小正周期为2

B.f（x）图象的一条对称轴为直线x=－12

C.f（x）在2k－14，2k+34（k∈Z）上是减函数

D.f（x）的最大值为A

答案：AC.

试题7（考查函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω＞0）的图象与性质；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养）

已知函数f（x）=sinωx+π4（ω＞0）在区间［0，π］上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）.

A.f（x）在区间（0，π）上有且仅有3个不同的零点

B.f（x）的最小正周期可能是π2

C.ω的取值范围是134，174

D.f（x）在区间0，π15上单调递增

答案：BC.

提示：令ωx+π4=π2+kπ，k∈Z，则x=（1+4k）π4ω，k∈Z，由函数f（x）在区间［0，π］上有且仅有4条对称轴，即0≤（1+4k）π4ω≤π有4个整数k符合，可求出ω∈134，174.

试题8（考查函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω＞0）的解析式；考查逻辑推理、数学运算等核心素养）

函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，ω<π）的部分图象如图3所示，则下列结论正确的是（）.

A．f（x）=2sin13x－π6

B．若把f（x）的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在［－π，π］上是增函数

C．若把函数f（x）的图象向左平移π2个单位，则所得函数是奇函数

D．x∈－π3，π3，若f（3x）+a≥f3π2恒成立，则a的最小值为3+2

答案：ACD.

试题9（考查正余弦定理；考查特殊与一般思想、化归与转化思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2=b（a+b），则（）.

A．c＞bB．C=2B

C．a＞cD．0

答案：AB.

提示：取特殊三角形，当a=b时，c=2a，此时B=π4，排除C，D，故选A，B.

要证C=2B，化为证sinC=sin2B，sinC=2sinBcosB，由正余弦定理化角为边.

试题10（考查函数周期性、对称性、单调性及零点存在性定理、导数的性质等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养）

已知函数f（x）=2x－tanx，则（）.

A．函数f（x）不是周期函数

B．函数f（x）的图象只有一个中心对称点

C．函数f（x）的单调减区间为

2kπ－π4，2kπ+π4，k∈Z

D．曲线y=f（x）－π2＜x＜π2只有一条过点（1，0）的切线

答案：AD.

提示：设f（x）关于（m，n）中心对称，得到f（x）+f（2m－x）=2n，求出m=kπ2，n=kπ，k∈Z，得到对称中心不止一个，排除B选项；由导函数结合定义域求出函数的单调区间，排除C选项，故选AD.利用反证法，知A选项正确；设出切点，得到切线方程，代入（1，0），化简后得到12sin2x0－cos2x0－x0=0，换元后得到g（t）=12sint－cost－12t，t∈（－π，π），分t∈（－π，0），t∈0，π2与t∈π2，π，得到函数的单调性，极值，最值情况，结合隐零点推出零点个数，D选项正确.

2.2填空题

试题1（考查正弦函数图象与性质、图象变换）

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且gπ4=2，则f3π8=．

答案：2.

试题2（考查函数的对称性、奇偶性；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识及数学建模素养）

写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数f（x）：.

（1）f（x+1）=f（－x）；（2）f′（x）为偶函数；（3）f16=12.

答案：f（x）=sinπx.

评注：构造函数f（x）的關键是选择符合其特征的基本函数.

1.若f（x）为周期函数且有对称轴或对称中心，则构造f（x）=Asin（ωx+φ）+h或f（x）=Acos（ωx+φ）+h.

2.若f（x）满足f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），则构造f（x）=Acosωx.

3.若f（x）在（a，b）递增，值域为R，则构造f（x）=tan（ωx+φ）.

试题3（考查三角函数的图象和性质；考查数形结合、化归与转化思想）

已知函数f（x）=sinωx（ω>0）在区间π2，π上不存在极值点，则ω的取值范围是．

答案：0，12∪1，32.

提示：依题意区间π2，π夹在相邻的两条对称轴之间，列式即可求解．

试题4（考查余弦函数图象与性质）

若函数f（x）=2cosωx在－π5，π4上存在最小值－2，则非零实数ω的取值范围为.

答案：［4，+∞）∪（－∞，－4］.

试题5（考查正余弦定理的灵活应用）

如图4，△ABC中，AB=1，BC=3，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形△ACD，当∠ABC变化时，线段BD的长度最大值为 .

答案：6+1.

试题6（考查余弦定理、基本不等式等知识；考查函数与方程、化归与转化、数形结合思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养）

在△ABC中，BC=2，AB=2AC=2b，D为BC的中点，则AD的取值范围为，tan∠ADC的最大值为  .

答案：13，3；43.

提示：由cos∠ADB=－cos∠ADC，用余弦定理得AD2=5b2－22. 求tan∠ADC的最大值转化为求cos∠ADC的最小值，也可以用坐标法.

2.3解答题

试题1（考查直角三角形边角关系、正余弦定理）

在直角△ABC中，角C为直角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB=c－a2a .

（1）求角A的大小；

（2）若c=4，D点在AB边上，且BD=3，求sin∠CDB.

答案：（1）π6；（2）217.

试题2（考查正余弦定理及三角形中线、角平分线、面积公式）

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA－sinBsinC=a－ca+b.

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，D为AC边上一点，BD=2，且，求△ABC的面积．从①BD为∠B的平分线，②D为AC的中点这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．

答案：（1）B=π3；（2）选①△ABC的面积s=34ac=332；选②△ABC的面积s=738.

试题3（综合考查两角和、差的余弦公式、正余弦定理、解三角形等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化、数形结合思想）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cos（A－C）+cosB=32．

（1）求角A，B，C;

（2）若b=2，延长BC至D，使△ABD的面积为332，求sin∠CAD．

答案：（1）A=B=C=π3；（2）2114. 提示：根据已知结构特征，用cosB=－cos（A+C）消去B.

试题4（考查两角差的正弦公式、正余弦定理、同角三角函数关系式、三角形面积等公式的灵活应用；考查逻辑推理、数学运算等素养）

△ABC的三边分别为a，b，c，且sin（A－B）=（3－4cosA）sinB.

（1）求证：2c2+b2－a2=3bc；

（2）若△ABC面积为510c2，求bc的值.

答案：35. 提示：由（1）结构特征，选择面积公式S△ABC=12bcsinA=510c2，sinA=5c5b.由（1）cosA=32－c2b，sin2A+cos2A=1，得bc=35.

试题5（考查应用导数研究复杂函数的单调性、极值和不等式等問题；考查分类与整合、化归与转化、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算素养）

已知函数f（x）=alnx－sinx+x，其中a为非零常数．

（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；

（2）设θ∈π，3π2，且cosθ=1+θsinθ，证明：当θ2sinθ

答案：（1）（0，+∞）.

提示：（1）求导后对参数进行分类讨论，然后根据单调性可求出参数的值；

（2）求导后分析函数的单调性，然后二次求导后分析其极值.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中课程标准（2017年版2020年修订）[M].2版.北京：人民教育出版社，2020.

［2］中国高考报告学术委员会.中国高考报告2023[M].北京：新华出版社，2023.

作者简介

徐杰霞（1981—），女，福建闽清人，高级教师，福州市骨干教师.

黄如炎（1964—），男，福建闽清人，福建省特级教师，正高级教师.